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Cinemática
Vetorial
(Do
ponto) |
Prof. Luiz Ferraz
Netto
leobarretos@uol.com.br
VII.
Movimento de projéteis (no vácuo)
39.
Projéteis -
São corpos assimiláveis a ponto material que, após um impulso
inicial, continuam seu movimento sob ação exclusiva da força
determinada pela gravidade local. Em qualquer instante de movimento
sua aceleração total é aT = g.
Admite-se, nesse estudo inicial, que a aceleração imposta pela
gravidade g, permaneça constante (módulo, direção
e sentido) durante todo o movimento. Assume-se, também, que para o
breve intervalo de tempo no qual o movimento se processa, o sistema
de referência ligado á Terra se comporte como inercial.
Se
o impulso inicial tem direção vertical, o ponto realiza M.R.U.V.
de direção vertical e suas equações encontram-se no item
24 (resumo R4 - Queda
livre). Se o
impulso inicial se dá na oblíqua (segundo ângulo de tiro q),
o estudo do movimento é feito através de suas projeções sobre
os eixos Ox e Oy, que definem o plano de sua trajetória;
esse é o propósito desse item 39.
Para tal estudo interessa conhecer:
Condições
iniciais:
39.1.
Leis vetoriais de movimento:
Como
a aceleração vetorial total a(t) deve ser sempre igual à
g, concluímos que ax(t) = 0, ou seja, o
componente de g segundo Ox é nulo; logo, o movimento
segundo Ox é uniforme. Assim, a x(t) será do tipo:
x(t)
= xo + vx.t
com vx =
vox =
vo.cosq
Para
as convenções adotadas (eixo y orientado positivamente para cima)
o componente ay(t) = - g = cte.; logo, o movimento
segundo Oy é uniformemente variado. Assim, a y(t) será do
tipo:
y(t)
= yo + voy.t - (1/2).g.t2
com voy
= vo.senq
Desse
modo, as leis vetoriais de movimento tornam-se:
39.2.
Velocidade do projétil no instante t:
A relação
entre a velocidade escalar (v) e a ordenada do ponto será: v2
= vo2 - 2.g.(y - yo),
para todo t em seu intervalo de validade. [ demonstre isso! ]
39.3
Equação da trajetória do projétil -
Tomando-se, por comodidade, xo = 0 e yo = 0
(disparo a partir da origem do sistema de coordenadas), a equação
da trajetória descrita pelo móvel se obtém eliminando-se o parâmetro
t entre as equações x(t) = vo.cosq.t
e y(t) = vo.senq.t
- (1/2)g.t2.Obtém-se:
que
traduz um 'arco de parábola'.
De modo
geral (xo e yo não nulos) tem-se:
39.4.
Altura atingida (flecha) -
Para um dado vo e q
obtém-se:
39.5.
Alcance horizontal -
Para um dado vo e q
obtém-se:
39.6.
Condição de tiro para alcance horizontal máximo -
Nota:
Em lançamento vertical (q
= 0), a altura máxima atingida vem dada por: ymáx. = H
= vo2/(2g). Vale despertar que o alcance
horizontal máximo (xmáx.), com q
= 45o, é o dobro desse H; xmáx.
= 2.H .
39.7.
Ângulos de tiro para alcances iguais -
| q
e (90o - q)
(complementares) |
39.8.
Duração da ascensão -
39.9.
Duração do trajeto -
39.10.
Acertando um alvo fixo
Objetivo
Usar das equações de movimento de um projétil, sob aceleração
da gravidade suposta constante e isento da ação do ar, para
determinar com que ângulo de tiro q
pode-se acertar um alvo fixo. Nessa aplicação são conhecidas as
coordenadas do alvo P(xa,ya) e a
velocidade inicial do projétil vo.
Ilustração
 |
Recordamos
aqui que o movimento do projétil no
plano (xOy) pode ser decomposto em dois outros:
a) um uniforme ao longo do eixo horizontal x e,
b) um uniformemente variado ao longo do eixo
vertical y.
Os
componentes da velocidade inicial vo
segundo
tais eixos são:
vox= vo.cosq
e voy=
vo.senq |
As
equações dos movimentos componentes do projétil serão,
portanto:
x
= vo.cosq.t
y = vo.senq.t
+ (1/2)(-g).t2
Conhecida
as coordenadas (xa,ya) do alvo,
teremos um sistema de duas equações à duas incógnitas, a saber,
t e q.
São elas:
xa
= vo.cosq.t
e
ya = vo.senq.t
+ (1/2)(-g).t2
Essa
equação do segundo grau apresenta duas soluções, portanto, dois
possíveis distintos ângulos de tiro permitirão ao projétil
atingir o alvo. No item abaixo discutiremos essas soluções.
39.11.
Parábola de Segurança -
Fixados
Po(xo;yo), vo, g e um
alvo A(xa;ya), a equação cartesiana da
trajetória conduz a uma equação do 2o grau em tg q
(sec2q
= 1 + tg2q),
como visto acima em 39.10; da qual obtém-se q
.
Há
três casos a considerar, e que se distinguem pelo discriminante D
da equação:
D
< 0 - Não
há solução real: o objetivo está fora de alcance.
D
> 0 - Há
duas soluções reais e distintas q1 e q2: o
objetivo pode ser atingido por tiro tenso (canhão) ou tiro elevado
(morteiro). Os ângulos de tiro são complementares se for Ya
= yo .
D
= 0 -
Há duas soluções coincidentes: o objetivo é atingível com um só
ângulo de tiro. O lugar geométrico dos alvos, nessa condição,
é chamado de Parábola de Segurança.
Ela é a envolvente das trajetórias balísticas que partem de Po
com vo constante e q
qualquer. Ela separa a região
batida da região inatingível.
Sendo
S(X;Y) o ponto genérico da Parábola de Segurança, obtém-se:
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