O 'truque' do carretel
(Equilíbrio do corpo rígido)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Objetivo
Estudar um caso interessante de equilíbrio de um corpo rígido (no caso, um carretel de madeira), examinando as situações de iminência de escorregar e/ou rolar, no mesmo sentido da força aplica ou em sentido oposto. Mostrar que o movimento do carretel tanto pode ocorrer no mesmo sentido da força aplicada, ou em sentido oposto, dependendo apenas do ângulo (em relação à horizontal) com que se puxa o fio enrolado no carretel.

Material para demonstração
Um grande carretel pode ser construído assim: cortar dois discos de madeira de raio 5 a 8 cm e espessura ao redor dos 2 cm e colar, coaxialmente, um tubo de PVC (tubo para água de 1" ou 2") com cerca de 3 cm de comprimento. Amarrar um fio de linha nesse tubo e dar algumas voltas. Teremos algo como um 'grande Yo-Yo' --- e, certamente, poderá ser usado como tal!

Apresentação ao público
Os objetivos do experimento são mais eficazmente introduzidos quando despertamos na audiência um sentido de curiosidade científica ou do deslindar de um 'truque'; uma 'novidade' diferente dos fatos do dia-a-dia, sem contudo, apelar para misticismo usando de termos como 'misterioso', 'fantasmagórico', 'canalizações de energia' e que tais. Assim, peça para sua platéia que opine se o carretel se moverá para frente ou para trás quando você puxar a linha.
Quaisquer que sejam as manifestações da audiência, o carretel poderá não obedecer, especificamente, nenhuma delas: se alguém afirmar que o carretel vai se deslocar para a frente, no sentido de puxar a linha, ele poderá ir para trás; se afirmar que vai para trás, poderá ir para a frente e, mesmo que alguém sugira que de qualquer modo o carretel irá se deslocar ao aplicar força na linha, ele poderá permanecer em repouso!

Tudo irá depender, realmente, do ângulo com respeito à horizontal, com que o apresentador puxa a linha: um pequeno ângulo (q) entre a linha e a horizontal fará o carretel se deslocar no sentido da tração, e um ângulo (q) pouco maior, fará o carretel deslocar-se em sentido oposto à tração. Uma pequena mudança de ângulo, imperceptível para a platéia, mudará o sentido de movimento do carretel --- para a audiência, um comportamento 'bem misterioso'!
Enfim, um grande carretel de madeira (ou yo-yo) com um cordel enrolado ao redor dele, com saída por baixo, pode ser posto em movimento no mesmo sentido em que cordel é puxado ou em sentido oposto, dependendo apenas do ângulo com que o cordel é puxado com respeito à horizontal.

Discussão
A explicação dos acontecimentos envolve considerações de forças e torques no carretel. Acompanhemos pela ilustração abaixo:

Iniciemos a partir da situação em que a linha é puxada com força T, fazendo ângulo q com a horizontal, e seja esse o caso no qual o carretel está na iminência de deslizar sem rolar (translação pura).
Realmente teremos apenas três forças agindo no carretel, a saber: a reação total devido ao apoio (R), o peso (mg) e a tração imposta pelo cordel (T). Todavia, é útil decompor a reação total devido ao apoio em seus dois componentes ortogonais (N) --- força normal de apoio devido à mesa --- e (f_at = - m.N.i) --- força de atrito de Coulomb --- de intensidade m.N e de sentido oposto ao versor i. Assim, ilustramos acima: T, mg, N e m.N.
Se o carretel ainda está na iminência de escorregar, a força resultante horizontal deve ser nula, o que permite escrever:

T.cosq = m.N    ... eq.01

Só duas forças produzem torques (momentos) em relação ao eixo do carretel, e estes torques devem ser iguais e opostos, quando o carretel está na iminência de escorregar, sem girar. O braço de alavanca do torque de T é r₁ e o braço de m.N é r₂. Comparando os torques temos:

T.r₁ = m.N.r₂   ... eq.02

Dividindo-se, membro a membro, a eq.01 pela eq.02 temos:   cosq = r₁/r₂   ... eq.03 .
Assim, o ângulo crítico que determina se o carretel girará ou deslizará e de que modo irá girar, só depende da relação dos dois raios --- é independente da massa do carretel, da tensão no cordel e do coeficiente de atrito. Com um paquímetro (ou compasso de calibre) -- para medir os raios -- e um transferidor -- para medir o ângulo --, o experimentador poderá verificar o ângulo crítico previsto teoricamente. Este é um exemplo especialmente interessante do equilíbrio do corpo rígido.

Nota 1: Atente que "torque" implica na existência de 'binários', 'conjugados', sendo em si, a medida do 'momento do binário'. Em geral a 'outra força do binário', aquela que aparece no centro de rotação, não é desenhada pelo fato de ter momento nulo em relação a tal eixo, todavia, conceitualmente, no diagrama de forças ela existe! Veja abaixo como ficaria a figura 'completa' e perceba porque as forças -µN e -T não foram representadas:

Nota 2: Atente que na descrição do material, não me preocupei muito em dar as dimensões precisas do carretel, nem do tubo, nem do cordel, nem do tipo de mesa e nem do material utilizado --- pois já sabia de antemão que nada disso afetaria o resultado; só a razão dos raios é que importa!

Nota 3: A 'força de atrito' e a 'força normal' não são forças reais; a superfície de apoio não aplica, separadamente, duas forças no corpo, aplica uma única que é a força total de apoio. Todavia, em algumas situações, é cômodo decompor a força total de apoio em dois componentes ortogonais e dai resultam as denominadas, força de atrito e força normal. Recomendamos uma leitura no Equilíbrio da Escada para assentar esse conceito. Repare que, quando se negligencia o atrito, permanece sempre a força total de apoio, que é 'normal' (perpendicular ao vínculo). Em outras situações essa decomposição ortogonal não é vantajosa. Além disso, vale a pena tomar os devidos cuidados, frente a um 'vestibular', quando a questão põe em destaque: "representar as forças que efetivamente agem no corpo". Por exemplo, se num vestibular aparecer a seguinte questão: "Um grande carretel de madeira (ou yo-yo) com um cordel enrolado ao redor dele, com saída por baixo, pode ser posto em movimento no mesmo sentido em que cordel é puxado ou em sentido oposto, dependendo apenas do ângulo com que o cordel é puxado com respeito à mesa áspera horizontal. Nas alternativas abaixo ele está girando no mesmo sentido em que o cordel é puxado; desenhe as forças que efetivamente agem no carretel."

Eis a opção correta a ser assinalada: