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Gravitação III
(movimento dos planetas)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Objetivo
Estudo do movimento de um planeta em órbita elíptica ao redor do Sol.

Introdução
Nesta atividade iremos analisar o movimento de um planeta em sua trajetória elíptica em torno do Sol. Para tanto você construirá uma elipse, que representará essa trajetória, e admitirá que o Sol ocupe um dos focos.
A partir dessa construção e do conhecimento da 2a Lei de Kepler você deverá chegar a uma expressão que relaciona a força de atração exercida pelo Sol sobre o planeta com a distância até esse planeta.

Material
1 folha de papel sulfite tamanho ofício
1 lápis
2 folhas de papel milimetrado
1 pedaço de linha de coser
1 transferidor
1 régua de 30cm
100g de sagu (*)
1 espelho plano
massa de modelar para apoiar o espelho
(*) O sagu é vendido em pacotes de 500 g, em supermercados. O sagu pode ser substituído por confeitos para bolos (esferinha coloridas feitas de 'não sei o que').

Procedimento
1 . Construa uma elipse com base nas instruções dadas na complementação dessa atividade.
     A elipse construída representará a trajetória de um planeta em torno do Sol. Admita que o Sol ocupa o foco F1.

2. Represente sobre a trajetória os pontos P0 e P1 que representarão as posições do planeta respectivamente nos instantes t0 e t1.

3. Determine na área do setor F1 P0P1. Para tanto você poderá utilizar resultados conhecidos da trigonometria, para o que consideraremos sempre o setor da elipse como um triângulo, o que é lícito, se a distância entre P0 e P1 não for muito grande (é preciso que o arco P0P1 torne-se praticamente igual à corda P0P1).
A área de um triângulo pode obtida como se ilustra:

4. Destaque duas novas posições P2(t2) e P3(t3), de modo que Área F1 P2P3 = Área F1 P0P1. Para tanto consulte a segunda parte de nossa complementação.

5. Determine outros setores, em outras posições da elipse, cuja área seja igual à do setor F1P0P1. Quatro setores serão suficientes.

6. Você pode afirmar que o planeta percorre os arcos dos setores obtidos nos itens anteriores, em intervalos de tempo iguais? Em que se baseia sua resposta?

7. Represente, nos pontos inicial e final de cada setor obtido, os vetores velocidade do planeta. Não se preocupe com o 'tamanho' do vetor; o importante é sua direção. Como os vetores velocidade devem ser tangentes à trajetória, em cada ponto, veja na complementação da atividade como traçar tais tangentes corretamente.

8. Considere o planeta ocupando a posição P0. Qual seria a direção do seu movimento se sobre ele não agisse a força atrativa do Sol? Qual a posição que seria ocupada pelo planeta no instante t1, nestas condições? (Lembre-se do principio da independência dos movimentos).

9. Admitindo-se que o planeta parta do repouso da posição encontrada no item anterior, e fica sob a ação atrativa do Sol, qual o deslocamento D experimentado pelo planeta no intervalo de tempo t1 — t0.

10. Admita agora que o planeta se encontra na posição P2. Proceda como nos itens 8 e 9 e determine o deslocamento do planeta, sob a ação atrativa do Sol, no intervalo de tempo t3 — t2.

11. Repita os procedimentos 8 e 9 para os demais setores obtidos no item 5. Coloque os valores dos deslocamentos obtidos na tabela a seguir:

Intervalo

Deslocamento

t1 --- t0
t3 --- t2
t5 --- t4
t7 --- t6

 

12- Os deslocamentos obtidos no item anterior são proporcionais à aceleração (suposta constante em cada intervalo), uma vez que os intervalos de tempo são todos iguais (veja sua resposta ao item 6), de acordo com a expressão: |D| = a.Dt2/2.

Nesse caso podemos utilizar os valores dos deslocamentos para representar as acelerações em cada intervalo. Por sua vez, de acordo com a segunda lei de Newton as acelerações são proporcionais às forças resultantes aplicadas a um corpo. Nesse caso, os deslocamentos poderão ser também utilizados para representar a força atrativa do Sol sobre o planeta, em cada intervalo.

13. Construa um gráfico da força atrativa do Sol em função da distância ao planeta em cada intervalo. Para tanto, utilize como medida da força os valores dos deslocamentos obtidos no item 11 e como valores das distâncias as medidas dos segmentos do foco F1 até o ponto médio dos arcos dos setores da elipse.
      Que tipo de curva você obteve?
      Dá para fazer uma previsão da relação entre a força de atração do Sol e a distância ao planeta?

14. Construa agora o gráfico da força atrativa do Sol em função do inverso do quadrado da distância ao planeta (1/R2).
      Que tipo de curva você obteve?
      Que relação existe entre essas grandezas?

 

Complementação

Para a realização desta atividade, algumas construções se tornam necessárias. A seguir fornecemos os procedimentos que devem ser utilizados para tais construções:

1.  Construção de uma elipse
A elipse é definida como o lugar geométrico dos pontos de um plano cujas somas das distâncias a dois pontos fixos do plano (focos) têm valor constante e maior que a distância entre os pontos.
Para esta atividade fixaremos a distância entre os focos como sendo 20 cm e a distância fixa com 30 cm.

a) Sobre uma folha de papel das dimensões de ofício (31,5 x 21,5 cm, aproximadamente) marque 2 pontos (F1 e F2) separados pela distância de 20 cm (na direção de seu comprimento).

b) Fixe sobre cada um desses pontos um alfinete ou percevejo.

c) Amarre as extremidades de um fio de linha ou cordoné a cada um dos alfinetes, de modo que, esticado o fio, os dois segmentos somados tenham comprimento de aproximadamente 30cm (veja a ilustração).

d) Estique o fio (sempre preso aos alfinetes) com a ponta do lápis e trace uma curva. Essa curva é a elipse.

2. Obtenção de áreas
Fixada sobre a elipse uma área inicial, como se obtém outra área igual à dada?

Dado o setor F1 P0P1, escolhe-se um ponto P3 qualquer. O problema consiste em determinar um ponto P2, tal que, as áreas indicadas sejam iguais. Observe:

  Vejamos as soluções possíveis:

  a) Solução analítica

  Medem-se os segmentos F1 P0 e F1 P1, com a régua. Determina-se o valor do ângulo a = P0F1P1 com o transferidor.

A área E1 P0P1 vale:                                   (1/2).[F1P0].[F1P1].sena = K

Basta então determinar um ângulo b tal que: (1/2).[F1P3]2.senb = K     ou  senb  = k / (1/2).[F1P3]2

Nesta construção supusemos que os segmentos F1P3 e F1P2 são aproximadamente iguais, o que, nas condições da figura, é aceitável.

Conhecido b e a posição de F1P3 determina-se a de F1P2 com o transferidor.

b) Solução por construção geométrica

Obtido o valor da área (K), fixa-se a posição inicial t2, tal que: seg.F1P2 = 2.seg.F1P0.

Traça-se a tangente em P2. Para isto, coloca-se um espelho perpendicularmente ao plano do papel, tentando tangenciar a curva, segundo P2.

Olha-se no espelho, de modo que F2 P2 apareça como prolongamento de F1P2 e vice-versa.

Traça-se com o lápis o segmento, segundo a base do espelho no papel, que contenha P2. Este segmento será a tangente procurada (veja ilustração acima). Baixe, por F1, a perpendicular à tangente. Seja h a distância de F1 até essa tangente.  Com a régua (ou cálculo), obtenha o o valor dessa distância h  (de F1 até a tangente). Em seguida, determine P3  tal que:

(1/2).h.[P2P3] = K  ==> P2P3 = K /(1/2).h

Com isto fica determinada a posição P3 do planeta nas condições pedidas.

c)  Solução física

Com um arame, construa um V. Coloque o vértice do V em F1 e dirija os raios de V segundo F1 P0 e F1 P1.
Encha o V, até a elipse, com sagu (veja ilustração). Transfira
o V para outra posição e acerte o novo ângulo do V para que a mesma quantidade de sagu preencha a nova área, até a elipse.

 

3. Como traçar a tangente a uma elipse por um ponto?

Para traçar tangentes à elipse em um ponto P qualquer, pode-se colocar um espelho plano, perpendicular ao plano do papel e procura-se tangenciar P.

Olha-se no espelho e deve-se ver F1 P no espelho, como prolongamento de F2 P e vice-versa.

Nesta posição, a base do espelho é tangente à curva em P e a tangente pode ser traçada com um lápis.

 


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