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M.H.S. - Questões Série A

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Questão 1- Uma barra plana de aço é montada de acordo com a ilustração. Ligando-se um dinamômetro na extremidade da barra, solicitando-a lateralmente, verificamos que uma força de intensidade 0,454 kgf produziu um afastamento de 15,2 cm. Um corpo de peso 1,83 kgf é ligado à extremidade da barra, e é afastado lateralmente a uma distância de 20, 3 cm, sendo então liberado. [g = 9,80 m/s2]

Calcular

a) a constante de força, k, da mola;
b) o período, T, de vibração;
c) a velocidade máxima, Vmáx., atingida pelo corpo;
d) a aceleração máxima,
amáx..

Solução
a) A força resultante que o dinamômetro exerce sobre a extremidade da barra plana de aço é proporcional ao deslocamento x, isto é,

F = k.x , portanto, k = F/x = 0,454 kfg/0,152 m = 2,98 kgf/m

b) O período de vibração pode ser calculado pela expressão

c) A velocidade máxima ocorre no centro, quando o deslocamento é nulo (x = 0).
A expressão geral da velocidade no MHS, para um dado deslocamento x (formula de Torricelli) é:

O símbolo ± é necessário, uma vez que, a um dado deslocamento x, o corpo pode estar se movendo, quer para a direita, quer para a esquerda. Quando x = 0, temos,

Vmáx. = ± 2p.f.a = ± 2p.(2/p).0,203 = ± 0,821 m/s

d) A aceleração máxima ocorre nas extremidades da trajetória, onde x = ± A.

amáx. = ± w2.a = ± 4p2.f2.a = ± 4p2(2/p)2.0,203 = ± 3,25 m/s2

Questão 2- Qual é o período de um pêndulo constituído por um pequeno objeto de massa 2,0 kg suspenso por um cordel de comprimento 2,4 m, se g = 9,8 N/kg?

Solução
O período T, para um pêndulo simples, é dado pela
equação T = 2p.(L/g)1/2 desde que o ângulo de oscilação seja pequeno. Se o ângulo de oscilação é mantido menor do que 15o, não haverá erro apreciável.
Teremos, então,

Questão 3- Se o período do pêndulo da questão anterior fosse 3,0 s, qual seria o valor de g?

Solução
Se L permanece constante e igual a 2,4 m, mas T torna-se 3,0 s, em lugar de 3,1 s, o valor de g seria

T2 = 4p2(L/g), donde, g = L.(2p/T)2 = 2,4.(6,28/3,00)2 = 10,5 N/kg

Observe que as questões 2 e 3 têm dupla finalidade.
a) Como um pêndulo pode ser usado para medir g com grande precisão.
b) Diferenças nos períodos podem ser constatadas, facilmente, contando-se o número de oscilações do pêndulo, num determinado intervalo de tempo.
Exemplifiquemos isso:Suponhamos que as oscilações do pêndulo foram contadas durante 6 min, ou seja, 360 s. Nesse intervalo de tempo quantas oscilações efetuou o pêndulo da questão 1? E o pêndulo da questão 2?
Respondemos (confira!): Para T = 3,1 s, o número de oscilações contadas seria 116. Para T = 3,0 s, o número de oscilações contadas seria 120.
Observe, também, que valores mais precisos do período são obtidos contando-se um grande número de oscilações e, assim, poderá obter uma surpreendente precisão na determinação de g. É muito fácil montar um pêndulo simples e verificar, por exemplo, que T2 ~ L.

Questão 4- Um objeto de massa m repousa sobre uma plataforma horizontal. Comunica-se à plataforma um movimento harmônico simples vertical, de amplitude A = 0,098 m. No ponto mais alto da trajetória, o objeto está apenas tocando a plataforma sem chegar a nela se apoiar (isto significa que, nesse ponto, a aceleração da plataforma é ay=9,8 m/s2, para baixo).

a) Qual é o período do movimento harmônico simples?
b) Qual é a aceleração do objeto no ponto mais baixo
     da trajetória?
c) Qual é a intensidade da força exercida pela plataforma
     sobre o objeto, nesse ponto?

Solução
a) Consideremos a ilustração acima, onde y é medido a partir do ponto médio do movimento.
Sejam N a força de contato da plataforma sobre o bloco, ay a aceleração do sistema oscilante e ky a força restauradora. Devemos ter:

N + ky = may , ou algebricamente, N - ky = may, ou ainda:  N - may = ky

Desde que o bloco segue o movimento da plataforma, seu movimento deve ser também harmônico simples. No ponto mais alto da trajetória, quando então ymáx. = A, o objeto apenas toca a plataforma e, portanto, N = 0; a única força atuante sobre ele é seu peso mg = kA e, portanto, k = mg/A.
O período T será:

  
T = 2x3,14.(0,098/9,80)1/2 = 0,628 s

b) No ponto mais alto da trajetória, a força (resultante) sobre o bloco é mg para baixo; assim, na parte mais baixa, deve ser mg (resultante) para cima e a aceleração será g para cima.

c) No ponto mais baixo, a força resultante sobre o bloco é mg para cima. A força da plataforma sobre o bloco será N = 2 mg para cima, pois kymáx. = kA = mg = N - mg , logo, N = 2mg.

Questão 5- Uma bola de 2 kg é suspensa numa mola e lentamente abaixada até atingir a posição de equilíbrio. A partir dessa posição, quando deslocada verticalmente, a bola move-se para cima e para baixo em movimento harmônico simples de freqüência de 4 Hz.

a) Qual é o período do movimento?
b) Qual é a força para cima, exercida sobre a bola pela mola, quando a bola está no ponto médio de sua trajetória?
c) De quanto alongou-se a mola quando a bola foi ligada a seu terminal? (Antes do movimento oscilatório ter sido iniciado.)

Solução
a) T = 1/f = 1/4 s .
b) No ponto médio da trajetória, a aceleração da bola é zero. Desse modo, a força resultante exercida sobre a bola é nula, e teremos

Fmola= Fgravidade= mg = 2 x 9,8 = 19,6 N .

c) No equilíbrio (ponto médio da trajetória), obtivemos: Fmola = 19,6 N. Como Fmola = k.x, teremos que x = Fmola/k . Devemos determinar k; fazemos:

T = 2p(m/k)1/2 ,  portanto, k = 4p2.m/T2 = 4x(3,14)2x2/(1/4)2 = 1262,0 N/m ; logo x = 19,6/1262,0 = 0,016 m.
 

Questão 6- Tem-se um movimento harmônico simples que obedece à equação:

Determinar: a) amplitude; b) período; c) fase inicial; d) velocidade máxima; e) aceleração máxima.

Solução
Sabemos que a equação horária do m.h.s. é do tipo

Comparando com a equação dada com a típica do MHS, extraem-se os seguintes valores:

a) A = 8 m; b) 2p/T = p/4, portanto, T = 8 s; c) jo= p/6 rd.

d) da equação típica da velocidade do m.h.s. e dos dados acima escrevemos:

A velocidade será máxima, quando

isto é,        vmáx.= 2p m/s .

e) da equação típica da aceleração do m.h.s. e dos dados acima escrevemos:

O valor da aceleração será máxima quando

Questão 7- Tem-se um aro cujo raio é de 10 cm. Calcular seu período de oscilação quando se suspende por uma haste horizontal (ilustração abaixo); determinar o comprimento do pêndulo simples síncrono.

Solução
Considerando pequenos deslocamentos angulares, o período de oscilação deste pêndulo composto pode ser calculado pela expressão:

 


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