Prof. Luiz Ferraz Netto
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IX. Cinemática do movimento harmônico simples

42. Introdução - Para compreender e explicar  os fenômenos naturais, em particular, os denominados fenômenos físicos, a Física lança mão de 'modelos', 'esquemas' e 'teorizações' não raras vezes artificiosas. A estrutura de um bom modelo, em geral, contém conceitos matemáticos. Veremos, a seguir, um modelo que se ajusta bem a uma vasta categoria de fenômenos físicos que reproduzem identicamente, suas características peculiares, a intervalos de tempos sucessivos e de extensões iguais --- são os fenômenos periódicos.
Dentre todos os fenômenos periódicos, vamos nos fixar naqueles para os quais aplicam-se os conceitos de movimento, espaço, velocidade, força, energia etc. --- são os movimentos periódicos; para os quais reconhecemos também os conceitos de período (T) e freqüência (f).
Se um movimento, além de periódico, apresentar sentido de movimento regularmente invertido, ele se enquadra no modelo geral das Oscilações e será denominado movimento oscilatório ou vibratório. O mais simples deles -- e portanto básico -- é estudado mediante uma função periódica harmônica (em seno ou cosseno) e, a partir dele pode-se estudar todos os demais movimentos oscilatórios. Esse movimento fundamental é o movimento harmônico simples (m.h.s.).

42.1. Que é uma função periódica? - Bem, agora é a vez da matemática, que nos dá a seguinte definição:

42.2. Propriedades (importante!) -

43. Lei de movimento do m.h.s. - independente da forma da trajetória S (porém previamente conhecida) é todo movimento cuja lei horária é do tipo:

s = A.cos(B.t + C)  ... S.C.U.

onde A, B e C são parâmetros (constantes em relação ao tempo).

43.1. Movimento retilíneo harmônico simples (MRHS) - a trajetória do ponto que realiza o MHS é um segmento de reta. Esse caso particular, tradicionalmente estudado em nível médio, pode, por questão de comodidade e visualização, ser desenvolvido como projeção de um MCU sobre um diâmetro qualquer. Nesse caso, o argumento do cosseno (na lei de definição), B.t + C, é exatamente a lei horária angular do MCU e o coeficiente A se identifica com o raio da circunferência. Assim, enquanto o ponto P descreve seu MCU, sua projeção M sobre o diâmetro AA' descreverá o MHS.
Desse ponto em diante, ao referirmo-nos ao MHS estaremos falando desse caso em que a trajetória é retilínea. Adotaremos as seguintes notações:

44. Equação típica do movimento harmônico simples -

s = a.cos(w.t + j_o)   ... S.I.

com a, w e j_o constantes em relação ao tempo.

44.1. Exemplos de sistemas que executam MHS -

44.2. Características do MHS -

a) Período (T) - é a extensão do intervalo de tempo que separa a passagem do ponto duas vezes pela mesma posição, com o mesmo sentido de movimento, consecutivamente. Matematicamente é o menor dos A que satisfaz a função periódica s = a.cos(w.t+j_o). De modo elementar, é o intervalo de tempo necessário para o ponto realizar uma oscilação completa.

b) Freqüência (f) - é, numericamente igual, ao número de períodos que perfazem a unidade de tempo; matematicamente: f = 1/T s^-1 = 1/T Hz (hertz). De modo elementar, é o número de oscilações completas que o ponto realiza na unidade de tempo.

c) Elongação (s) - é o espaço do ponto no sistema de coordenadas abscissas definido sobre a sua trajetória. Matematicamente é o valor da função  s = s(t) no instante t.

d) Amplitude (a) - é, em valor absoluto, a elongação máxima do ponto P que realiza o MHS; é também a medida do segmento de reta OA ou OA', com O sendo o ponto médio do segmento AA'. É, ainda, a distância da 'posição de equilíbrio' O a qualquer um dos pontos de inversão do movimento.

e) Pulsação (w) - é a grandeza física que indica o período ou a freqüência mediante as relações: w = 2p/T ou w = 2pf. Em virtude disso, também é reconhecida como 'freqüência angular'. Note que a relação entre w e T é uma conseqüência matemática da função que define o MHS. Nesses termos, a lei de movimento do MHS pode ser posta como:

s = a.cos[(2p/T).t + j_o)]    ou   s = a.cos(2pf.t + j_o)

f) Fase (j) - (j = w.t + j_o) é o argumento do cosseno na lei horária. Localiza, angularmente, o ponto P, no instante t.

g) Fase inicial (j_o) - indica, angularmente, a posição inicial do ponto pois, para t = 0, tem-se s_o =a.cosj_o . Note que, j_o fica subordinado apenas à escolha da origem dos tempos.

45. Funções do movimento harmônico simples -

a) lei horária ................. s = a.cos(w.t + j_o)
b) lei de velocidade ....  v = - w.a.sen(w.t + j_o)
c) lei de aceleração ....  g = -w²a.cos(w.t + j_o)
d) lei fundamental ........  g = -w².s = -(4p²/T²).s = -4p²f².s
e) lei binômia ...............  s = A.cosw.t + B.senw.t , com A = a.cosj_o  e B = -a.senj_o
f)  lei de Torricelli .........  v² = w².(a² - s²)
g) lei do período ..........  T = 2p.(a/g)^1/2

45.1. Propriedades do MHS -

a) A aceleração escalar é uma função senoidal do tempo.
b) A aceleração escalar é proporcional à elongação, com sinal trocado; o coeficiente de proporcionalidade é o quadrado da pulsação.
c) A aceleração está sempre em oposição de fase com a elongação (ângulo r,a = 180^o --- veja representação de Fresnell).
d) A velocidade está sempre em quadratura de fase, adiantada, em relação à elongação (ângulo v,r = 90^o).

45.2. Gráficos cartesianos do MHS - s x t, v x t e g x t:

45.3. Gráficos - propriedade fundamental (g x s) e v x s (diagrama de Torricelli):

45.4. Representação Fresnelliana - vetores girantes -

46. Movimento circular harmônico simples (MCHS) -