M.H.S.
Questões Série B

Questão 8- Um corpo P cumpre simultaneamente dois movimentos harmônicos simples, de mesma freqüência e mesma amplitude, porém de direções perpendiculares entre si. Suas fases iniciais valem j₁ e j₂. Os movimentos ortogonais são expressos por:

Descreva a natureza do movimento bidimensional, resultante dos movimentos acima, quando:

(a) j = j₁  = j₂ ;
(b) j₁ = j₂ + p/2;
(c) j₁ = j₂ - p/2.

Solução

Questão 9- Mostre que a massa inercial oscilante de uma mola é equivalente a 1/3 da massa da mola.

Solução

Deixando-se de lado o caso ideal de mola cuja massa é desprezível, em relação à massa do corpo oscilante, convém ressaltar que as suas diversas partes oscilam com amplitudes diversas, desde zero na parte superior onde está fixada, até um máximo na parte inferior onde se liga à massa oscilante.

Seja L o comprimento da mola em equilíbrio estático, quando suportando o corpo de massa m, como se ilustra:

Indiquemos por m_L a massa própria da mola. Consideremos um elemento de massa  dm_L, comprimento dy, à distância y abaixo da extremidade superior fixa. Temos:

Determinemos a energia cinética da mola, no instante em que a parte inferior tem velocidade v.
O comprimento da mola é geralmente pequeno em relação ao de suas ondas longitudinais, cuja freqüência é a mesma do corpo oscilante nela suspenso. Admite-se, portanto, que todas as partes da mola oscilam em fase e a velocidade de um elemento, v_L, será proporcional à distância ao extremo fixo, isto é:

A energia cinética do elemento será:

A energia cinética total da mola (apenas da mola!) será:

ou

isto é, é a energia cinética de um corpo cuja massa vale 1/3 da massa da mola e cuja velocidade seja a do corpo suspenso. Em outras palavras: a massa equivalente do sistema (corpo oscilante + mola) é a do corpo suspenso, mais 1/3 da massa da mola.

Questão 10- Pendurando-se lentamente um corpo de massa 500 g em uma mola helicoidal de massa desprezível, ela estica 7 cm e assim se mantém em equilíbrio. Calcular a freqüência angular e a amplitude do movimento conseqüente, quando o corpo é deslocado 3 cm além da posição de equilíbrio, imprimindo-lhe velocidade de 40 cm/s, para baixo.
Nota: Resolver utilizando-se do Sistema C.G.S.; adotar para a aceleração local da gravidade o valor 980 cm/s² .

Solução

Calculemos inicialmente, a constante de força da mola (k), a partir da condição de equilíbrio:

k.Dy = m.g

então,

Questão 11- Um bloco de massa m = 2,0 kg pende de uma mola. Um segundo bloco de massa m₁= 0,3 kg pendurado abaixo do primeiro, alonga a mola mais 2,0 cm. Se o corpo de massa m₁ for bruscamente removido, aquele de massa m entra em oscilação. Qual será o período desse movimento?

Solução

Na ilustração acima, à esquerda, temos a mola natural; no meio, a situação de equilíbrio após pendurado o bloco de massa m, quando então a mola apresenta uma deformação de x cm e, à direita, a situação de equilíbrio ao ser acrescentado o bloco de massa m₁, quando então a mola apresenta deformação total de (x+2) cm. Nessa situação final a condição vetorial de equilíbrio é:  F₁+(m+m₁).g = 0.

As situações de equilíbrio (ilustração do meio e a da direita) podem ser expressas escalarmente assim:

k.x = m.g    e     k(x+2) = (m+m₁).g

Dividindo-se, m.a.m., uma pela outra, vem:

Questão 12- Um corpo de massa m é suspenso por duas molas idênticas A e B, cada uma delas com uma constante elástica k, conforme se ilustra abaixo (série e paralelo):

Se as deformações estáticas, isto é, os deslocamentos totais quando em equilíbrio sob a ação do peso m.g, valem respectivamente x₁ (na série) e x₂ (no paralelo), pedem-se:

(1) a relação (razão) entre x₁ e x₂ ;
(2) a relação (razão) entre as freqüências naturais de cada oscilador;
(3) a relação (razão) entre as energias totais dos osciladores, sabendo-se que eles oscilam com mesma amplitude.

Solução
Por questão de parcial generalização, para a obtenção das "molas equivalentes" de duas molas associadas em série e em paralelo, suponhamos que as molas individuais não fossem idênticas, isto é, que suas constantes elásticas fossem, respectivamente, k_A e k_B.

Caso (a): Série
Para a deformação total na série tem-se:  x₁= x_A + x_B ; se k₁ é a constante de força do sistema equivalente, teremos:

Caso (b): Paralelo
Para o equilíbrio das forças tem-se: m.g = F_A + F_B ; se k₂ é a constante de força do sistema equivalente, teremos:

k₂.x = k_A.x + k_B.x   ou   k₂ = k_A+ k_B  (paralelo)

Respostas para os itens (1), (2) e (3) para o caso particular de k_A = k_B = k :

Questão 13- Dois pontos materiais executam movimentos harmônicos simples, de mesma amplitude e freqüência, ao longo de uma mesma reta. Cada vez que eles passam um pelo outro, quando vão em sentidos opostos, a elongação de cada um é a metade da amplitude comum. Qual a diferença de fase entre eles?

Solução
A equação monômia do m.h.s., que nos fornece a elongação do movimento em função da amplitude e ângulo de fase, é   x = A.cos(w.t + j),  onde   w.t + j  é a fase no instante t.
Quando os pontos materiais estão com elongação máxima (x = A) -- veja ilustração abaixo --, o ângulo de fase vale  w.t + f = 2kp.

Pelo enunciado, x₁ = x₂ = A/2.
O ponto material (1), movendo-se para a direita, tem uma fase  w.t + j = 2kp - q₁. O ponto material (2), movendo-se para a esquerda, tem uma fase  w.t + j = 2kp + q₂ .

Teremos, então:

x₁ = A.cos(2kp - q₁) = A/2   ou   cos(2kp - q₁) = 1/2    logo: q₁ = p/3 rad
x₂ = A.cos(2kp + q₂) = A/2   ou   cos(2kp + q₂) = 1/2    logo: q₂ = p/3 rad

Ora, a diferença de fase será: Dj = (2kp + q₂) - (2kp - q₁) = q₂ + q₁ = 2p/3 rad .

Questão 14-

Solução
(a) Como se trata de um m.h.s., a aceleração não é constante e sim varia em função da elongação, a saber: F = -k.x = m.a  ==> a = - (k/m).x,  portanto  a = f(x).

Na parte inferior, (b) na ilustração acima, teríamos: N - m.g = m.a_m . Se a_m = g, vem   N - m.g = m.g , portanto, N = 2m.g. Então, fica patente que o bloco de massa m descolará do pistão no ponto mais alto de inversão de movimento, quando a_m = g. Para a aceleração máxima do m.h.s., sabemos que":