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Fcp - Líquidos em rotação
(Exercício prático)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br 

Objetivo
Examinar a propriedades dos líquidos sob rotação uniforme. Equacionamento do parabolóide.

Experimento
A parte experimental inicia-se com um grande cilindro de acrílico transparente, bem centrado, sobre o prato de um toca-disco. Ajuste a rotação do prato para 45 rpm e lentamente verta água no cilindro, até obter algo como a configuração ilustrada.


Rotor com água

Desligue o motor, aguarde o novo equilíbrio do líquido e marque no cilindro esse nível. A seguir vamos propor um exercício.

Exercício
"Um vaso contendo água está animado de movimento de rotação uniforme em torno de seu eixo vertical. Qual será a forma da superfície livre do líquido?"

Resolução
Seja CMB (curva hachurada na figura abaixo) a intersecção da superfície livre em questão, com o plano vertical contendo o eixo (e) e, indiquemos por 
w a velocidade escalar angular dos pontos do líquido.


Dedução do tipo de curva

Individualizemos a gota M. A resultante das forças P (peso) e N (normal ao plano tangente t) é a força centrípeta que convém ao movimento circular e uniforme dessa gota. Do triângulo hachurado obtemos:

Observe que, independentemente da particular gota M da superfície, a distância ED (denominada sub-normal) é constante, donde se conclui  que a curva CMB é uma parábola e que a superfície livre em questão é um parabolóide de revolução.

Podemos apresentar um segundo método para essa conclusão.


Outra dedução

Novamente, fcp é a resultante de P e N, condizente com o movimento circular e uniforme de M. Os triângulos EDM e aquele hachurado, por serem semelhantes,permitem escrever:

Como anteriormente, verificamos que a sub-normal ED é constante; donde etc.

Nota: Poderíamos ter estabelecido a equação dessa parábola em relação aos eixos X (aqui vertical) e Y (aqui horizontal), passando ambos pelo vértice B. Desse modo, o valor constante da sub-normal (g/w2) nada mais seria que o famoso "p" da equação y2 = 2.p.x, o que nos levaria à equação da parábola:

Discutindo
Nessa expressão, se a velocidade angular tende a zero, y tende a infinito, que é o caso em que o líquido está em repouso e o parabolóide degenera num plano horizontal. Se a velocidade angular aumenta, y diminui (para um mesmo valor de x); o líquido sobe acentuadamente na parede vertical do recipiente, podendo mesmo descobrir seu fundo (ação "centrífuga" das máquinas de lavar roupa).

Complementando
É interessante para a compreensão de certos fenômenos físicos (e em particular para a justificação de nosso tacômetro de líquidos), que se calcule o 'abaixamento do líquido no vértice'.
Em nossa ilustração abaixo, NN' é o nivel primitivo, com o líquido em equilíbrio (repouso). Com o líquido em rotação, propomos que você calcule o abaixamento H = AL, para uma dada velocidade angular
w .
Se você chegar em H = (1/2).
w2.(R2/2.g), posso garantir que pesquisou bastante, descobriu uma bela aplicação do teorema de Pappus-Guldin e ... evoluiu. Esta é a linha certa do pensamento científico ... não deixar 'pontas soltas'.


Abaixamento do vértice

E, para encerrar o tópico, veja nos próximos quatro projetos da Sala 05, quatro aplicações notáveis desse conhecimento: vasos comunicantes (com um deles em rotação), um compressor hidrodinâmico, um tacômetro prático e a visualização de um exercício tradicional.

 


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