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Cinemática Escalar
(Do ponto e dos sistemas)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

I. Conceitos básicos

01. Ponto material - todo corpo cujas dimensões relativas não interferem no estudo de determinado fenômeno.

02. Tempo - ou abscissa temporal t ou ainda 'instante t' - número real que se faz corresponder biunivocamente, mediante certas convenções, à sucessão dos eventos. À origem dos tempos (evento inicial arbitrário) associa-se, por comodidade, t = 0; aos eventos que seguem àquele tomado por O.T. associa-se t > 0 e para aqueles que o precedem, associa-se t < 0.
Intervalo de tempo
Dt denota o número de unidades de tempo decorridas entre dois eventos sucessivos e calcula-se por: Dt = t2 - t1, onde t2 e t1 são os instantes associados a esses eventos.

03. Trajetória - para um dado sistema de referência, é a linha contínua S, lugar geométrico dos pontos do espaço geométrico ocupados pelo ponto material no decorrer do tempo.

04. Espaço cinemático - posição ou abscissa linear s é o número real que se faz corresponder biunivocamente aos pontos da trajetória, mediante certas convenções (*), e que se destina a localizar o ponto sobre sua trajetória. O espaço s, só localiza (relativamente à origem arbitrária) o ponto, não indica o sentido de movimento, nem determina quanto o móvel efetivamente 'andou'.

(*) Convenções: considere sobre S o ponto arbitrário O (escolha da origem dos espaços OE) e o ponto U, de modo que a extensão do arco (OU seja adotada como unidade de medida de comprimento (exemplo, (OU = 1 m). Nessas condições, para uma genérica posição P do ponto material, s = (OP/(OU [leia-se: s é a medida do arco (OP na unidade (OU].

05. Movimento - é conceito que se define para o ponto, em relação a um dado sistema de referência. Se sua trajetória é previamente conhecida nesse referencial, o ponto se move sobre ela se sua abscissa linear s variar em função da abscissa temporal t. Isso se indica com:

s = f(t)     ou     s = s(t)

A expressão que associa biunivocamente a cada valor de t o correspondente valor de s [s = f(t)] é denominada 'lei de movimento', 'lei horária de movimento' ou, corriqueiramente, 'equação horária'.
Se s permanece constante (em relação a t), no referencial em questão, ele é dito em repouso.

06. Espaço percorrido - ou incremento de abscissa Ds, num dado intervalo de tempo Dt é dado por:

Dst1---t2 = s2 - s1

onde s2 é a abscissa (espaço) do móvel no instante t2 e s1 sua abscissa no instante t1.

Num dado intervalo de tempo pode-se ter: Ds > 0, Ds = 0 ou Ds < 0.

07. Velocidade escalar média - num dado intervalo de tempo, é o quociente do espaço percorrido Ds, nesse intervalo de tempo, pela correspondente extensão Dt do intervalo considerado. Esse quociente é, na matemática, reconhecido como 'razão incremental'. Equaciona-se:

08. Velocidade escalar - num dado instante t1, é o limite da velocidade escalar média definida entre os instantes t1 e t2, quando o instante t2 torna-se cada vez mais próximo de t1 (o que corresponde dizer que Dt tende para o valor zero). Escreve-se:

Em termos de análise matemática (cálculo diferencial), sendo s = s(t) a função que associa a cada t um e um só s, a velocidade v, no instante genérico t será a derivada da função s = s(t) em relação ao tempo t e escreve-se: v = ds(t)/dt. Recomendamos, a respeito disso, a leitura Os flúxions de Newton em nossa Sala 19. A expressão v = ds(t)/dt que nos permite obter a velocidade escalar do móvel em cada instante de seu movimento denomina-se 'lei de velocidade' ou, "equação da velocidade".

09. Aceleração escalar média - num dado intervalo de tempo de extensão t2 - t1, é o quociente da variação da velocidade do móvel Dv ocorrida entre os instantes t1 e t2 pela extensão desse intervalo de tempo. Equaciona-se:

10. Aceleração escalar - num dado instante t1, é o limite da aceleração escalar média calculada entre os instantes t1 e t2 quando o instante t2 torna-se cada vez mais próximo de t1. No cálculo diferencial, a aceleração escalar será dada pela derivada da velocidade em relação ao tempo ou pela derivada segunda do espaço em relação ao tempo. Escreve-se:

11. Sentido do movimento - numa trajetória orientada (sistema de coordenadas abscissas s) é assim posto:

12. Comportamento físico - do móvel, durante certo intervalo de tempo Dt é assim caracterizado:

Uniforme - velocidade escalar permanece constante no intervalo considerado (v = cte. não nula);
Acelerado - velocidade escalar cresce, em valor absoluto, no intervalo considerado (v.g > 0);
Retardado - velocidade escalar decresce, em valor absoluto, no intervalo considerado (v.g < 0);
Uniformemente variado - aceleração escalar permanece constante no intervalo considerado (
g = cte);
Variado - aceleração escalar experimenta variações no intervalo considerado [g = f(t)].

13. Lei horária - lei de movimento, função horária ou "equação horária" - é a expressão matemática da dependência entre o espaço s e o tempo t. Ela associa a cada t um e um só s (bijetora). Simbolicamente: s = s(t), onde s e t devem ser medidos num sistema coerente de unidades, por exemplo, o Sistema Internacional de Unidades.
Exemplos de leis de movimento, com s em m; t em s: s = t; s = 2t; s = -3t +2; s = 2t2 +3t + 1; s = 4t-1 etc.

14. Tabela horária - é o primeiro passo experimental para a determinação de uma lei horária. Consiste em se tabelar, lado a lado, valores particulares de t com os correspondentes valores obtidos experimentalmente para s.

15. Diagrama horário - é o gráfico cartesiano ortogonal da função s = s(t). É a versão geométrica, no plano cartesiano s versus t, da dependência entre s e t. Tal gráfico nada tem a ver com a trajetória.

Exemplos dos itens 14 e 15: O estudo do movimento de um 'tatuzinho' ao longo de um tubo plástico forneceu a tabela abaixo. Estabelecer sua lei horária e o correspondente diagrama horário.

16. Abscissa inicial (so) - ou 'espaço inicial' é a abscissa (espaço) que localiza o móvel no instante inicial da contagem dos tempos ( t = 0). No diagrama horário, o ponto A onde a 'curva do diagrama' corta o eixo s tem justamente as coordenas s = so  e  t = 0.

17. Declividade da curva s(t) no ponto P - correspondente ao instante t1, é numericamente igual á velocidade escalar do móvel no instante considerado.

18. Diagrama da velocidade - é o gráfico cartesiano ortogonal da função v = v(t). É a versão geométrica, no plano cartesiano v versus t, da dependência entre v e t.
a) Nesse diagrama, a área compreendida entre a 'curva da velocidade' e o eixo dos tempos, entre dois instantes do movimento, é numericamente igual ao 'espaço percorrido' pelo móvel (
Ds) nesse intervalo de tempo.
b) Nesse diagrama, a declividade da curva no instante t1 é numericamente igual á aceleração escalar do movimento nesse instante.

19. Diagrama da aceleração - é o gráfico cartesiano ortogonal da função g = g(t). É a versão geométrica, no plano cartesiano g versus t, da dependência entre g e t.
a) Nesse diagrama, a área compreendida entre a 'curva da aceleração' e o eixo dos tempos, entre dois instantes do movimento, é numericamente igual á 'variação da velocidade' do móvel (
Dv) nesse intervalo de tempo.
b) Nesse diagrama, a declividade da curva no instante t1 é numericamente igual á "sacudida" escalar do movimento nesse instante. A ilustração abaixo refere-se a um movimento variado cuja aceleração escalar varia linearmente com o tempo e, nesse caso, a 'sacudida' (
& = dg/dt = tgq) é constante e não nula.

 

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