Previsão das trajetórias

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br 

Objetivo
Prever o ponto de aterragem uma esfera lançada horizontalmente do tampo de uma mesa a uma velocidade qualquer.

Teoria
Realmente, conhecendo-se a velocidade v da esfera ao deixar a mesa, a altura do tampo da mesa até o chão e a aceleração de queda livre, poderemos usar a equação dos movimentos dos projéteis para prever o ponto do chão em que chegará a esfera.

Do movimento dos projéteis conhecemos sua equação segundo a horizontal,  Dx = v.Dt  , e a equação de queda livre segundo a vertical, a partir do repouso, Dy = (1/2).g.(Dt)² .

A dificuldade do processo está na medição do intervalo de tempo mas, quanto à forma da trajetória o que realmente interessa saber é a relação entre Dx e Dy. E essa relação é facilmente obtida pela eliminação do parâmetro Dt entre elas, vejamos:

de  Dx = v.Dt  tiramos ==> Dt = Dx/v, 

que levada na equação  Dy = (1/2).g.(Dt)² 

fornece:  Dy = (1/2).g.(Dx/v)² 

Desse modo, a expressão assim obtida deverá descrever como varia Dy em função de Dx, isto é, deverá nos fornecer a forma da trajetória. 
Se pretendermos saber a que distância horizontal contada a partir da borda do tampo da mesa aterrará a esfera (Dx), poderemos calcula-la a partir da altura do tampo (Dy), da aceleração da gravidade (g) e da velocidade da esfera ao deixar o tampo (v).

Material
Mesa, rampa, suporte, esfera, cronômetro, régua, copo descartável.

Montagem

Procedimento experimental

Determine v medindo com um cronômetro o tempo t que a esfera leva para percorrer a distância d  ao longo da mesa (veja ilustração acima). Apanhe sempre a esfera antes dela cair no chão (senão quebrará o 'encanto' da previsão que se pretende fazer). Repita a medição varias vezes deixando cair a esfera sempre a partir do mesmo ponto da rampa: calcule o valor médio para v.

Meça Dy e use a equação antes deduzida para calcular Dx. 
Coloque um alvo, um copo descartável por exemplo, no ponto previsto para a aterragem, como ilustramos a seguir.

Até que ponto você poderá confiar na sua previsão? Uma vez que ela é baseada em medidas, é de se esperar um certa incerteza. Delimite uma superfície ao redor do alvo escolhido (copo), para indicar sua incerteza. Solte novamente a esfera. Desta vez deixe-a rolar sobre o tampo da mesa e voar até cair --- esperemos! --- no alvo colocado no chão.

Se a esfera cair realmente dentro da zona de valores de x previamente estimada, a experiência terá confirmado a hipótese básica do cálculo que efetuou, de que os movimentos horizontal e vertical não são afetados um pelo outro. 

Questões

1. Como você determinaria o alcance de uma esfera (bolinha de gude) lançada horizontalmente por meio de um estilingue?

2. Suponhamos que você seja  capaz de atirar uma bola de tênis a 40 metros de distância, à superfície da Terra. A que distância você poderia atirar a mesma bola à superfície da Lua, sabendo que a aceleração da gravidade desta é de um sexto da existente à superfície da Terra?

3. As hipóteses feitas na consideração das equações Dx = v.Dt e Dy = (1/2).g.(Dt)²  serão válidas para uma bola de pingue-pongue? Se o tampo da mesa estivesse a 1 000 metros de altura do chão poderia ainda usar estas equações? Por quê?