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  Empuxo de Newton
(Detalhes e aplicações)

 Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Introdução
Como foi visto no artigo Empuxo de Newton em sistemas acelerados, desse site - item 30, tanto o empuxo de Arquimedes como o de Newton têm, como causa básica, o gradiente de pressão no fluído. No de Arquimedes, o gradiente de pressão deriva do próprio peso do fluído em equilíbrio e no de Newton, da inércia do fluido sob aceleração.
Para comentar o empuxo de Arquimedes, ilustramos abaixo, um cilindro de madeira mantido imerso no líquido pelo cordel fixo no fundo do frasco. A situação é de equilíbrio.


Cilindro de densidade absoluta m  
imerso em líquido de densidade absoluta
m’, 
com
m ' > m

Ao nível (1), a pressão nos pontos do líquido vale:

P1 = Patm + m'.g.h1    {1}

 e, a força hidrostática que o líquido exerce na base superior do cilindro, de área A, tem intensidade:

F1 = P1. A    {2}

Ao nível (2), a pressão nos pontos do líquido vale:

P2 = Patm + m'.g.h2     {3}

e, a força hidrostática na base inferior do cilindro, tem intensidade:

F2 = P2.A    {4}

A figura abaixo ilustra a distribuição das forças hidrostáticas sobre o cilindro, destacando-se as resultantes F1 e F2 (em vermelho).


Distribuição de forças

As forças laterais equilibram-se, as verticais não.

A resultante das forças hidrostáticas sobre o cilindro reduz-se à F2 - F1. Essa resultante F2 - F1, nascida do gradiente de pressão P2 - P1 é o denominado empuxo de Arquimedes.
Indicando-se por EA a intensidade desse empuxo (que é vertical, para cima, pois F2 > F1) tem-se :

EA = F2 - F1   {5}

Substituindo-se {2} e {4} na {5} vem:

EA= P2.A - P1.A   ou   EA= (P2 - P1).A   {6}

Levando-se {1}  e  {3}  na  {6}  vem:

EA = (Patm + m'gh2 - Patm - m'gh2). A         ou          EA= m'.g.A(h2 - h1)     {7}

Na {7} , h2 - h1 é a altura (H) do cilindro. O volume do cilindro será expresso, então, por V = H.A.
Substituindo-se na {7} A(h2 - h1) por V, vem:

EA = m'.V.g

Como m' = m'.V  é a massa do líquido de volume V deslocado pela presença do cilindro, teremos;

EA = m'.g    ou    EA = Plíquido deslocado

que é o princípio de Arquimedes, simplesmente intuído pelo grego de Siracusa.

"O empuxo hidrostático sobre um corpo totalmente imerso num fluido é vertical, para cima, e tem intensidade igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo." 

Por isso o classificamos como um princípio "prático", particular, restrito ao peso do líquido. Ficaria mais conceitual denominá-lo de empuxo gravitacional de Arquimedes. Esse empuxo não existe em regiões de imponderabilidade.

Comentemos agora o empuxo de Newton ou, mais conceitualmente empuxo inercial de Newton.
Esse empuxo também deriva de um gradiente de pressão no fluido. O gradiente de pressão, no caso, é determinado pela inércia do fluido que está sendo acelerado.

Fluidos só transmitem esforços normais e podem sofrer grandes compressões para transmitirem tais esforços. Essas compressões determinam variações na massa específica do fluido. Sob aceleração, a inércia do fluido determina compressões no ato de transmitir forças normais de uma parte do fluido para outras, na direção da aceleração. 
Nos sólidos, onde o coeficiente de compressibilidade é muito pequeno, não observamos esse efeito. Sólidos transmitem esforços sem apreciável compressão (ou distensão) e disso deriva o principio da transmissibilidade das forças. Um bloco de ferro acelera identicamente, sob resultante R, quer sendo puxado como empurrado, sua forma não muda. Uma mola não aceita esse princípio; o efeito sobre ela, quanto à deformação, não é o mesmo nos atos de puxá-la ou empurrá-la. Ilustremos isso:


Acelerando corpos não deformáveis e corpos deformáveis

Repare, no caso da mola, que a densidade das partes do conjunto, ao ser acelerada "por  trás", é maior na parte traseira que na dianteira.

O empuxo de Newton despertado sobre os corpos imersos em fluidos acelerados, tem origem justamente nesse fato.
Na direção da aceleração, o fluido é empurrado por trás (pela parede traseira do recipiente que o contém), de modo que sua densidade absoluta é maior na parte traseira que na dianteira. Ilustramos abaixo, um líquido sendo acelerado para a direita:


Porções líquidas sob aceleração

Vamos mostrar que a resultante das forças (F') que acelera uma parte do líquido (estratificado em forma de um cilindro) de massa m' é F' = m'.a. Vejamos:

A parede traseira do recipiente aplica força F na massa total destacada (m2 + m' + m1) e a acelera com aceleração a; escrevemos:

 F=(m2 + m' + m1).a


Força para acelerar a massa total

Isolando-se a porção de massa  m2 tem-se:

F2 = F - (m'+m1)a = (m2+m'+m1-m'-m1)a=m2.a

onde F2 é a resultante sobre a porção de massa m2. Veja:


Forças na massa m2

Isolando-se a porção de massa  m' tem-se :

F' = (F - F2) - m1.a = (m2+m'+m1-m2-m1)a = m'.a


Forças na massa m'

Isolando-se a porção de massa  m1  tem-se:

F1= F - F2 - F' = (m2+m'+m1-m2-m').a = m1.a


Forças na massa m1

NOTA: Observe que a massa m1 não aplica força alguma sobre a parede dianteira do recipiente. A aceleração do recipiente é devida a uma parcela da força total aplicada contra ele, caso sua massa venha a ser considerada na questão. Estamos fazendo a hipótese de esse recipiente tem massa negligenciável; sua presença reduz-se à operação de confinar o fluido. Nesse caso, a força total externa vale F.

Nas porções destacadas , de massas m2, m' e m1, respectivamente, todas com a mesma aceleração a, as forças resultantes sobre elas valem, como vimos: m2.a,  m'.a  e  m1.a.

Repare, na ilustração --- Forças na massa m' ---, que m'.a (ou F') é a diferença entre a força na parte de trás (F - F2) e a força na parte da frente (F1 ou m1.a). Se você substituir o cilindro líquido por um cilindro sólido de mesmas dimensões, as forças sobre ele continuarão a ser F- F2 (por trás) e F1 (pela frente), de modo que a resultante das forças que o liquido acelerado exerce nele continua a ser F' = m',a (ilustração a seguir). 
É essa força F' = m'.a, que passaremos a indicar por EN e denominaremos empuxo inercial de Newton.


O pêndulo de bóia inclina-se para frente 
quando o sistema é acelerado para frente

Para uso posterior grave bem isso:

“Todo corpo imerso, total ou parcialmente, em um fluido acelerado, recebe por parte do fluido, uma força de mesma direção e sentido da aceleração e cuja intensidade é proporcional ao produto, da massa de fluido deslocado, pela aceleração do fluido”.

Vetorialmente:     EN = m'.a

Essa lei é geral, independente da massa do corpo imerso, da posição do corpo dentro do fluido e, principalmente, independente de campos gravitacionais.

Obviamente, para todo o exposto, as forças são referidas a um sistema inercial de coordenadas, sistema newtoniano ou sistema das "estrelas fixas".

Se o fluido, além de acelerado, estiver sujeito à aceleração da gravidade, porém em equilíbrio na vertical, ao empuxo de Newton deve-se somar (vetorialmente) o empuxo de Arquimedes, no corpo imerso. Esse é o caso dos exercícios típicos, em Dinâmica, dos corpos imersos em fluidos acelerados.

Para encerrar, propomos uma montagem, bem simples, com a finalidade de evidenciar o gradiente de pressão em um líquido acelerado. Abaixo ilustramos um arranjo experimental.

a) Em repouso ou MRU a água alcança níveis iguais nos dois tubos; as pressões nas paredes laterais são iguais. 
b) Na translação acelerada, o nível desce no tubo da direita e sobe no da esquerda; a pressão na parede lateral da esquerda é maior que na da direita

Para evidenciar a resultante das pressões nas paredes laterais, devidas ao peso do líquido e à aceleração do fluido, propomos a montagem abaixo:

a) Pressões nas paredes laterais quando em repouso ou MRU. 
b) Na translação acelerada
todos os níveis da direita descem da mesma quantidade, os da esquerda sobem de mesma quantidade

Eis algumas situações onde ambos empuxos (o de Arquimedes e o de Newton) se associam e participam das resoluções às questões propostas.

a) Nível de bolha acelerado para a esquerda. Para que lado vai a bolha?

b) Frasco que leva preso ao seu fundo um cordel ligado a uma bolinha de pingue-pongue. Um barbante impede o frasco de deslizar plano abaixo. 

(1) Vertendo-se água no frasco, como fica a bóia?
(2) Queimando-se o barbante, o frasco com água desce o plano inclinado com aceleração constante.
Como ficam a superfície livre da água e a bóia?

c) O reservatório com água e pêndulo de bóia é centrado sobre o prato do toca disco. Quando o prato girar com velocidade angular constante, como fica a superfície livre da água? Como se dispõe a bóia?

 d) Bóia flutuante na posição x em reservatório com água centrado em um prato de toca-disco. Localize a bóia quando o prato mantém velocidade angular escalar constante.

e) Frasco fechado, contendo água e pêndulo de bóia. Conjunto fixado no piso do elevador.

Para que situação de movimento do elevador, o empuxo de Newton tem mesma intensidade de que o empuxo de Arquimedes? (cuidado!)

 


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