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Cinemática Vetorial
(Do ponto)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

VII. Movimento de projéteis (no vácuo)

39. Projéteis -
São corpos assimiláveis a ponto material que, após um impulso inicial, continuam seu movimento sob ação exclusiva da força determinada pela gravidade local. Em qualquer instante de movimento sua aceleração total é aT = g. Admite-se, nesse estudo inicial, que a aceleração imposta pela gravidade g, permaneça constante (módulo, direção e sentido) durante todo o movimento. Assume-se, também, que para o breve intervalo de tempo no qual o movimento se processa, o sistema de referência ligado á Terra se comporte como inercial.

Se o impulso inicial tem direção vertical, o ponto realiza M.R.U.V. de direção vertical e suas equações encontram-se no item 24 (resumo R4 - Queda livre). Se o impulso inicial se dá na oblíqua (segundo ângulo de tiro q), o estudo do movimento é feito através de suas projeções sobre os eixos Ox e Oy, que definem o plano de sua trajetória; esse é o propósito desse item 39. Para tal estudo interessa conhecer:

Condições iniciais:

39.1. Leis vetoriais de movimento:

Como a aceleração vetorial total a(t) deve ser sempre igual à g, concluímos que ax(t) = 0, ou seja, o componente de g segundo Ox é nulo; logo, o movimento segundo Ox é uniforme. Assim, a x(t) será do tipo:

x(t) = xo + vx.t   com  vx = vox = vo.cosq

Para as convenções adotadas (eixo y orientado positivamente para cima) o componente ay(t) = - g = cte.; logo, o movimento segundo Oy é uniformemente variado. Assim, a y(t) será do tipo:

y(t) = yo + voy.t - (1/2).g.t2 com  voy = vo.senq

Desse modo, as leis vetoriais de movimento tornam-se:

39.2. Velocidade do projétil no instante t:

A relação entre a velocidade escalar (v) e a ordenada do ponto será: v2 = vo2 - 2.g.(y - yo), para todo t em seu intervalo de validade. [ demonstre isso! ]

39.3 Equação da trajetória do projétil -
Tomando-se, por comodidade, xo = 0 e yo = 0 (disparo a partir da origem do sistema de coordenadas), a equação da trajetória descrita pelo móvel se obtém eliminando-se o parâmetro t entre as equações x(t) = vo.cosq.t e y(t) = vo.senq.t - (1/2)g.t2.Obtém-se:

que traduz um 'arco de parábola'.

De modo geral (xo e yo não nulos) tem-se:

39.4. Altura atingida (flecha) -
Para um dado vo e q obtém-se:

y = vo2.sen2q/(2g) = h

39.5. Alcance horizontal -
Para um dado vo e q obtém-se:

x = vo2.sen2q/g = D

39.6. Condição de tiro para alcance horizontal máximo -

q = 45o   e  xmáx. = vo2/g

Nota: Em lançamento vertical (q = 0), a altura máxima atingida vem dada por: ymáx. = H = vo2/(2g). Vale despertar que o alcance horizontal máximo (xmáx.), com q = 45o,  é o dobro desse H;  xmáx. = 2.H .

39.7. Ângulos de tiro para alcances iguais -  

q  e  (90o - q)  (complementares)

39.8. Duração da ascensão -

39.9. Duração do trajeto -

T = 2.ta

39.10. Acertando um alvo fixo

Objetivo
Usar das equações de movimento de um projétil, sob aceleração da gravidade suposta constante e isento da ação do ar, para determinar com que ângulo de tiro q pode-se acertar um alvo fixo. Nessa aplicação são conhecidas as coordenadas do alvo P(xa,ya) e a velocidade inicial do projétil vo.

Ilustração

Recordamos aqui que o movimento do projétil no
plano (xOy) pode ser decomposto em dois outros:
a) um uniforme ao longo do eixo horizontal x  e,
b) um uniformemente variado ao longo do eixo 
     vertical y.

Os componentes da velocidade inicial vo segundo
tais eixos são:

             vox= vo.cosq     e    voy= vo.senq

As equações dos movimentos componentes do projétil serão, portanto:

x = vo.cosq.t       
                y = vo.senq.t + (1/2)(-g).t2 

Conhecida as coordenadas (xa,ya) do alvo, teremos um sistema de duas equações à duas incógnitas, a saber, t e q. São elas:

xa = vo.cosq.t       e      ya = vo.senq.t + (1/2)(-g).t2 

Essa equação do segundo grau apresenta duas soluções, portanto, dois possíveis distintos ângulos de tiro permitirão ao projétil atingir o alvo. No item abaixo discutiremos essas soluções.

39.11. Parábola de Segurança -

Fixados Po(xo;yo), vo, g e um alvo A(xa;ya), a equação cartesiana da trajetória conduz a uma equação do 2o grau em tgq (sec2q = 1 + tg2q), como visto acima em 39.10; da qual obtém-se q .

Há três casos a considerar, e que se distinguem pelo discriminante D da equação:

D < 0 - Não há solução real: o objetivo está fora de alcance.

D > 0 - Há duas soluções reais e distintas q1 e q2: o objetivo pode ser atingido por tiro tenso (canhão) ou tiro elevado (morteiro). Os ângulos de tiro são complementares se for Ya = yo .

D = 0 - Há duas soluções coincidentes: o objetivo é atingível com um só ângulo de tiro. O lugar geométrico dos alvos, nessa condição, é chamado de Parábola de Segurança. Ela é a envolvente das trajetórias balísticas que partem de Po com vo constante e q qualquer. Ela separa a região batida da região inatingível.

Sendo S(X;Y) o ponto genérico da Parábola de Segurança, obtém-se:

 

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