Prof. Luiz Ferraz
Netto
leobarretos@uol.com.br
IX.
Cinemática do movimento harmônico simples
42.
Introdução - Para compreender e explicar os fenômenos
naturais, em particular, os denominados fenômenos físicos,
a Física lança mão de 'modelos', 'esquemas' e 'teorizações' não
raras vezes artificiosas. A estrutura de um bom modelo, em geral,
contém conceitos matemáticos. Veremos, a seguir, um modelo que se
ajusta bem a uma vasta categoria de fenômenos físicos que
reproduzem identicamente, suas características peculiares, a
intervalos de tempos sucessivos e de extensões iguais --- são os fenômenos
periódicos.
Dentre todos os fenômenos periódicos, vamos nos fixar naqueles
para os quais aplicam-se os conceitos de movimento, espaço,
velocidade, força, energia etc. --- são os movimentos periódicos;
para os quais reconhecemos também os conceitos de período
(T) e freqüência (f).
Se um movimento, além de periódico, apresentar sentido de
movimento regularmente invertido, ele se enquadra no modelo geral
das Oscilações e será denominado movimento oscilatório
ou vibratório. O mais simples deles -- e portanto básico
-- é estudado mediante uma função periódica harmônica (em seno
ou cosseno) e, a partir dele pode-se estudar todos os demais
movimentos oscilatórios. Esse movimento fundamental é o movimento
harmônico simples (m.h.s.).
42.1.
Que é uma função periódica? - Bem, agora é a vez da
matemática, que nos dá a seguinte definição:
42.2.
Propriedades (importante!) -
43.
Lei de movimento do m.h.s. - independente da forma da
trajetória S
(porém previamente conhecida) é todo movimento cuja lei horária
é do tipo:
s
= A.cos(B.t + C) ...
S.C.U.
onde
A, B e C são parâmetros (constantes em relação ao tempo).
43.1.
Movimento retilíneo harmônico simples (MRHS) - a
trajetória do ponto que realiza o MHS é um segmento de reta. Esse
caso particular, tradicionalmente estudado em nível médio, pode,
por questão de comodidade e visualização, ser desenvolvido como
projeção de um MCU sobre um diâmetro qualquer. Nesse caso, o
argumento do cosseno (na lei de definição), B.t + C, é
exatamente a lei horária angular do MCU e o coeficiente A se
identifica com o raio da circunferência. Assim, enquanto o ponto P
descreve seu MCU, sua projeção M sobre o diâmetro AA' descreverá
o MHS.
Desse ponto em diante, ao referirmo-nos ao MHS estaremos falando
desse caso em que a trajetória é retilínea. Adotaremos as
seguintes notações:
44.
Equação típica do movimento harmônico simples -
s
= a.cos(w.t
+ jo)
... S.I.
com
a, w
e jo
constantes em relação ao tempo.
44.1.
Exemplos de sistemas que executam MHS -
44.2.
Características do MHS -
a)
Período (T) - é a extensão do
intervalo de tempo que separa a passagem do ponto duas vezes pela
mesma posição, com o mesmo sentido de movimento,
consecutivamente. Matematicamente é o menor dos A que satisfaz a
função periódica s = a.cos(w.t+jo).
De modo elementar, é o intervalo de tempo necessário para o ponto
realizar uma oscilação completa.
b)
Freqüência (f) - é, numericamente igual, ao número de
períodos que perfazem a unidade de tempo; matematicamente: f = 1/T
s-1 = 1/T Hz (hertz). De modo elementar, é o número de
oscilações completas que o ponto realiza na unidade de tempo.
c)
Elongação (s) - é o espaço
do ponto no sistema de coordenadas abscissas definido sobre a sua
trajetória. Matematicamente é o valor da função s = s(t)
no instante t.
d)
Amplitude (a) - é, em valor absoluto,
a elongação máxima do ponto P que realiza o MHS; é também a
medida do segmento de reta OA ou OA', com O sendo o ponto médio do
segmento AA'. É, ainda, a distância da 'posição de equilíbrio'
O a qualquer um dos pontos de inversão do movimento.
e)
Pulsação (w)
- é a grandeza física que indica o período ou a freqüência
mediante as relações: w
= 2p/T
ou w
= 2pf.
Em virtude disso, também é reconhecida como 'freqüência
angular'. Note que a relação entre w
e T é uma conseqüência matemática da função que define o MHS.
Nesses termos, a lei de movimento do MHS pode ser posta como:
s
= a.cos[(2p/T).t
+ jo)]
ou s = a.cos(2pf.t
+ jo)
f)
Fase (j)
- (j
= w.t
+ jo)
é o argumento do cosseno na lei horária. Localiza, angularmente,
o ponto P, no instante t.
g)
Fase inicial (jo)
- indica, angularmente, a posição inicial do ponto pois, para t =
0, tem-se so =a.cosjo
. Note que, jo
fica subordinado apenas à escolha da origem dos tempos.
45.
Funções do movimento harmônico simples -
a)
lei horária ................. s
= a.cos(w.t + jo)
b) lei de velocidade .... v
= - w.a.sen(w.t
+ jo)
c) lei de aceleração .... g
= -w2a.cos(w.t
+ jo)
d) lei fundamental ........ g
= -w2.s
= -(4p2/T2).s
= -4p2f2.s
e) lei binômia ............... s
= A.cosw.t +
B.senw.t , com
A = a.cosjo
e B = -a.senjo
f) lei de Torricelli .........
v2 = w2.(a2
- s2)
g) lei do período .......... T
= 2p.(a/g)1/2
45.1.
Propriedades do MHS -
a)
A aceleração escalar é uma função senoidal do tempo.
b) A aceleração escalar é proporcional à elongação, com sinal
trocado; o coeficiente de proporcionalidade é o quadrado da pulsação.
c) A aceleração está sempre em oposição de fase com a elongação
(ângulo r,a = 180o --- veja representação
de Fresnell).
d) A velocidade está sempre em quadratura de fase, adiantada, em
relação à elongação (ângulo v,r = 90o).
45.2.
Gráficos cartesianos do MHS - s x
t, v x t e g
x t:
45.3.
Gráficos - propriedade
fundamental (g
x s) e v x s (diagrama de
Torricelli):
45.4.
Representação Fresnelliana - vetores girantes -
46.
Movimento circular harmônico simples (MCHS) -
