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Cinemática Escalar
(do ponto e dos sistemas)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

III. Movimento uniforme variado

21. Movimento uniforme variado - independentemente da particular forma da trajetória S (porém, previamente conhecida) é todo movimento cuja lei horária é do tipo:

s = A + B.t + C.t2

onde A, B e C são parâmetros (constantes em relação ao tempo) e C =/= 0.

21.1. Parâmetro A - é o valor que assume s, na lei horária, para t = 0, logo, identifica-se com a abscissa inicial so: A = so .

21.2. Parâmetro B - é o valor da derivada da função horária para t = 0, o que o identifica com a velocidade inicial do movimento: B = vo .
Lembramos: v = ds/dt = B + 2C.t   e, para t=0, v = vo = B.

21.3. Parâmetro C - é o valor da derivada segunda da função horária, para qualquer t, e identifica-se como a metade do valor da aceleração escalar: C = g/2 .
Lembramos:
g = d2s/dt2 = dv/dt = 2C , donde, C = g/2.

21.4. Forma típica - da lei horária para os movimentos uniformemente variados é:

s = so + vo.t + (1/2).g.t2 ... sistema coerente de unidades

 21.5. Leis do movimento uniformemente variado -

a) lei horária ............... s =so + vo.t + g.t2/2  ou, de modo mais geral: s = s1 + v1.(t-t1) + g.(t-t1)2/2
b) lei de velocidade ...
v = vo + g.t   ou, de modo mais geral, v = v1 + g.(t-t1)
c) lei de aceleração ...
g = gm = cte. =/= 0
d) lei de Torricelli ........
v2 = vo2 + 2.g.(s - so)  ou  s = (so - vo2/2g) + v2/2g

21.6. Propriedades nos movimentos uniformemente variados -

a) [fundamental] - a aceleração escalar é constante e não nula.
b) "Os incrementos de velocidades são proporcionais às extensões dos intervalos de tempo necessários
     para produzí-los [
Dv ~ Dt]".
c) "A velocidade média entre dois instantes é a média aritmética das velocidades nesses instantes":

(vm)t1--t2 = (v1 + v2)/2

d) re-escrevendo-se a lei horária assim: s - so = vo(t-to) + g.(t-to)2/2 tiramos: vm = (s-so)/(t-to) = vo + g.(t-to)/2 e, tomando-se, como se faz habitualmente, to = 0, vem :

vm = vo + g.(t/2)

ou seja, "A velocidade média em um dado intervalo de tempo é igual à metade da velocidade do móvel, na metade do referido intervalo".
e)  re-escrevendo a lei de Torricelli assim: (v2 - vo2)/2 = g.(s - so) tiramos:
"o produto da aceleração pelo 'espaço percorrido num dado intervalo de tempo' é igual à metade da diferença dos quadrados das 'velocidades nos extremos desse intervalo' ou, 'das velocidades nas posições correspondentes do móvel'."

Se observarmos com cuidado essa propriedade, veremos nela, claramente, o 'teorema da energia cinética' (TEC). Repare que, multiplicando-se ambos os termos da igualdade por m, massa da partícula, vem:

m.(v2 - vo2)/2 = m.g.(s - so)  ou  Ecin.final - Ecin.inicial =
DEcin = F.Ds = texterno

"O trabalho das forças externas aplicadas ao ponto mede a variação de sua energia cinética"

f) "Os espaços são proporcionais aos quadrados das velocidades". Isso vem imediatamente da lei de Torricelli escrita sob a forma:

s = (so - vo2/2g) + v2/2g

g) "Os espaços percorridos em cada unidade de tempo estão entre si como os números ímpares", ou seja:

Ds1/1 = Ds2/3 = Ds3/5 = Ds4/7 =  ......... = g/2

21.7. Gráficos dos movimentos uniformemente variados:

a) diagramas horários - arcos de parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo s.

a1- discussão para o caso de g > 0:

a2- discussão para o caso de g < 0:

b) diagramas de velocidades - segmentos de reta inclinados em relação ao eixo t.

c) diagramas de acelerações - segmentos de reta paralelos ao eixo t.

d) diagramas de Torricelli - s versus v - arcos de parábola com eixo de simetria coincidente com o eixo s.

e) alguns exemplos de diagramas -

22. Mudança do sentido de movimento - para qualquer tipo de movimento, dá-se no instante (ou instantes) ti em que a velocidade se anula (ti ==> vi = 0); graficamente esses instantes são obtidos pela intersecção da 'curva da velocidade' com o eixo dos tempos. Exemplos:

23. Classificação geral dos movimentos do ponto material:
a) segundo a trajetória: planos (retilíneos, circulares, parabólicos, elípticos etc.) e espaciais (curvas reversas);
b) segundo a velocidade escalar: uniformes (vescalar = cte. =/=0), uniformemente variados (a velocidade  varia linearmente com o tempo) e variados.
c) segundo a aceleração escalar: uniformes (a aceleração é constantemente nula), uniformemente variados (a aceleração é constante) e variados (aceleração altera seu valor no decorrer do tempo).

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