Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br
Questão
1- Uma barra plana de aço é montada de acordo com
a ilustração. Ligando-se um dinamômetro na extremidade da
barra, solicitando-a lateralmente, verificamos que uma força
de intensidade 0,454 kgf produziu um afastamento de 15,2 cm.
Um corpo de peso 1,83 kgf é ligado à extremidade da barra, e
é afastado lateralmente a uma distância de 20, 3 cm, sendo
então liberado. [g = 9,80 m/s2]
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Calcular
a) a constante de
força, k, da mola;
b) o período, T, de vibração;
c) a velocidade máxima, Vmáx.,
atingida pelo corpo;
d) a aceleração máxima, amáx.. |
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Solução
a) A força resultante que o dinamômetro exerce sobre a
extremidade da barra plana de aço é proporcional ao
deslocamento x, isto é,
F = k.x , portanto, k = F/x = 0,454 kfg/0,152
m = 2,98 kgf/m
b) O período de vibração pode ser calculado
pela expressão
c) A
velocidade máxima ocorre no centro, quando o deslocamento é
nulo (x = 0).
A expressão geral da velocidade
no MHS, para um dado deslocamento x (formula de Torricelli)
é:
O símbolo ± é necessário, uma
vez que, a um dado deslocamento x, o corpo pode estar se
movendo, quer para a direita, quer para a esquerda. Quando x
= 0, temos,
Vmáx. = ± 2p.f.a
= ± 2p.(2/p).0,203
= ± 0,821 m/s
d) A
aceleração máxima ocorre nas extremidades da trajetória,
onde x = ± A.
amáx. = ±
w2.a
= ± 4p2.f2.a
= ± 4p2(2/p)2.0,203
= ± 3,25 m/s2
Questão 2-
Qual é o período de um pêndulo constituído por um pequeno
objeto de massa 2,0 kg suspenso por um cordel de comprimento
2,4 m, se g = 9,8 N/kg?
Solução
O período T, para um pêndulo simples, é dado pela
equação T = 2p.(L/g)1/2
desde que o ângulo de oscilação seja pequeno. Se o
ângulo de oscilação é mantido menor do que 15o,
não haverá erro apreciável.
Teremos, então,
Questão 3-
Se o período do pêndulo da questão anterior fosse
3,0 s, qual seria o valor de g?
Solução
Se L permanece constante e igual a 2,4 m, mas T torna-se 3,0
s, em lugar de 3,1 s, o valor de g seria
T2 = 4p2(L/g),
donde, g = L.(2p/T)2
= 2,4.(6,28/3,00)2 = 10,5 N/kg
Observe que as questões 2 e 3
têm dupla finalidade.
a) Como um pêndulo pode ser usado para medir g com grande
precisão.
b) Diferenças nos períodos podem ser
constatadas, facilmente, contando-se o número de oscilações
do pêndulo, num determinado intervalo de tempo.
Exemplifiquemos isso:Suponhamos que as oscilações do pêndulo
foram contadas durante 6 min, ou seja, 360 s. Nesse
intervalo de tempo quantas oscilações efetuou o pêndulo da
questão 1? E o pêndulo da questão 2?
Respondemos (confira!): Para T = 3,1 s, o número de
oscilações contadas seria 116. Para T = 3,0 s, o número de
oscilações contadas seria 120.
Observe, também, que
valores mais precisos do período são obtidos contando-se um
grande número de oscilações e, assim, poderá obter uma
surpreendente precisão na determinação de g.
É muito fácil montar um pêndulo
simples e verificar, por exemplo, que T2 ~ L.
Questão 4-
Um objeto de massa m repousa sobre uma plataforma
horizontal. Comunica-se à plataforma um movimento harmônico
simples vertical, de amplitude A = 0,098 m. No ponto mais
alto da trajetória, o objeto está apenas tocando a
plataforma sem chegar a nela se apoiar (isto significa que,
nesse ponto, a aceleração da plataforma é ay=9,8
m/s2, para baixo).
a) Qual é o período
do movimento harmônico simples?
b) Qual é a aceleração do
objeto no ponto mais baixo
da trajetória?
c) Qual é a intensidade da força exercida pela
plataforma
sobre o objeto, nesse ponto? |
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Solução
a) Consideremos a ilustração acima, onde y é medido a partir
do ponto médio do movimento.
Sejam N a força de
contato da plataforma sobre o bloco, ay
a aceleração do sistema oscilante e ky a força
restauradora. Devemos ter:
N + ky = may , ou
algebricamente, N - ky = may, ou ainda: N - may
= ky
Desde que o bloco segue o
movimento da plataforma, seu movimento deve ser também
harmônico simples. No
ponto mais alto da trajetória, quando então ymáx.
= A, o objeto apenas toca a plataforma e, portanto, N = 0; a
única força atuante sobre ele é seu peso mg = kA e,
portanto, k = mg/A.
O período T será:
T = 2x3,14.(0,098/9,80)1/2 = 0,628 s
b) No ponto mais alto da trajetória, a força
(resultante) sobre o bloco é mg para baixo; assim, na parte
mais baixa, deve ser mg (resultante) para cima e a
aceleração será g para cima.
c) No ponto mais baixo, a força resultante
sobre o bloco é mg para cima. A força da plataforma sobre o
bloco será N = 2 mg para cima, pois kymáx. = kA =
mg = N - mg , logo, N = 2mg.
Questão 5-
Uma bola de 2 kg é
suspensa numa mola e lentamente abaixada até atingir a
posição de equilíbrio. A partir dessa posição, quando
deslocada verticalmente, a bola move-se para cima e para
baixo em movimento harmônico simples de freqüência de 4 Hz.
a) Qual é o período do
movimento?
b) Qual é a força para cima, exercida
sobre a bola pela mola, quando a bola está no ponto médio de
sua trajetória?
c) De quanto alongou-se a mola quando a bola foi ligada a
seu terminal? (Antes do movimento oscilatório ter sido
iniciado.)
Solução
a) T = 1/f = 1/4 s .
b) No ponto médio da trajetória, a aceleração da bola é
zero. Desse modo, a força resultante exercida sobre a bola é
nula, e teremos
Fmola= Fgravidade= mg =
2 x 9,8 = 19,6 N .
c)
No equilíbrio (ponto médio da trajetória), obtivemos: Fmola
= 19,6 N. Como Fmola = k.x, teremos que x = Fmola/k
. Devemos determinar k; fazemos:
T =
2p(m/k)1/2 ,
portanto, k = 4p2.m/T2
= 4x(3,14)2x2/(1/4)2 = 1262,0 N/m ;
logo x = 19,6/1262,0 = 0,016 m.
Questão 6-
Tem-se um movimento harmônico simples que obedece à equação:
Determinar: a) amplitude; b)
período; c) fase inicial; d) velocidade máxima; e)
aceleração máxima.
Solução
Sabemos que a equação horária do m.h.s. é do tipo
Comparando com a equação dada
com a típica do MHS, extraem-se os seguintes valores:
a) A = 8 m; b) 2p/T
= p/4,
portanto, T = 8 s; c) jo=
p/6
rd.
d) da equação típica da velocidade do m.h.s.
e dos dados acima escrevemos:
A velocidade será máxima, quando
isto é, vmáx.= 2p
m/s .
e) da equação típica da aceleração do m.h.s.
e dos dados acima escrevemos:
O valor da aceleração será
máxima quando
Questão 7-
Tem-se um aro cujo raio é
de 10 cm. Calcular seu período de oscilação quando se
suspende por uma haste horizontal (ilustração abaixo);
determinar o comprimento do pêndulo simples síncrono.
Solução
Considerando pequenos deslocamentos angulares, o período de
oscilação deste pêndulo composto pode ser calculado pela
expressão:
