M.H.S. - Questões Série C

Questão 15: Partindo da expressão  E_cin. + E_pot. = (1/2)mv² + (1/2)kx²  da conservação da energia [com E = (1/2)kA², para o caso da mola], obter a elongação em função do tempo, por integração.

Solução
Consideremos um corpo de massa m, executando um m.h.s. à extremidade de uma mola, de massa negligenciável, como se ilustra abaixo. Lembremos que  w = 2pf  e procuremos a  x = x(t).

Separando as variáveis a fim de proceder a integração, temos:

Questão 16: Mostrar que a tensão máxima na corda de um pêndulo simples, quando a amplitude q é pequena, é  mg(1 + q²). Em qual posição do pêndulo a tensão é máxima?

Solução
A ilustração abaixo mostra um pêndulo simples de comprimento L e de massa m, fazendo ângulo q com a vertical. As forças aplicadas em m são: m.g  a força gravitacional para baixo e T  a tensão no fio.

Escolhamos dois eixos ortogonais, um tangente ao círculo do movimento na posição extrema e o outro na direção radial. Decompomos mg num componente radial  mg.cosq  e outro tangencial  mg.senq. O componente radial da força produz a aceleração radial ou centrípeta necessária para obrigar o ponto material a se mover num arco de círculo. O componente tangencial é a força restauradora, que age sobre m, tendendo a faze-la voltar à posição de equilíbrio. Pela condição posta no enunciado, cosq ~ 1. Na direção radial o Princípio Fundamental da Dinâmica permite escrever:

T - mg.cosq = m.a_r       ou     T = mg.1 + m.a_r = mg + m. v²/L

Sendo T = f(v), a tensão no fio será máxima quando a velocidade for máxima, isto é, quando o pêndulo estiver na posição mais baixa; neste caso,

Questão 17: Os elétrons de um osciloscópio são desviados por dois campos mutuamente perpendiculares, de modo que, em qualquer instante t, o deslocamento é dado por:

x = A.coswt       e       y = A.cos(wt + a) .

Descrever a trajetória dos elétrons e determinar a sua equação quando: (a) a = 0;  (b) a = 30^o e (c) a = 90^o.

Solução

Questão 18: Uma tábua uniforme, de comprimento L, é equilibrada num cilindro horizontal fixo, de raio a, de modo que o comprimento da tábua seja perpendicular ao eixo do cilindro, como se ilustra. A tábua é posta a balançar, sem escorregar.

(a) Mostrar que o movimento é harmônico simples se a amplitude for pequena.
(b) Achar o período do movimento.

Solução
A ilustração, à esquerda, acima, mostra a tábua equilibrada no cilindro, nas condições do enunciado. A reação vincular R é equilibrante do peso P = m.g e teremos: R + m.g = 0, vetorialmente.

A ilustração, à direita, acima, mostra a tábua numa outra posição sobre o cilindro, de modo que a normal à tábua, no ponto de contato, faz ângulo q com a vertical. Como não há deslizamento, a reação vincular R ainda é a equilibrante do peso da tábua e, novamente, teremos: R + m.g = 0, vetorialmente. Todavia, como essas forças R e m.g não têm a mesma linha de ação, haverá um conjugado restaurador, cujo momento (ou torque) é t = - mga.senq. Como t depende do 'senq', o movimento não será harmônico simples. Se, pelo contrário, q for pequeno o suficiente para que  senq ~ q (radianos), teremos, então, t = -mga.q = -K.q.

Ora, pela segunda lei de Newton da rotação,

Questão 19: Uma barra uniforme de comprimento L = 1 m oscila no plano vertical em torno de um eixo perpendicular. Pede-se:

(b) Suponhamos o eixo de rotação passando por A' a uma distância x do centro de massa do pêndulo. Neste caso, o momento de inércia da barra, em relação a A', será

I_a' = I_o + mx² = mk² + mx² = m(k² + x²)

sendo k o raio de giração da barra. O período será, então,

O eixo de rotação para o qual o período é mínimo está situado a uma distância k do centro de massa.