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Roda de bicicleta e cadeira giratória
(Conservação do momento angular)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Objetivo
Mostrar a conservação do momento angular. Esclarecer as características do vetor  momento angular --- nesta demonstração, em especial, o sentido do momento angular é importante.

Montagem (fotos com o amigo e professor Pedro Paulo Carboni Muniz e meus filhotes, Ana Beatriz - "Bia" e Luiz Augusto - "Guto")

Material
Roda da bicicleta com punhos (são pedaleiras enroscadas no eixo),
Cadeira giratória.

Nota1: Para melhorar o visual da rotação é conveniente fazer uma marca (traço) de tinta branca na borracha do pneu.

(a) O apresentador se senta na cadeira e segura a roda de bicicleta pelos seus punhos, na sua frente, de modo que o eixo da roda se disponha na vertical. O apresentador dá um bom impulso na roda pondo-a a girar e --- ele mesmo começa a girar em sentido oposto ao da roda!

Agora, com toda a calma, o apresentador vai virando o plano da roda, levando o eixo para a posição horizontal. Tanto cadeira giratória como apresentador vão reduzindo sua velocidade de rotação e --- ele mesmo pára de girar, em relação ao chão, quando o eixo da roda chegar na posição horizontal.
Continuando a virar o plano da roda, no mesmo sentido anterior, novamente ele mesmo começa a girar em relação ao chão --- em sentido oposto ao anterior --- e atinge velocidade angular máxima quando o eixo ficar, novamente na posição vertical. Se ele começar a diminuir a rotação da roda (freando suavemente com uma de suas mãos), o giro da cadeira começa a diminuir --- até parar.

(b) Se o apresentador começar a girar a roda (dando vários impulsos com uma das mãos) enquanto ela se apresenta com eixo horizontal, nenhuma rotação se observará para a cadeira em relação ao solo. Mas, quando ele girar o plano da roda de modo a passar o eixo para a posição vertical, a cadeira girará em sentido oposto ao giro da roda. Virando novamente a roda, de outros 90o, levando novamente o eixo para a horizontal, a cadeira irá parar seu giro. Pode-se repetir esses giros do plano da roda em sentido oposto ao anterior.

(c) O apresentador se senta na cadeira giratória. Um assistente lhe dá a roda de bicicleta que já está girando, com seu eixo na vertical. Antes de fazer isso,  o apresentador pergunta para a audiência o que acontecerá.
Resposta: nada!
Mas quando o apresentador reduz a velocidade da roda de bicicleta freando-a suavemente com uma das mãos, a cadeira giratória e o apresentador começarão a girar em relação ao chão, no mesmo sentido que a roda estava girando.
Novamente o assistente entrega ao apresentador já sentado, a roda de bicicleta com boa rotação. Quando o apresentador gira o plano da roda de 90o, aparecerá a rotação da cadeira. Quando ele virar de outros 90o, ele girará mais depressa ainda (velocidade de rotação 2 vezes maior!)

Nota2: Quando há tempo disponível para o apresentador praticar com seu assistente, esta demonstração pode continuar assim:

Comece do mesmo modo --- o apresentador se senta na cadeira giratória e recebe do assistente a roda de bicicleta já com rotação, com eixo na vertical; o apresentador vira a roda de 180o. Agora o apresentador, com a cadeira girando, entrega a roda para o assistente e este a gira de 180o, então a devolve ao apresentador com eixo na vertical --- o apresentador gira esse eixo de 180o --- a velocidade angular da cadeira dobra. Esse "quanta" adicional pode ser repetido várias vezes. Porém, se o assistente não inverte a roda (invertendo assim o sentido de rotação) o processo se torna subtrativo.

Resumo teórico
(1) Vamos nos referir à figura abaixo onde, por simplicidade de desenho convertemos a cadeira numa banqueta giratória e 'alongamos' o eixo da roda, para melhor visual.
Nota3: Para dar uma boa rotação à roda, convém dispor de um pequeno motor de indução (tipo motor de ventilador) que leva em seu eixo uma pequena roda (coisa de 4 a 5 cm de diâmetro) revestida de borracha (pneus de alguns brinquedos servem bem ao propósito). Para usar basta segurar o motor entre suas mãos e encostar essa rodinha na periferia da roda de bicicleta.

Aplicando o motor contra a roda (nota3), ou mesmo através de impulsos dados pela mão, a roda de bicicleta adquire a velocidade angular  w  e um momento angular  L = I.w (I é o momento de inércia em relação ao eixo). Então, a cadeira giratória, para garantir a conservação da quantidade de momento angular no sistema que não recebe forças externas, tem que girar no sentido oposto ao da roda, com uma velocidade angular  w'  e momento angular igual a -I.w [veja ilustração (b), acima].

Quando a roda tem seu eixo de rotação na posição horizontal [veja ilustração (c), acima], não há nenhum momento angular no sentido vertical e, por isso, a cadeira não gira.
Virando a roda é virada de outros 90º [veja ilustração (d), acima], ficando de 'cabeça-para-baixo', teremos um momento angular da roda dirigido para baixo (contrário à situação b), de modo que a cadeira deverá girar em sentido oposto.

Observe as variações do experimento na ilustração abaixo.

Dando a roda já girando ao apresentador (como se ilustra abaixo), não haverá mudança no momento angular total do sistema (apresentador+cadeira+roda); assim o apresentador e sua cadeira permanecem em repouso. A coisa muda se o apresentador girar o eixo de 90o e a rotação da cadeira dobra se ele girar outros 90o. Experimente!

Um pouco mais de teoria

Conservação do momento angular (nível introdutório)
Coloque a roda de bicicleta (eixo na vertical) num suporte adequado sobre uma plataforma rotativa relativamente isenta de atrito; pode ser um prato de toca-discos que gira livremente ou mesmo a cadeira giratória. Pondo-se a roda a girar --- eu faço isso mediante um motor elétrico cujo eixo encosta na roda --- (agora sobre o prato giratório), a rotação da roda fará com que a plataforma rotativa (prato/cadeira) comece a girar em um sentido oposto ao da roda de bicicleta.

Teoria: Suponha que a roda de bicicleta gire para a esquerda (sentido anti-horário) quando visto de cima. Ele apresenta um momento angular L expresso por Idwd onde Id é o momento de inércia das partes móveis da roda (pneu, aro, raios, cubo) e wd é a velocidade angular delas. O momento de inércia de um corpo é uma medida da oposição que ele oferece a uma alteração em seu estado de movimento de rotação (é o análogo das 'massas' nos movimentos de translação); ele é função das massas das partes móveis, dos tamanhos delas e suas formas (massa e distribuição delas em relação ao eixo de rotação).
O sentido do momento angular, relativo ao eixo de rotação, é vertical para cima como nos ensina a 'regra da mão direita'. De acordo com essa regra, se você envolve os dedos de sua mão direita ao redor do eixo, no sentido no qual o disco gira, seu polegar apontará o sentido do vetor L -- momento angular.

Quando a roda é colocado na plataforma giratória (toca-discos), a aparelhagem toda tem um momento angular resultante igual a zero porque nada está girando. Esta condição deverá persistir (ou seja, o momento angular resultante deve ser conservado e não pode alterar o valor zero) ao longo de toda a demonstração se a plataforma for relativamente isenta de atrito. Quando o motor é ligado e a roda começa a girar, digamos, em sentido anti-horário, esta adquire um momento angular Idwd para cima.

Para manter o zero do momento angular total, a plataforma giratória (prato/cadeira) tem que adquirir um momento angular igual mas oposto daquele da roda, ou seja, para baixo. Isto significa que o prato/cadeira tem que girar no sentido horário e ter Ipwp = Idwd onde Ip é o momento de inércia da plataforma girante e wp é sua velocidade angular. Em geral, Ip não é igual a Id, assim a velocidade angular da plataforma, wp, não é igual à velocidade angular do disco, wd. Note que wp = wd somente se lp = Id.

Se sua plataforma giratória é pequena e leve (caso do prato de toca discos) pode ser necessário aumentar seu Ip para impedi-la de girar muito rapidamente. Prenda um disco de madeira (aproximadamente 50 cm diâmetro x 1,0 cm de espessura) no topo da plataforma giratória, centrado em seu eixo, para aumentar seu Ip. Quanto maior o diâmetro e espessura do disco acrescentado, maior será o aumento em Ip.

Conservação de momento angular (nível intermediário) 
Repita a demonstração que usa uma plataforma giratória de diâmetro suficientemente grande de forma que o eixo da roda de bicicleta possa ser colocado paralelo ao eixo de plataforma, mas de 15 a 20 cm afastado dele .

Girando-se a roda, novamente iremos observar a plataforma girar em sentido oposto  ao da roda. Isto mostra que a lei de conservação do momento angular não requer que os dois eixos de rotação fiquem ao longo de uma linha comum; podem estar afastados um do outro, porém paralelos. 
Essa operação experimental poderá requerer a colocação de um 'peso' sobre o disco da plataforma para contrabalançar o 'peso' da roda de bicicleta e armação que a sustenta (agora colocado excentricamente sobre a plataforma).

Efeito giroscópico (nível avançado)
Peça para um estudante segurar a roda de bicicleta em suas mãos (firmemente, segurando pelas 'pedaleiras') e, enquanto o pneu gira velozmente, diga a ele para tentar mudar a direção do eixo de rotação. 

Teoria:Suponha que o estudante segure o dispositivo com o eixo na horizontal, como ilustrado abaixo, em (a).  Pela regra da mão direita, o aparelho tem um momento angular L = ldwd para a direita, ao longo de seu eixo. O estudante aplica um torque t, na roda girando, tentando forçar seu extremo direito verticalmente para baixo, por exemplo. Isto muda o momento angular de uma quantidade DL = t.Dt onde Dt é o intervalo de tempo durante o qual o torque é aplicado. Mas um balanço descendente do extremo direito determinará, pela regra da mão direita, um sentido para DL que é horizontal e para dentro da página (ilustramos isso, em perspectiva, em (b)). 

Assim, o novo valor para o momento angular L' será: L' = L + DL DL. E o extremo direito do eixo balança horizontalmente para dentro a página. Isso é certo!

Quando você tenta inclinar o eixo para baixo, ele 'teima' em balançar horizontalmente para sua esquerda! Este  movimento do eixo é chamado de precessão.

 

 


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