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Cinemática Vetorial
(Do ponto)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

VI. Conceitos básicos

26. Cinemática vetorial - é estudada adotando-se um sistema de referência de versores i, j e k, no qual a cada posição P do móvel fica definido um vetor r (denominado vetor posição) que tem por origem a origem do sistema coordenado e por extremidade a posição do móvel no instante considerado: r = (P - O).

27. Vetor posição - é o vetor r = P - O que localiza o ponto material no sistema de referência dado e no instante considerado.

28. Lei vetorial de movimento  -   conhecer o movimento de P é saber identificar, em cada instante t, o vetor r = r(t). A função que associa a cada instante t o correspondente vetor r é denominada 'lei vetorial de movimento' ou "equação vetorial de movimento".

29. Vetor deslocamento - ou simplesmente 'deslocamento' de P entre os instantes t1 e t2 é o vetor Dr assim definido:

30. Velocidade vetorial média - entre dois instantes t1 e t2 é o quociente do vetor deslocamento Dr nesse intervalo de tempo pelo escalar Dt, extensão do respectivo intervalo.

31. Velocidade vetorial - no instante t1 é o limite da velocidade vetorial média entre os instantes t1 e t2, quando o instante t2 se aproxima de t1 ou, o mesmo que, Dt ==> 0.

32. Incremento ou variação de velocidade vetorial - entre os instantes t1 e t2 é o vetor Dv assim definido:

33. Curva hodógrafa - associada  ao movimento do ponto P é a linha que se obtém ligando as extremidades de todos os vetores eqüipolentes dos vetores velocidades de P à partir de uma origem comum W denominada 'pólo'. Ao ponto I que descreve a curva hodógrafa associada ao movimento de P dá-se o nome de 'ponto indicador'.
Nota: Observe que nessa construção, os vetores velocidades de P comportam-se como 'vetores posição' de I; as variações de velocidades de P serão os 'vetores deslocamento' de I e, o que muito nos interessa, as velocidades do ponto I na curva hodógrafa serão os equivalentes aos vetores aceleração do movimento de P.

34. Aceleração vetorial média - entre os instantes t1 e t2 é o quociente do incremento de velocidade vetorial Dv, nesse intervalo de tempo, pelo escalar Dt, extensão do intervalo.

35. Aceleração vetorial - no instante t1, é o limite da aceleração vetorial média entre os instantes t1 e t2 quando o instante t2 se aproxima de t1:

36. Componentes normal, tangencial e bi-normal da aceleração vetorial - para movimentos sobre trajetória qualquer (plana ou reversa), convém associar ao ponto, em cada instante, um sistema de referência de versores h, t e b e, em relação a ele, referir a aceleração vetorial através de seus componentes:

37. Projeções de um movimento - se r = r(t) é a lei de movimento do ponto P, seus componentes segundo os eixos x, y e z, de versores i, j e k serão, respectivamente, x = x(t), y = y(t) e z = z(t), exatamente as funções escalares de movimento dos pontos Px, Py e Pz, projeções ortogonais de P segundo Ox, Oy e Oz, de modo que:

A expressão acima denomina-se 'expressão analítico-cartesiana do vetor posição' ou 'lei cartesiana de movimento'. De conformidade com as leis do cálculo diferencial valem:

37.1. Equações paramétricas da trajetória - a lei cartesiana de movimento fornece x = x(t), y = y(t) e z = z(t) que são as equações paramétricas da trajetória (o parâmetro é t). A equação normal (ou explícita) da trajetória se obtém eliminando-se 't' no sistema de equações. Nos movimentos planos, que nos interessam no momento, tem-se z = z(t) = 0.

37.2. Exemplo de aplicação - Seja dado o movimento obediente á seguinte lei:

Reconhecemos: trata-se de um movimento plano, uma vez que é nulo o componente segundo o eixo Oz. As projeções do movimento são, respectivamente,

que são as equações paramétricas da trajetória. eliminando-se t entre elas resulta: (eleve ao quadrado m.a.m. e some)

x2 + y2 = R2

equação de uma circunferência de centro na origem do sistema e raio R; logo, o movimento é circular.
Da lei de movimento, por derivação, obtém-se a lei de velocidade:

Os componentes da velocidade são, respectivamente:

Tratando-se de componentes retangulares da velocidade vetorial, seu módulo calcula-se mediante a expressão:

Efetuando-se o cálculo acima obtém-se |v| = w.R = cte.; trata-se, portanto, de um movimento cuja velocidade escalar é constante, ou seja, um movimento uniforme.
Concluímos: o movimento proposto é um movimento circular e uniforme, expresso vetorialmente.

38. Aspectos vetoriais de alguns movimentos -

38.1. Hodógrafos de alguns movimentos -

38.2. Composição de movimentos - se P está em movimento em relação ao referencial A (referencial relativo) e A, por sua vez está em movimento em relação ao referencial B (referencial absoluto), o movimento de P, em relação a B, se diz composto dos movimentos anteriores.
A trajetória de P em A será a 'trajetória relativa'; a trajetória de A em relação a B será a 'trajetória de arrastamento' e a trajetória de P em B será a 'trajetória absoluta'. Tais denominações valem para os deslocamentos, velocidades e acelerações.

38.3. Princípio de Galileu (Independência dos movimentos) - "Num movimento composto de vários outros simultâneos, cada um deles se executa independentemente dos outros". Desse modo, os movimentos, para efeito de estudos, podem ser imaginados como consecutivos. Para um dado intervalo de tempo valem as proposições:

Drabs. = Drrel. + Drarr.
vabs. = vrel. + varr.
aabs. = arel. + aarr. (translação pura)

 

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