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Modelo da gravitação
(
Deformação do espaço)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Resumo teórico
No modelo da Relatividade, a Terra, devido a sua massa, altera todo o espaço que a envolve, 'deformando-o'. Os pontos pertencentes a esse 'espaço deformado' pela presença da Terra, associam-se propriedades notórias, sendo que o conjunto delas, define o campo gravitacional terrestre.

Uma das propriedades nesses pontos, de natureza escalar, é denominada potencial gravitacional (V) no ponto P. Outra propriedade associada a esses pontos, de natureza vetorial, é denominada vetor campo de gravitação em P, ou simplesmente, aceleração da gravidade em P.

A ilustração abaixo mostra vetores acelerações gi, nos pontos Pi do campo gravitacional da Terra, suposta esférica e homogênea.  

Repare que esse campo é centrípeto. V1, V2, V3 etc, indicam os potenciais gravitacionais nos pontos das superfícies esféricas equipotenciais que envolvem a Terra.  

A experiência mostra que, um corpúsculo abandonado de um ponto qualquer, do campo gravitacional da Terra, deve movimentar-se radialmente, em sentido ao centro da Terra, de modo que, em cada ponto sua aceleração coincida com a aceleração da gravidade no ponto em questão.
Esse movimento, denominado “queda livre” é, no caso geral, um movimento variado, não um movimento uniformemente variado,  uma vez que sua aceleração varia (aumenta) de ponto para ponto.  Tal movimento pode ser analisado á luz das equações diferenciais: F = m.a , com F = KMm/d2 vem a = K/d2. Desse modo, pondo-se: d2x/dt2 = K/x2 e integrando-se duas vezes, chega-se á lei de movimento x = x(t).

Para cada ponto P, do campo gravitacional da Terra, o módulo (intensidade) da aceleração da gravidade g, depende do sistema de unidades adotado, da massa da Terra e da distância do ponto considerado ao centro da Terra. A expressão de Newton para o cálculo do módulo de g é:  

onde G é a Constante de Gravitação Universal.

Para cada ponto de uma superfície esférica, com centro no centro da Terra e raio h, o potencial gravitacional V é dado por:  

V = g.h         (h >= R)

Para pontos do interior da Terra associam-se g e V segundo as mesmas leis, porém, a massa M que comparece nas expressões é a massa interna ao ponto em questão; a massa da “casca” envolvente não participa do cálculo. h é “raio interno”.

Na superfície da Terra, a intensidade de g é:  

gsup.= G.M/R2

e, os pontos da superfície têm potencial gravitacional dado por:  

Vsup.= g.R

Movimentos de queda livre, próximos da superfície da Terra, onde a altura de queda H é desprezível em confronto com R são, praticamente, uniformemente variados. Os corpúsculos passam por pontos nos quais a aceleração da gravidade g é praticamente constante. A lei horária, abstraíndo-se os efeitos do ar, é do segundo grau na variável t.

Quais as finalidades básicas da introdução do conceito de aceleração da gravidade e do potencial gravitacional?
--- Sem o conceito de campo gravitacional, com suas propriedades função de ponto, aceleração e potencial não poderíamos definir "peso de um corpo" ou "energia potencial gravitacional".
Um corpo de massa m colocado num ponto onde a aceleração da gravidade vale g e cujo potencial gravitacional é V = g.H, adquire o peso P = m.g e energia potencial gravitacional Epot. =m.V = m.g.H.
Muito mais importante que isso, talvez, temos a cosmologia, que prescinde da necessidade de um modelo para a gravitação.


Parte experimental

Objetivo
Simulação do campo gravitacional.

Material
Bastidor para costura com plástico (ou borracha) esticado (tipo tamborim);
grande esfera de aço ou chumbo;
pequenas esferas de aço e de plástico;
tocos suportes para o "tamborim".

Montagem

Procedimento

a) 0 plástico esticado representa espaço não deformado, lugar denominado “zona de imponderabilidade”. A pontos dessa região não se associam acelerações da gravidade; corpúsculos (bolinha de plástico) movimentam-se por tais regiões por pura inércia (MRU) ou com movimentos variados quando ligados a foguetes propulsores.  
Colocando-se sobre essa 'cama plana' uma bolinha de aço e dando-lhe pequeno impulso ela descreverá movimento retilíneo e uniforme ---simulação do movimento inercial do corpo em região de imponderabilidade.

b) A grande esfera de aço é colocada no centro do “tamborim”. Observe a deformação sofrida pela folha de plástico ou borracha associe a essa imagem a “curvatura do espaço” produzida pela presença de massa. Tente imaginar a “coisa” em três dimensões. 
Essa deformação é uma simulação, em duas dimensões, do campo gravitacional produzido pela massa da grande esfera de aço. Algo parecido ocorre com respeito à Terra e o espaço que a envolve.

A cada ponto da película de plástico associa-se o devido vetor aceleração da gravidade g. A pequena esfera de aço é abandonada a partir da moldura do tamborim. Eis uma simulação de uma queda livre no campo gravitacional da massa M. Ela “rola” pela “curvatura do espaço” e choca-se com a massa que a provocou. Em cada ponto da “queda”, a aceleração da bolinha é igual à aceleração (geometria) do ponto da película plástica.  

c) A seguir, encoste a bolinha de aço na moldura do tamborim e lhe aplique uma pequena velocidade tangencial. Observe a curva descrita pela bolinha e o seu ponto de impacto com a esfera central. Essa curva é um arco de parábola. Aumente a seguir a velocidade tangencial (pode ser 'bolado' um disparador para isso á moda de um plano inclinado com saída horizontal) e observe a nova curva descrita. Note que, na ausência de atritos, há uma velocidade tangencial adequada para a qual a bolinha entra em órbita”.  

Atente para os comentários do professor à respeito da Lua e Terra no fenômeno em questão.

 


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