CINEMÁTICA VETORIAL - PROJÉTEIS NO VÁCUO - FEIRA DE CIÊNCIAS ... O Imperdível !

Cinemática Vetorial
(Do ponto)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

VII. Movimento de projéteis (no vácuo)

39. Projéteis -
São corpos assimiláveis a ponto material que, após um impulso inicial, continuam seu movimento sob ação exclusiva da força determinada pela gravidade local. Em qualquer instante de movimento sua aceleração total é a_T = g. Admite-se, nesse estudo inicial, que a aceleração imposta pela gravidade g, permaneça constante (módulo, direção e sentido) durante todo o movimento. Assume-se, também, que para o breve intervalo de tempo no qual o movimento se processa, o sistema de referência ligado á Terra se comporte como inercial.

Se o impulso inicial tem direção vertical, o ponto realiza M.R.U.V. de direção vertical e suas equações encontram-se no item 24 (resumo R4 - Queda livre). Se o impulso inicial se dá na oblíqua (segundo ângulo de tiro q), o estudo do movimento é feito através de suas projeções sobre os eixos Ox e Oy, que definem o plano de sua trajetória; esse é o propósito desse item 39. Para tal estudo interessa conhecer:

Condições iniciais:

39.1. Leis vetoriais de movimento:

Como a aceleração vetorial total a(t) deve ser sempre igual à g, concluímos que a_x(t) = 0, ou seja, o componente de g segundo Ox é nulo; logo, o movimento segundo Ox é uniforme. Assim, a x(t) será do tipo:

x(t) = x_o + v_x.t com v_x = v_ox = v_o.cosq

Para as convenções adotadas (eixo y orientado positivamente para cima) o componente a_y(t) = - g = cte.; logo, o movimento segundo Oy é uniformemente variado. Assim, a y(t) será do tipo:

y(t) = y_o + v_oy.t - (1/2).g.t² com v_oy = v_o.senq

Desse modo, as leis vetoriais de movimento tornam-se:

39.2. Velocidade do projétil no instante t:

A relação entre a velocidade escalar (v) e a ordenada do ponto será: v² = v_o² - 2.g.(y - y_o), para todo t em seu intervalo de validade. [ demonstre isso! ]

39.3 Equação da trajetória do projétil -
Tomando-se, por comodidade, x_o= 0 e y_o = 0 (disparo a partir da origem do sistema de coordenadas), a equação da trajetória descrita pelo móvel se obtém eliminando-se o parâmetro t entre as equações x(t) = v_o.cosq.t e y(t) = v_o.senq.t - (1/2)g.t².Obtém-se:

que traduz um 'arco de parábola'.

De modo geral (x_o e y_o não nulos) tem-se:

39.4. Altura atingida (flecha) -
Para um dado v_o e q obtém-se:

y= v_o².sen²q/(2g) = h

39.5. Alcance horizontal -
Para um dado v_o e q obtém-se:

x= v_o².sen2q/g = D

39.6. Condição de tiro para alcance horizontal máximo -

q = 45^o e x_máx. = v_o²/g

Nota: Em lançamento vertical (q = 0), a altura máxima atingida vem dada por: y_máx. = H = v_o²/(2g). Vale despertar que o alcance horizontal máximo (x_máx.), com q = 45^o, é o dobro desse H; x_máx. = 2.H .

39.7. Ângulos de tiro para alcances iguais -

q e (90^o - q) (complementares)

39.8. Duração da ascensão -

39.9. Duração do trajeto -

T = 2.t_a

39.10. Acertando um alvo fixo

Objetivo
Usar das equações de movimento de um projétil, sob aceleração da gravidade suposta constante e isento da ação do ar, para determinar com que ângulo de tiro q pode-se acertar um alvo fixo. Nessa aplicação são conhecidas as coordenadas do alvo P(x_a,y_a) e a velocidade inicial do projétil v_o.

Ilustração

Recordamos aqui que o movimento do projétil no
plano (xOy) pode ser decomposto em dois outros:
a) um uniforme ao longo do eixo horizontal x e,
b) um uniformemente variado ao longo do eixo
vertical y.

Os componentes da velocidade inicial v_o segundo
tais eixos são:

v_ox= v_o.cosq e v_oy= v_o.senq

As equações dos movimentos componentes do projétil serão, portanto:

x = v_o.cosq.t
y = v_o.senq.t + (1/2)(-g).t²

Conhecida as coordenadas (x_a,y_a) do alvo, teremos um sistema de duas equações à duas incógnitas, a saber, t e q. São elas:

x_a = v_o.cosq.t e y_a = v_o.senq.t + (1/2)(-g).t²

Essa equação do segundo grau apresenta duas soluções, portanto, dois possíveis distintos ângulos de tiro permitirão ao projétil atingir o alvo. No item abaixo discutiremos essas soluções.

39.11. Parábola de Segurança -

Fixados P_o(x_o;y_o), v_o, g e um alvo A(x_a;y_a), a equação cartesiana da trajetória conduz a uma equação do 2^o grau em tgq (sec²q = 1 + tg²q), como visto acima em 39.10; da qual obtém-se q .

Há três casos a considerar, e que se distinguem pelo discriminante D da equação:

D < 0 - Não há solução real: o objetivo está fora de alcance.

D > 0 - Há duas soluções reais e distintas q₁ e q₂: o objetivo pode ser atingido por tiro tenso (canhão) ou tiro elevado (morteiro). Os ângulos de tiro são complementares se for Y_a = y_o .

D = 0 - Há duas soluções coincidentes: o objetivo é atingível com um só ângulo de tiro. O lugar geométrico dos alvos, nessa condição, é chamado de Parábola de Segurança. Ela é a envolvente das trajetórias balísticas que partem de P_o com v_o constante e q qualquer. Ela separa a região batida da região inatingível.

Sendo S(X;Y) o ponto genérico da Parábola de Segurança, obtém-se:

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