menu_topo

Pêndulo (Roda) de Maxwell
(Conservação da energia)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Objetivo
Despertar no aluno o estudo de novos conceitos dentro da Física, ampliando seus horizontes científicos.
O aluno interessado deverá procurar literatura sobre a Dinâmica da Rotação dos Sólidos. Entre os conceitos que encontrará, destaca-se o de momento de inércia. A conservação da energia e a da quantidade de movimento angular são outros dois conceitos de destaque.

Perguntas e Respostas
Para auxiliá-lo na introdução desse assunto, vejamos um 'diálogo' tipo Perguntas e Respostas envolvendo questões conceituais:

a) Podemos descrever o movimento de um ponto de um corpo rígido em rotação, quer por grandezas angulares, quer por lineares. Por que necessitamos de grandezas (variáveis) angulares quando estamos familiarizados com as equivalentes grandezas lineares?

A descrição por meio de variáveis angulares oferece vantagem sensível sobre a descrição por meio de variáveis lineares, quando se trata de descrever os movimentos de vários pontos de um mesmo corpo rígido em rotação. 
Diferentes pontos de um corpo rígido em rotação não têm o mesmo deslocamento, velocidade ou aceleração lineares, mas todos eles têm o mesmo deslocamento, velocidade e aceleração angulares, num dado instante. Empregando variáveis angulares podemos descrever, de um modo bastante simples, o movimento de um corpo como um todo. A descrição pode ser feita de duas maneiras: grandezas lineares s, v e at  e grandezas angulares  q, w e  a, cujas relações são as seguintes: s = r.q  , v = r.w   e  at = r.a.

b) Como pode uma pessoa distinguir um ovo fresco de um outro bem cozido?

b1) Fazendo-o girar sobre uma mesa. O ovo fresco dá uma rotação mais irregular do que o ovo cozido, uma vez que no ovo fresco a clara e a gema estão fluidas e deslocam-se no seu interior. Esse deslocamento faz variar o momento de inércia e a velocidade angular; uma conseqüência do  princípio da conservação da quantidade de movimento angular (*). Quando se cozinha o ovo, dá-se o endurecimento do conteúdo e ele gira com regularidade, uma vez que o momento de inércia e a velocidade angular são constantes, já que não se produzem deslocamentos da massa do seu interior.
b2) Também é possível diferenciá-los, deixando-os rolar sobre o mesmo plano inclinado, a partir de uma certa altura.

(*) A quantidade de movimento angular (L), que é o momento da quantidade de movimento (m.v), L = r x m.v, é também conhecida por 'momento cinético' ou 'momentum' angular.

c) Pendura-se um corpo rígido por meio de um linha e, desse corpo, pendura-se outro mediante um fio de aço fino. Torce-se o fio de aço (junto com o corpo inferior), mantendo-se preso o corpo de cima, soltando-os em seguida. Que movimento adquirem os corpos?

Os dois corpos giram em sentidos opostos, de acordo com o princípio da conservação da quantidade de movimento angular.
Como, inicialmente, a velocidade angular era nula, cumprir-se-á em todo momento a lei:  I.w  + I'.w' = 0. 

Serão, portanto, movimentos oscilatórios de sinais contrários.

d) Que aconteceria a um carrossel se todos os garotos que brincam sobre ele, se aproximassem, simultaneamente, do eixo do mesmo?

O carrossel giraria mais rapidamente em virtude do princípio da conservação da quantidade de movimento angular (L = I.w), uma vez que a diminuição do momento de inércia (I), quando os garotos se aproximam do eixo, acarretaria um aumento da velocidade angular (w), na mesma proporção, de acordo com a lei:  I.w  =  I'.w' .

e) O experimento de Maxwell - Roda ou pêndulo de Maxwell
O disco homogêneo é solidário ao eixo de rotação que passa pelo seu centro. Os cordéis são postos de modo que o eixo permaneça sempre na horizontal. Ao soltar o disco de sua posição mais elevada (com os cordéis enrolados em ambos os lados do eixo) sua energia cinética de rotação aumenta às custas da perda de energia potencial gravitacional (parte dela é perdida na translação). O sistema comporta-se como um 'ioiô'.


Montagem do pêndulo de Maxwell

Qual destes corpos abaixo, todos de mesma massa, manterá o movimento de subida e descida durante maior intervalo de tempo? Atente bem para as figuras pois elas permitem colher detalhes sobre as distribuições de massas.


Várias distribuições de massas

f) Por que a Roda de Maxwell tem esse comportamento?
Para bem entender o fenômeno, vamos substituir os cordéis que se enrolam no eixo da Roda por dois 'metros de balcão' dispostos como um 'plano inclinado', como se ilustra a seguir:

A intenção é fazer a Roda, fixa no seu eixo, girar nas guias inclinadas, e apoiadas pelo seu eixo. O que queremos mostrar é que a conservação da energia requer que, quando a Roda rola sobre seu eixo, quase toda a sua energia cinética é rotacional, de modo que o sistema (Roda fixa a seu eixo) desce muito lentamente. É exatamente isso que acontece com a Roda de Maxwell quando suspensa por um par de cordéis enrolados em seu eixo é abandonada sob ação da gravidade.

Para reproduzir esse experimento --- o que é altamente recomendável --- faça uma roda de madeira compensada (espessura 2 cm) com cerca de 20 cm de diâmetro dotada de um furo no seu centro de gravidade. Na verdade essa 'roda' não precisa ser 'perfeitamente redonda'; basta que o eixo passe exatamente pelo seu centro de gravidade. Tal eixo pode ser uma vareta de latão de diâmetro 0,3 cm ou mesmo um parafuso comprido. Cuide para que esse eixo passe com certa facilidade por esse furo no centro da roda e se estenda coisa de 2,5 a 3 cm de cada lado da roda. Aperte firmemente as porcas e arruela de ambos os lados da roda para, com isso, fixar fortemente a roda ao eixo. Se o eixo for uma vareta de latão outra técnica deve ser pensada para essa fixação do eixo na roda.
Nota: Essa técnica de fixação do eixo na roda deve ser tal que permita liberar a roda, para girar livremente no eixo, quando isso for uma necessidade experimental.

A inclinação na qual o sistema será abandonado pode ser conseguida através de um bloco de madeira de 15 cm de altura, colocado sob as extremidades dos 'metros de balcão'. Se em lugar dos 'metros de balcão' você optar por duas hastes de madeira, cuide para coloca-las de modo que tenham o mínimo de flexão com a passagem do sistema roda-eixo.

Procedimento
Coloque o sistema na posição mais alta do plano inclinado e solte-o (veja figura acima --- por vezes, um pequeno impulso será necessário para iniciar o movimento.). A aceleração, rampa abaixo, é surpreendentemente pequena, devido ao pequeno valor do diâmetro do eixo em relação ao da roda. Você poderá, facilmente, cronometrar os intervalos de tempo que o sistema 'gasta' para percorrer (rolar) 10 cm, 20 cm, 30 cm, ... , e constatar que a aceleração escalar linear é constante.

Na base da rampa, a energia potencial inicial,  Ep = mgh,  foi inteiramente convertida em energia cinética de rotação, Ecr, e de translação, Ect. A energia cinética de rotação, cuja expressão geral é, Ecr = (1/2).I.w2, pode ser calculada utilizando I = (1/2).m.R2 e w = v/r para obter a relação Ecr = (1/4).m.v2.(R/r)2, onde I é o momento de inércia do disco, w sua velocidade angular, R o raio do disco, r o raio do eixo e m a massa da roda.
A seguir, podemos comparar a energia cinética de rotação [Ecr = (1/4).m.v2.(R/r)2] com a energia cinética de translação [Ect = (1/2).m.v2] para verificar que, a Ecr é maior que a Ect, pelo fator k = (1/2)(R/r)2 , ou seja:  Ecr = k.Ect.

Para o caso de R = 20 cm e r = 0,3 cm (como sugerimos no texto), esse fator torna-se k = (1/2)(20/0,3)2 ~ (1/2)(67)2 ~ 2 244, que explica porque é que a Roda rola pela rampa com tão pouca energia cinética de translação (e tanta de rotação).
Esse mesmo fator k = 2 244, para a razão entre a energia cinética de rotação e a de translação, mantém-se quando o sistema (roda + eixo) é suspensos por um par de cordéis enrolados em seu eixo e fixados a um suporte horizontal, tal qual o experimento da Roda de Maxwell.

Admitindo-se que a espessura do cordel não conduza a um maior raio eficaz do eixo, a aceleração vertical (ou seja, aquela de translação da roda) deverá ser expressa por  a = g/(2244)(1/2) , ou algo como 0,2 m/s2. Com essa aceleração a roda irá demorar pelo menos 3,0 segundos para descer de 1 metro. Se, todavia, você desapertar as porcas que mantém a roda fixa no eixo, o sistema descerá com aceleração de cerca de 10 m/s2, visto que irá adquirir uma energia cinética rotacional muito pequena durante sua descida, e quase toda a sua energia potencial original será convertida em energia cinética de translação da roda em queda. Essa parte da demonstração não funciona muito bem para o caso da rampa inclinada devido ao atrito entre a roda e o eixo mas, se você conseguir minimizar suficientemente esse inconveniente, irá obter para a aceleração linear nesse 'plano inclinado' de q, algo próximo do  a = g.senq.
No nosso exemplo, senq = 15cm/100cm = 0,15, então, a = 1,5 m/s2.

No tema, recomenda-se a leitura do trabalho: Roletes na calha ; clique aqui.

Veja fotos do Pêndulo de Maxwell e Roda no Plano Inclinado na Feira de Ciências Virtual.

 

Copyright © Luiz Ferraz Netto - 2000-2008 ® - Web Máster: Todos os Direitos Reservados

menu_google