Travessia do rio (quase) real

Questão - A velocidade da corrente de um rio cresce proporcionalmente à distância da margem, atingindo seu valor máximo V_máx no meio do rio. Junto às margens a velocidade da corrente é igual a zero.
Um barco movimenta-se no rio de tal modo que sua velocidade u em relação à água é constante e perpendicular à corrente.
Determinar a distância, na qual o barco será levado pela corrente, em sua travessia, se a largura do rio é d. Determinar também a trajetória do barco no referencial adotado.

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Solução - Adotemos como início do sistema de coordenadas (x,y) o ponto A (0,0), ponto de partida do barco. Os eixos adotados estão indicados na figura abaixo. Adotemos como origem dos tempos (t = 0) o instante em que o barco parte da margem.

O movimento do barco, em direção perpendicular à corrente, tem velocidade constante u. Assim, o barco encontrar-se-á a uma distância genérica y da margem, decorrido o tempo t = y/u, após o início do movimento. Analisemos o movimento do barco, da margem, até o meio do rio (y₂ = d/2) onde a velocidade é máxima.
À distância genérica y₁ (y₁ ≤ y₂)  da margem, a velocidade da corrente será, dada a proporcionalidade:

V₁/y₁ = V_máx/(d/2),    ou seja,    V₁ = (2.V_máx/d).y₁ .

Substituindo  y₁ = u.t₁  na expressão da velocidade V₁ da corrente, obtemos que: V₁ = (2.V_máx/d).u.t₁.
Desta última relação, e por serem V_máx, d e u constantes em relação ao tempo, deduz-se que o movimento do barco, na direção paralela às margens, é uniformemente variado e ocorre com aceleração constante a = 2.V_máx.u/d.
O barco atingirá o meio do rio no tempo  t₂ = y₂/u = d/(2u). Nesse mesmo intervalo de tempo (/\t = t₂ - t₁), o barco será levado para baixo, pela corrente, a uma distância 

s = (1/2).a.t₂² = (1/2).(2.V_máx.u/d).[d/(2u]² = V_máx.d/(4u) .

No movimento desde o meio do rio (ponto C) até a margem oposta (ponto B), o barco será levado pela corrente, a uma distância adicional s. Deste modo, a distância procurada será:

D = 2.s = V_máx.d/(2u).

No movimento do barco até o meio do rio temos:

x = (1/2).a.t² = (V_máx.u/d).t² 
e 
y = u.t .

Dessas relações paramétricas, de parâmetro t, determinamos a trajetória [y = f(x)] do barco desde o ponto A até C; eliminando-se t entre elas, obtemos: y² = (d.u/V_máx).x  ou x = (V_máx/d.u).y² (tem a forma de uma parábola).
A segunda metade da trajetória (CB) terá o mesmo caráter que a primeira; mesmo módulo de aceleração segundo x (porém de sinal trocado), de modo que a velocidade cai de V_máx até 0.

Nota: Não existe rio com velocidade de correnteza constante, como aparece em muitos exercícios de Física sobre independência dos movimentos.

Bom proveito!

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