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Plano inclinado de Duff
(A calha)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

 

Objetivo
Estudo do movimento uniformemente variado; uso da propriedade da progressão aritmética; obtenção do valor da aceleração da gravidade; relógio mecânico inscritor.

Material
Plano inclinado de Duff, esfera de aço, cordel, régua, papel quadriculado, transferidor e fio de prumo.

Montagem

A calha de Duff


Com pouca despesas e construção própria pode-se desenvolver belíssimos experimentos em Física; esse é um bom exemplo. O plano inclinado de Duff nada mais é do que uma canaleta larga e pouco profunda praticada num pedaço de madeira de dimensões aproximadas (120 x 15 x 7) cm.

O pequem rebaixo (a) serve para apoiar a esfera, que será abandonada ao se levantar a janelinha de couro (b). Um outro sistema de "largada" usando gatilho, alavanca, eletroímã etc. pode ser pensado. O transferidor (c) é preso na lateral do plano e um preguinho em sua linha central sustenta um fio de prumo (d), que nada mais é que um pedaço de fio de nylon com uma chumbada na extremidade livre. 
O ângulo lido no transferidor é o ângulo (
a) de inclinação do plano; ele pode ser modificado através do toco de apoio (e). A linha média (linha de maior declive do plano) pode ser pintada de branco, assim como a linha de "largada". O restante todo do plano é pintado de preto opaco.


Procedimento
Inicialmente, coloque o plano na horizontal e solte a bolinha de aço de um ponto qualquer da borda do plano. Ela ira oscilar em torno da linha média, com amplitude cada vez menor (devido ao pequeno atrito agindo constantemente no sentido de opor-se ao movimento; calha muito bem lixada, pintura de fundo lixada e pintura final à revólver minimiza bastante esse atrito), porém, com período constante (lembre-se da lei do isocronismo das pequenas oscilações). Devemos determinar esse período T.

Para isso, conte quantas oscilações completas N, ela realiza num certo intervalo de tempo
Dt, digamos de 60
segundos. Com esses dados, N e
Dt, calculamos o período com: T = N/Dt ou, no exemplo, T = N/60, que nos fornecerá o período (tempo para ir e voltar) em segundos.

Observe que em cada período (tempo de umas oscilação completa) a bolinha cruza a linha média 2 vezes;
logo, o intervalo de tempo entre dois cruzamentos consecutivos é T/2.

Esse será nosso "relógio mecânico", com o plano horizontal ou inclinado (
a < 90°), a bolinha cruzará a linha
média sempre a cada T/2 segundos.
A seguir, incline o plano e leia o ângulo de inclinação
a.  Faça uns treinos iniciais. Mergulhe a bolinha em talco, pó de giz, gesso, pó de tinta bem clara e abandone-a a partir do rebaixo. Observe a linha sinuosa que ela deixa impressa no piano escuro e fosco. Repare nos pontos onde a bolinha corta a linha central, note o espaçamento crescente. Desperte a atenção para o primeiro corte e registre-se que ele ocorre T/4 segundos após a largada.
Após alguns treinos e escolha do melhor pó para recobrir a bolinha (se você descobrir um pó genial, não
esqueça de escrever ao autor!), faça a largada "valendo" e produza a trajetória definitiva. 
E agora vamos às marcações, medidas, gráficos e cálculos.

Passe um barbante (ou fita de papel) bem esticado sobre a linha média do plano, prendendo-o pelas extremidades nas tachas (f). Um "dentinho" na madeira, nas duas extremidades do plano, bem na intersecção da linha média, facilita bastante a fixação. Com uma caneta hidrográfica vermelha de ponta fina, marque no barbante o ponto inicial da largada (que pode ser uma linha fina pintada na madeira, ao nível do rebaixo) e os demais pontos de interseção da trajetória da bolinha com o barbante. Vai ficar no barbante, algo assim:

Marcas no barbante
Passemos à análise desse movimento. De inicio, observe que, a partir do segundo trecho, de extensão b1,
todos são percorridos em intervalos de tempo sucessivos e iguais a T/2. Medindo-se essas extensões, obtemos a seqüência de dados: b1, b2, b3 ... etc. Anote em seu relatório:

b1 = ....................... ; b2 = ........................ ; b3 = ........................; b4 = ........................; b5= .......................;
(complete)

Observe que essas extensões são, sensivelmente, os termos de uma progressão aritmética de razão :

r = b2 - b1 = b3 - b2 = b4 - b3 = ................. = ..................... cm

Ora, sabemos do estudo da cinemática escalar que essa propriedade é característica dos movimentos uniformemente variados. Vamos relembrar isso: 

"No movimento uniformemente variado, as variações dos espaços (b1, b2, b3, .... ) percorridos em intervalos de tempos Dt sucessivos e iguais (nosso T/2), formam uma progressão aritmética de razão r = g. Dt2, onde g é a aceleração escalar do movimento"

Os professores de Física podem (e devem) relembrar isso a seus alunos usando do diagrama das velocidades no MUV:

Velocidade  x  tempo


Uma vez relembrada essa propriedade, fica fácil obter a aceleração escalar ao longo do plano inclinado, uma vez que conhecemos r (a razão da progressão) e o
Dt  = T/2; fazemos:

Como a aceleração de uma bolinha que rola sobre um plano inclinado é, aproximadamente, g = g . sen a (o valor é aproximado, pois a bolinha " rola" --- e com isso converte parte da energia potencial em energia cinética de translação e parte em energia cinética de rotação --- e não apenas " desliza", o que seria ideal), onde a é o ângulo de inclinação do plano, tendo-se g e a, calculamos g (intensidade da aceleração local da gravidade).
A lei das velocidades pode ser escrita: V = g. t = g . sena . t.


Um outro modo, bem mais didático, de analisar tal movimento, usando implicitamente a propriedade da progressão aritmética, porém sem "formuleta" nenhuma é o seguinte:
1 - Corte o barbante nos locais marcados com a caneta. Sobre uma folha de papel marque o eixo dos
tempos e os instantes relevantes T/4, 3T/4, 5T/4,... etc.

barbante cortado (--| ---| -----| -------| -----------| --------------| )
eixo dos tempos  (------------------------------------------------- > t)
                  (|0 |T/4|3T/4|5T/4|7T/4|9T/4| ........

2 - Cole, verticalmente, os segmentos de barbante, com uma extremidade sobre o eixo horizontal t e no instante correspondente.

Técnica dos barbantes

Observe que a partir do 2o segmento, encontramos variações iguais de espaços, em intervalos de tempos
iguais (T/2), o que mostra que a velocidade cresce linearmente com o tempo. A linha pontilhada ligando as
extremidades superiores dos segmentos de barbante nada mais é que o diagrama das velocidades.

O cálculo da tangente trigonométrica da inclinação dessa reta (cuidado coma escala adotada para o eixo dos tempos), fornece o valor da aceleração da bolinha.

3 - Para não fazer esse cálculo, sugerimos um processo mais original; corte os segmentos de barbante que
representam as variações de velocidade. Na figura anterior os pontos de corte estão assinalados com uma seta. Esses segmentos (
DV) devem ser colados sobre um novo eixo dos tempos, análogo aos anteriores. Deve-se ter algo como indicado a seguir:

Obtenção de g, com o barbante

E eis o gráfico da aceleração da bolinha sobre o plano inclinado. Adote várias inclinações para o plano e repita toda a experimentação (isso é fazer ciência!) e finalize construindo um gráfico de g (aceleração) para a ==> 90°, obtendo-se, então, g (valor experimental da aceleração devido à gravidade).

Essa experimentação é particularmente recomendada para o nível do 2o grau e deve ser apresentada pelo professor de Física. Para a calha (em experiência feitas em grupos de alunos), pode ser experimentado o uso de um tubo de PVC rígido de grande diâmetro (8 a 12 polegadas), cortado, longitudinalmente, com serra tico-tico elétrica (presa na morsa), em fatias de largura 8 a 10 cm. Com isso produz-se várias calhas de um tubo só. Suportes de madeira adequados garantirão uma boa estabilidade.

Calha em PVC pintado

A aceleração da gravidade pode ser determinada também por outros processos, veja na Sala 04.



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