MÉDIAS - MÉDIA HARMÔNICA - VELOCIDADE MÉDIA - FEIRA DE CIÊNCIAS ... O Imperdível !

Que é uma velocidade média?
(Folha de Resposta 3 - Conceito de média; aritmética, harmônica, etc.)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

"Um carro desloca-se do ponto A para o ponto B com velocidade constante de módulo 60 km/h; o caminho inverso ele o faz com velocidade constante de módulo 40 km/h. Determine a velocidade média do carro durante todo o tempo de movimento, excluindo o breve intervalo de tempo de parada no ponto B. Discuta o conceito de 'média'."

A questão proposta é realmente de conceito e serve bem de 'alerta' aos alunos.

A rigor, a velocidade vetorial média do carro, segundo a expressão vetorial de definição v_m = Dr/Dt é igual a zero, já que, partindo de A, ao fim e ao cabo acabou retornando ao ponto A (ou seja, seu deslocamento vetorial é nulo).
Adotando-se sobre a trajetória (conhecida, num dado referencial) um sistema de coordenadas abscissas s, com origem em A e sentido positivo de A para B, a velocidade escalar média, por sua definição v_m = Ds/Dt também é nula, uma vez que Ds = s_A(final) - s_A(inicial) = 0.

Por outro lado, reconhecemos que na 'vida cotidiana' se entende por velocidade média como sendo o valor médio modular (não considerar os valores algébricos das velocidades parciais) e que pode ser calculado dividindo-se a extensão do trajeto total percorrido pelo intervalo de tempo em que se dá o movimento (v_m = trajeto total/ tempo total).

Entretanto, muitos alunos afoitos dariam para a questão o resultado v_m = 50 km/h, aplicando uma simples "média aritmética" [v_m = (60 + 40)/2 = 50] o que, sem dúvida, não é o resultado correto, pois nem mesmo atende ao conceito de velocidade média.

Com efeito, indiquemos por d a distância entre os pontos A e B. Assim, o intervalo de tempo 'gasto' pelo carro no trajeto de A para B será: Dt₁ = d/v₁ . A viagem de regresso requererá um intervalo de tempo:
Dt₂ = d/v₂ . No percurso total de ida e volta o intervalo de tempo será:

Dt = Dt₁ + Dt₂ = d/v₁ + d/v₂ = d(v₁ + v₂)/v₁.v₂

Desse modo, a velocidade média será (lembrando que, 2d será a extensão do trajeto total):

Substituindo-se v₁ e v₂ por seus valores da questão original, teremos: v_m = 2.60.40/(60+40) = 48 km/h.

A expressão para o cálculo da velocidade média, nesse caso (e equivalentes) pode ser posta sob a forma:

A grandeza v_m determinada por essa técnica recebe o nome de média harmônica das grandezas v₁ e v₂ . Portanto, a média harmônica de dois números dados é o inverso do número obtido pela média aritmética dos inversos dos números dados.

A média harmônica de dois números a e b pode ser obtida geometricamente. Na ilustração a seguir está representada uma hipérbole 'equilátera' que expressa a função y = 1/x :

Marquemos no eixo Ox o segmento OA₁ = a e OA₂ = b. A seguir, tracemos as linhas de chamadas verticais pelos pontos A₁ e A₂, que interceptam a curva nos pontos B₁ e B₂; por B₁ e B₂ tracemos as linhas de chamadas horizontais que interceptam o eixo Oy nos pontos C₁ e C₂ (as setas indicam essa seqüência geométrica).
O passo seguinte é obtermos o ponto C, médio do segmento C₁C₂. As linhas de chamada de C para a hipérbole (B) e da hipérbole para Ox determinam o ponto A. O comprimento h do segmento OA será a média harmônica dos números a e b, o que se deduz diretamente das igualdades:

OC₁ = A₁B₁ = y₁ = 1/a ; OC₂ = A₂B₂ = y₂ = 1/b ; OC = AB = y = 1/h

donde

OC =(1/2)(OC₁ + OC₂) = (1/2)(A₁B₁ + A₂B₂) = (1/2)(1/a + 1/b) = 1/h

Pode-se demonstrar que, entre a média harmônica (h) de dois números a e b, sua média geométrica () e sua média aritmética [m = (a+b)/2], existe a relação: (onde o sinal de igualdade tem lugar no caso em que a = b).

NOTA
A velocidade escalar média, só em alguns casos físicos é igual à média aritmética. Isso ocorre, por exemplo, no movimento uniformemente variado (movimento com aceleração escalar constante e não nula).
Realmente, se v₁ e v₂ são as velocidades nos instantes t₁ e t₂, de um MUV, a velocidade escalar média nesse intervalo de tempo será v_m = (v₁+v₂)/2.
Todavia, essa 'propriedade' decorre da própria definição de 'velocidade escalar média' aplicada ao MUV. Vejamos como se chega a isso:
A equação geral da velocidade nos MUVs é v = v_o + a.t; assim, nos instantes t₁ e t₂ teremos, respectivamente: v₁ = v_o + a.t₁ e v₂ = v_o + a.t₂ , e os espaços correspondentes serão: s₁ = s_o + v_o.t₁ + (1/2).a.t₁² e s₂ = s_o + v_o.t₂ + (1/2).a.t₂² . Por definição, v_m = Ds/Dt, então:

                         v_m = Ds/Dt = (s₂ - s₁)/(t₂ - t₁) = [s_o + v_o.t₂ + (1/2).a.t₂² - s_o - v_o.t₁ - (1/2).a.t₁²]/(t₂ - t₁) =
                              = [v_o(t₂ - t₁) + (1/2)a(t₂² - t₁²)]/(t₂ - t₁) = v_o + (1/2)a(t₂ + t₁) = v_o + a.t₁/2 + a.t₂/2     =
                              = (2.v_o + a.t₁ + a.t₂)/2 = (v_o + a.t₁ + v_o + a.t₂)/2 = (v₁ + v₂)/2 (média aritmética de v₁ e v₂).

No obstante, a velocidade média no problema em questão, assumindo o caráter popular da idéia de velocidade média, se expressa como média harmônica das velocidades v₁ e v₂.

Porém, com a média aritmética, a média harmônica e a média geométrica não se esgotam as quantidades de médias existentes. Existe ainda a média anti-harmônica, a média quadrática, a média ponderada ......... E isso não é tudo!