Sistema Inercial de Coordenadas
(Sistema de referência da mecânica)
(Forças de inércia - Coriolis)
 (Princípio de D'Alembert)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Apresentação
A equação de Newton:

pressupõe a adoção de um sistema determinado de coordenadas.
Há porém, ainda outros sistemas de referência que podem mover-se em relação ao primeiro. Surge então a pergunta se a equação acima também prevalece para os outros sistemas. A resposta é dada da maneira seguinte:

"Se encontrarmos um sistema de coordenadas, para o qual é válida a relação  m.g = F também prevalecerá a mesma equação para todos os sistemas que se movem, em relação ao primeiro, com uma translação a velocidade constante."

O conjunto de todos esses sistemas constitui o denominado Sistema inercial de coordenadas. Eis a justificação:

Assim, a equação de Newton prevalece também no sistema que tem movimento de translação a velocidade constante em relação ao sistema primitivo, em outras palavras, as 'leis de força' valem para todo sistema inercial de coordenadas. Assim, é indiferente estudar qualquer fenômeno físico dentro de um elevador em repouso ou com velocidade (vetorial) constante.

Nos sistemas acelerados aparecem "forças de inércia". Comentemos tais 'fantasmagóricas' forças.

Uma esfera jaz, por exemplo, sobre uma mesa lisa. A mesa move-se com a aceleração g para a direita.

Para o observador fixo ao solo, a esfera permanece em seu lugar. Aliás, isto é óbvio, uma vez que sobre a esfera não atuam forças horizontais (ou seja, como não há atrito, a mesa vai em frente e a esfera permanece no mesmo local). Entretanto para um observador solidário à mesa, a esfera adquire a aceleração - g. Para esse observador, como que sem motivo ou ação alguma, a esfera se afasta dele aceleradamente. Para ele, só resta uma conclusão (apesar de não saber a origem de tal causa), a de que sobre a esfera atua a força F' = - m.g .
Então a lei de Newton somente será exata, para ele, se levar em consideração a força de inércia - m.g .

Força centrífuga ... uma força de inércia
Exemplo 1: Consideremos um regulador 'centrífugo' como o ilustrado a seguir. As forças P = m.g e a tensão F do fio que agem sobre a massa m admitem uma resultante K, de direção horizontal e sentido para o eixo de rotação. É a resultante centrípeta que faz com que a massa m permaneça sobre a circunferência de raio r = L.sena .

No referencial fixo ao solo essa resultante centrípeta equaciona-se: K = m.r.w² = m.L.sena.w² [1] . Do triângulo de forças [ FKP ] tiramos K = P.tga = mg.tga [2].
Identificando [1] e [2] temos:

mg.tga = m.L.sena.w²  ===> cosa = (g/L).w²

que define exatamente a posição da partícula no referencial solidário ao solo.

Entretanto, considerando-se um referencial preso á partícula (ilustração acima, direita) ela estará em equilíbrio e, para justificar isso só admitindo-se a presença da força de inércia K', de modo que se tenha:

F + P + K' = 0

que dará a mesma solução para o posicionamento da partícula.

Exemplo 2: Consideremos o caso de um disco que gira no plano horizontal com a velocidade angular w, visto pelo observador II.

No centro do disco gira o observador solidário I. Mediante um fio, ele segura uma massa m, que também gira à distância R do centro do disco, estando pois, em repouso em relação ao disco. O observador I não sabe que está girando, assim argumentará: "A massa m está em repouso, porque ela ocupa sempre a mesma posição no meu sistema de coordenadas. Entretanto, uma força desconhecida para mim, puxa-me a massa radialmente, pois tenho que manter o fio constantemente esticado". O observador I chamará de força centrífuga a força de inércia F', contrária a tensão do fio (ilustração acima, direita).

Ao contrário, um observador exterior II (ilustração acima, esquerda) argumentará: "A massa m não está em repouso. Ela é acelerada, porque muda continuamente a direção da sua velocidade ao longo da trajetória circular". A força responsável por essa aceleração é a força centrípeta, exercida pela tensão do fio e que condiz com o movimento circular e uniforme.

Força de Coriolis
Consideremos a experiência seguinte: No centro de um disco em rotação no plano horizontal, com velocidade vetorial angular w, um atirador I (nosso observador solidário ao centro do disco) mira o alvo P, que está firmemente ligado ao disco.

Todavia o projétil não atingirá o alvo e chegará em P' (ilustração acima, esquerda). Um observador exterior II dirá: "Enquanto o projétil percorria o espaço entre o centro O e o alvo, o disco girou, desviando-se do projétil". E complementa: O projétil, entretanto, deslocou-se em linha reta. O afastamento Ds = PP' calcula-se assim: Se o projétil tem velocidade v, precisa, portanto, para percorrer o espaço OP = r, do tempo t = r/v; durante esse tempo o disco gira do ângulo j = w.t.
Sendo assim:

PP'= j.r = w.t.r = w.r²/v = Ds

O atirador solidário I considerará as coisas diferentemente (ilustração acima, direita). Como ele não sabe da sua rotação (caso do observador na superfície da Terra, que não percebe sua rotação), concluirá: O alvo P está em repouso, porém a trajetória do projétil sofreu um desvio lateral por causa de uma força especial F', a força de Coriolis.
Esta força de inércia, dirigida perpendicularmente à velocidade v, acarreta uma aceleração e isso produz durante o tempo t de percurso do projétil um desvio Ds = (1/2).g.t² (donde g = 2.Ds/t²). Para ele (observador I) será também  t = r/v  o tempo durante o qual ocorre o desvio.
Da equação F' = m.g o observador I deduz:

F' = m. 2.Ds/t² = m.(2Ds)(1/t²) =  m.(2w.r²/v).(v²/r²) = 2.m.v.w

F' = 2.m.v.w ==> força de Coriolis

Apesar de I não saber diretamente da rotação observará forças, para ele reais.
Se os dois vetores w e v não forem perpendiculares (como no presente exemplo), deverá a força de Coriolis ser então calculada da seguinte forma:

F' = 2.m[v . w] ... sendo a = ângulo entre v e w  ... F' = 2.m. v. w . sena

A expressão [v . w] dá-se o nome de produto vetorial dos vetores v e w. Representa um novo vetor, que é perpendicular àqueles dois vetores e cujo módulo é dado por  v . w . sena . 

Princípio de D'Alembert
D'Alembert reconheceu que a introdução das forças de inércia é muito conveniente, a fim de se reduzirem formalmente  os problemas gerais de movimento a problemas de equilíbrio, que se resolvem de modo mais intuitivo.
Num movimento as forças F e as acelerações g, a elas condicionadas, relacionam-se reciprocamente pela equação de Newton: F = m.g .
Em muitos casos as massas m e suas acelerações g são conhecidas e pedem-se, então, as forças F que atuam sobre cada massa em particular. Introduzindo-se a força de inércia F' = - m.g , conhecida de acordo com nossa hipótese, obtemos assim a 'nova' equação de Newton F + F' = 0, isto é, com a consideração da força de inércia recaímos num problema de equilíbrio (estática), cuja solução nos dá a força.

Eis o que constitui o Princípio de D'Alembert. F = m.g é equivalente a F + F' = 0. Como aplicação desse princípio, resolveremos as seguintes questões:

Questão 1: problema do elevador
Na ilustração temos um elevador que se move para baixo com aceleração g. No seu piso temos um bloco de peso P. Pede-se a reação de apoio D do elevador sobre o bloco.

Podemos agora, com o princípio de D'Alembert, reduzir este problema a um problema de estática, se introduzirmos a força de inércia F' = - m.g  'percebida' por um observador solidário ao elevador. Para esse observador o movimento acelerado desaparece e, sobre o bloco atuam o seu peso P = m.g (vertical para baixo), a reação de apoio D (vertical para cima) e a força de inércia de intensidade F' = m.g (vertical para cima). Essas três forças devem formam um sistema de resultante nula (princípio de D'Alembert) portanto:

P + D + F' = 0  ou, segundo a vertical,  P - D - F' = 0  ==> m.g - D - m.g  = 0  ==> D = m.(g - g)

No caso limite:

g = 0  será ==> D = m.g
g = g  será ==>     D = 0
g = -g  será ==> D = 2m.g

Questão 2: balança de Poggendorff
Na balança de Poggendorff um dos braços suporta uma roldana. De um cordel, que passa pela roldana, pendem as massas M e M + m.

Se inicialmente, as duas massas são mantidas em repouso por meio de um fio (de modo que todo o conjunto permaneça em equilíbrio) a força que se exerce sobre o braço da balança é F = (2M + m).g, como facilmente se deduz.
Assim que queimarmos o fio, as massas entrarão em movimento com aceleração g = m.g/(2M+m) respectivamente para cima (M) e para baixo (M+m) comportando-se como uma simples máquina de Atwood. Interessa-nos, entretanto, examinar como se comporta a força "F", que passaremos a indicar por F_o, que age sobre o braço da balança. Faremos isso usando do princípio de D'Alembert.

Para tanto, devemos introduzir as forças de inércia (positivas quando dirigidas para baixo) tanto em M à esquerda ( +M.g ) como em (M+m) à direita [ -(M+m)g ]. Nessas condições o equilíbrio para a roldana será dado por:

- F_o + 2M.g + m.g + M.g - (M+m).g  = 0
F_o = (2M+m).g - m.g
F_o = (2M+m).g - [m²/(2M+m)].g
F_o = F - [m²/(2M+m)]].g   ==> F_o < F

A balança comporta-se durante o movimento, como se as massas móveis se tornassem mais leves. Esse experimento da balança de Poggendorff é altamente recomendado para as salas de aula.

Questão 3: balança de Poggendorff e roda de Maxwell (ioiô)
Caso análogo se dá na experiência abaixo ilustrada onde associamos a balança de Poggendorff com a roda de Maxwell. O eixo de pequeno raio é solidário ao disco metálico de grande raio (tal qual o ioiô) e massa M; nesse eixo fixam-se as extremidades e enrolam-se os dois cordéis que vão ao prato da balança. Quando o fio S prende a roda impedindo-a de movimentar-se a balança fica equilibrada ajustando-se o contra-peso P = M.g no outro prato.

Queimando-se o fio S, o cordel desenrola e a roda cai com aceleração g . Durante a queda a força que o conjunto aplica no prato esquerda passa de F para F_o = M.(g - g) < F e a balança pende para a direita.
Deve-se notar que também ao se enrolar novamente a roda, a aceleração ainda é dirigida para baixo (retardamento do enrolamento), de maneira que também neste caso F_o permanece menor que F.