Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

X. Composições de movimentos harmônicos simples

47. Composição de dois mm.hh.ss. de mesma direção e mesmo período - A composição de dois movimentos harmônicos simples nas condições especificadas origina um novo MHS, de mesmo período que os componentes, na direção dada. A amplitude R do movimento resultante e sua fase inicial j_o são calculadas pelas expressões a seguir. O ângulo constante que o movimento resultante faz com o primeiro movimento será indicado por q; em qualquer instante, a fase do movimento resultante será a fase do primeiro movimento (j_o1) acrescida de q : j_o = q + j_o1.

movimentos componentes: s₁ = a.cos(w.t + j_o1)
                                                s₂ = b.cos(w.t + j_o2)

movimento resultante         :   s = s1 + s2 = R.cos(w.t + j_o)   com:

47.1. Discussão - Se:

a) Dj = 0 rad (concordância de fases), com a = b tem-se interferência construtiva e com a =/= b tem-se interferência parcialmente construtiva.

b) Dj = p/2 rad - os movimentos estão em quadratura de fases.

c) Dj = p rad (oposição de fases), com a = b tem-se interferência destrutiva e com a =/= b tem-se interferência parcialmente destrutiva.

48. Composição de dois mm.hh.ss. de mesma direção e períodos diferentes - o movimento resultante não é harmônico simples. Se os períodos dos movimentos componentes são comensuráveis (razão racional), o movimento resultante é periódico; se são incomensuráveis o movimento resultante nem periódico será.

48.1. Discussão - para períodos comensuráveis tem-se:

a) T₁/T₂ = p/q ... (p,q, inteiros, primos) - o período do movimento resultante é o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) dos períodos componentes.

b) T₁/T₂ = p/q ... (p é múltiplo inteiro de q) - o período do movimento resultante é igual ao maior dos períodos componentes.

c) T₁/T₂ = p/q ... (p próximo de q) - batimento - o período de batimento associado ao movimento resultante é T_b = (T₁ x T₂)/|T₁ - T₂|; a freqüência de batimento é f_b = |f₂ - f₁|, o período do movimento resultante é o m.m.c. dos períodos componentes.

49. Composição de dois movimentos harmônicos simples de direções ortogonais:

a) mesmo período - o movimento resultante é periódico, de período igual ao dos componentes. O tipo de movimento resultante e de sua trajetória é função da defasagem dos movimentos componentes:

a1) Dj = 0 rad ....... a = b ..... trajetória = segmento de reta; movimento = MHS (I)
                                 a =/= b ... trajetória = segmento de reta; movimento = MHS (II)

a2) Dj = p/2 rad......a = b ..... trajetória = circunferência; movimento = MCU (III)
                                   a =/= b.. trajetória = elipse simétrica; movimento = lei das áreas (IV)

a3) Dj = p rad ....... a = b ..... trajetória = segmento de reta; movimento = MHS (V)
                                  a =/= b... trajetória = segmento de reta; movimento = MHS (VI)

a4) Dj = 3p/2 rad .. a = b ..... trajetória = circunferência; movimento = MCU (VII)
                                   a =/= b.. trajetória = elipse simétrica; movimento = lei das áreas (VIII)

       Equação geral das trajetórias

b) períodos diferentes -  se os períodos componentes são comensuráveis, o movimento resultante é periódico e seu período é o m.m.c. dos períodos componentes. As trajetórias são figuras particulares e o conjunto deles denomina-se figuras de Lissajous.

Nota: para períodos comensuráveis vale a relação:

onde n_h é o número de intersecções de uma secante horizontal com a figura de Lissajous e n_v é o número de intersecções de uma secante vertical com a mesma figura, que é a trajetória do ponto que realiza o movimento resultante.

Se os períodos componentes são incomensuráveis, a trajetória resultante não é definida e o ponto varre toda a área do retângulo (2a x 2b); o movimento resultante não é periódico.