menu_topo

Fale com o professor Lista geral do site Página inicial Envie a um amigo Autor

Aceleração centrípeta no M.C.U.
(
Cálculo pela curva hodógrafa)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Objetivo
Deduzir a expressão  acp = v2/r para o M.C.U. Apresentar o conceito de curva hodógrafa.

Apresentação
Quando um ponto material se desloca sobre uma circunferência, o movimento é sempre do tipo  ‘acelerado’, visto que a velocidade está constantemente mudando de direção. O valor da velocidade --- módulo da velocidade --- pode, no entanto, manter-se constante e esse é o caso do movimento circular uniforme (MCU) de que trataremos.

Tracemos os vetores eqüipolentes da velocidade, que correspondem a intervalos de tempo sucessivos e iguais (por comodidade de ilustração), todos com origem sobre um mesmo ponto C arbitrariamente escolhido. Sempre poderemos fazer isso. Indiquemos por i (ponto indicador) a extremidade do vetor eqüipolente dos vetores velocidades nessa nova configuração.  Se o vetor eqüipolente, de medida V, gira de um pequeno ângulo, o valor da variação de velocidade no intervalo de tempo necessário para esse deslocamento será representado pela medida da base de um triângulo isósceles.

Tracemos as variações de velocidade correspondentes a uma rotação completa do ponto indicador:

A soma dos valores dessas variações será igual à soma dos lados do polígono representado. Quando construímos os triângulos um a um, estamos supondo, implicitamente, que o vetor velocidade varia por saltos, embora na realidade, saibamos que ele muda continuamente. Torna-se claro que o erro será tanto menor quanto menor for o ângulo do triângulo que consideramos. Quanto menores forem os lados do polígono, mais este se confundirá com uma circunferência de raio V. Por este motivo, o valor exato da soma dos valores absolutos das variações de velocidade durante uma rotação será dado pelo comprimento da circunferência 2pV.

Uma vez que tal comprimento exprime um valor de velocidade, calcularemos a aceleração por divisão desse ‘comprimento’ pelo tempo de duração de uma rotação completa T.

O valor da aceleração num movimento circular uniforme exprime-se, portanto, pela expressão:

a = (2 pV)/T    (1)

Por outro lado, como o tempo de uma rotação completa para um movimento circular uniforme de raio r e velocidade escalar V pode ser expresso sob a forma:

T = (2pr)/V     (2)

levando-se (2) em (1) vem:

a = (2pV) / [( 2pr)/V]

a = V2/r

Observamos que, sendo constante o raio da revolução, a aceleração é proporcional ao quadrado da velocidade e, para uma dada velocidade, a aceleração é inversamente proporcional ao raio.

 O mesmo raciocínio mostra que direção toma, em cada instante, a aceleração no movimento circular uniforme. Quanto menores forem os ângulos opostos à base dos triângulos isósceles que usamos em nossa demonstração, mais o ângulo formado pela diferença das velocidades e pela velocidade propriamente dita se aproxima de 90°.

Se a aceleração de um movimento circular uniforme está, na verdade, dirigida perpendicularmente à velocidade, como é que a velocidade e a aceleração estão dirigidas em relação à trajetória? Como a velocidade é tangente à trajetória, a aceleração tem necessariamente de estar na direção do raio e sentido pelo centro da circunferência. A ilustração a seguir mostra bem esta relação:

O movimento do ponto indicador i no decorrer do tempo descreverá, no caso mais geral, uma curva, denominada curva hodógrafa. Para o caso do MCU essa curva é a circunferência de centro C e raio V. O conhecimento e a técnica da curva hodógrafa facilita sobremaneira alguns aspectos da cinemática.

 Comentários
Se fizermos girar uma pedra presa a um fio, sentiremos nitidamente o esforço muscular que este exercício requer. Ora isto pode causar admiração a algum iniciante: a pedra não está se deslocando com velocidade constante?

O fato é que isso não é verdade. A pedra gira, é certo, com uma velocidade cujo módulo permanece constante, mas a variação contínua da direção dessa velocidade torna o movimento do tipo ‘acelerado’. O esforço que sentimos é aquele necessário para desviar a pedra da trajetória retilínea que ela tende a tomar, por inércia. Estamos, ao gira-la, dando constantes ‘puxões’ para dentro da curva. É disso que vem a necessidade da aceleração V2/r que calculamos.

Segundo a lei de Newton, a força deve ter a mesma orientação que a aceleração. Como nossos ‘puxões’ são ‘para dentro da curva’, mais uma vez concluímos que essa aceleração é radial e sentido para o centro da curva.

Resulta disso tudo que, um corpo que se desloca segundo uma circunferência com uma velocidade de módulo invariável é permanentemente solicitado por uma força radial e dirigida para o centro da rotação. É a força comunicada à pedra, pelo fio, que assegurará a aceleração de módulo acp = V2/r, e vemos que o valor dessa força, pelo princípio fundamental da dinâmica é,  fcp = m.acp = m.V2/r, a conhecida expressão da intensidade da força centrípeta.

Note que esse raciocínio presta-se, identicamente, ao estudo do movimento da Lua ao redor da Terra. Basta substituir nosso fio pelo ‘fio invisível’ determinado pela gravidade.

Sobre o tema, para o nível universitário, há um excelente 'paper' em:

http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Hodograph/Hodo.pdf

Boa leitura!


Copyright © Luiz Ferraz Netto - 2000-2011 ® - Web Máster: Todos os Direitos Reservados

Nova pagina 1