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Energia rotacional versus Momento de inércia

Prof. Luiz Ferraz Netto [Léo]
leobarretos@uol.com.br
luizferraz.netto@gmail.com

Objetivo
Mostrar como o torque se converte em energia cinética de rotação; evidenciar como o momento de inércia de um corpo girando depende tanto de sua massa como de sua distribuição geométrica relativa ao eixo de rotação. Cálculo de momentos de inércia.

Experimento básico
Uma pequena massa presa na extremidade de um fio, ao ser abandonada de certa altura, produz uma rotação num bloco de madeira. Trabalharemos com três montagens; em cada uma o bloco gira em um dos três eixos que passa perpendicularmente pelo centro de suas faces. A segunda lei de Newton será utilizada para analisar a aceleração angular que o bloco adquire em cada montagem. A análise do movimento dos blocos e massa suspensa também poderá ser feita recorrendo-se ao princípio da conservação da energia.

Material

3 bases de madeira de (20 x 06 x 03) cm
3 blocos de (mesma) madeira de (12 x 04 x 02) cm
3 eixos de ferro liso de 22 cm comprimento e diâmetro 4 mm
6 placas de madeira de (12 x 06 x 01) cm
3 massores de 100 g (chumbada de pesca) e fio de linha.

Montagens

Procedimento
Coloque, como se ilustra acima, o conjunto na borda de uma mesa. O fio de linha (cerca de 1m de comprimento) deve ter uma extremidade fixa ao eixo do bloco girante, diretamente acima do furo efetuado na base suporte. Passe o fio de linha pelo furo e fixe o peso (mg) nesta extremidade do fio. Girando o eixo do bloco, enrole o fio neste eixo, até que o peso chegue ao nível da mesa. Abandone o peso. Ao descer, este peso, através do fio, aplica um torque no eixo do bloco forçando-o a girar. Que bloco girará mais rápido? Como você deve proceder para calcular a velocidade angular média de cada bloco?

Comentários teóricos
São bastante conhecidos alguns experimentos que evidenciam o comportamento das massas e suas distribuições geométricas frente à rotação. Um típico é o da cadeira giratória (clique para ver detalhes), na qual, uma pessoa começando a girar com braços e pernas encolhidos, e então esticar braços e pernas, perceberá uma diminuição substancial na velocidade de rotação da cadeira. Isto porque, numa linguagem simples, o corpo apresenta uma maior "dificuldade para girar" (uma inércia rotacional) com braços e pernas esticados do que quando encolhidos. Quanto mais próximas do eixo de rotação estiverem distribuídas as massas, menor será a ´oposição´ que colocam para girar.
Outro exemplo típico, bastante comum em Feiras de Ciências, é o comportamento de corpos de mesma massa rolando num plano inclinado. Normalmente se utiliza de um aro, um disco, uma esfera oco e uma esfera maciça abandonadas simultaneamente, lado a lado, no alto do plano inclinado. Esses corpos não chegarão à base do plano ao mesmo tempo pois, apesar de apresentarem a mesma massa, suas distribuições são diferentes em relação ao eixo de rotação que passam por seus centros de massa.

Nessa ilustração acima, colocamos os corpos na real ordem de chegada à base do plano inclinado; o aro (com sua massa distribuída o mais afastado de todos, do eixo de rotação) será o último a chegar!

A grandeza física posta para conceituar e medir essa causa, ou seja, porque as massas e suas distribuições em relação ao eixo de rotação interferem na rotação, denomina-se momento de inércia.
Numa comparação, diríamos que o momento de inércia é para a rotação de um corpo ao redor de um eixo, o mesmo que a massa o é para a translação desse corpo. Todavia, cuidado com as comparações (ou analogias); deve-se destacar ainda que, enquanto a inércia de rotação (momento de inércia) assume valores diferentes para diferentes escolhas de eixos, a inércia de translação (massa) não depende da direção e sentido em que se translada o objeto, tampouco muda se o objeto for deformado.

Assim, a justificação da ordem de chegada desses corpos ao final do plano inclinado, ficará por conta dos momentos de inércia desses corpos, todos diferentes entre si. Apesar do torque da força peso ser o mesmo para os quatro corpos (mesmo peso e mesma distância ao ponto de contato com o plano --- detalhe na ilustração acima), a energia cinética produzida não se divide igualmente parte para a rotação e parte para a translação; quem tiver maior momento de inércia (o aro) irá adquirir maior energia cinética de rotação e menor energia cinética de translação (a que o faz ir para a frente!). Assim, o aro é o último a chegar; é o que possui maior inércia de rotação.

Cálculo dos momentos de inércia de nossos blocos
1- Iniciemos pelo momento de inércia de uma placa retangular (lados de medidas a e b) delgada, homogêneo, em relação ao eixo Z, como se ilustra:

Tomamos um elemento de massa (dm) que dista x do eixo de rotação. O elemento é um retângulo de comprimento a de largura dx. Sendo a densidade superficial de massa dessa placa, indicada por (M/ab) e a área desse retângulo elementar por (a.dx), a massa deste retângulo elementar será expressa por:

dm = (M/ab).(a.dx) = (M/b).dx

O momento de inércia desse retângulo elementar, em relação ao eixo Z, se exprime por:

I´ = dm.x2 = (M/b).x2.dx

de modo que o momento de inércia total da placa retangular será:

Este resultado refere-se à placa de dimensões ab; de modo análogo se obterá para as placas de dimensões ac e bc.

2- A seguir, faremos o cálculo dos momento de inércia do bloco de massa M e de dimensões a,b e c, em relação ao eixo Z, como se ilustra.

Dividimos o bloco em forma de paralelepípedo em placas retangulares de lados a e b e de espessura dx. Como vimos acima, o momento de inércia de uma dessas placas relativo ao seu eixo de simetria é:

I = (1/12)b2.dm

Aplicando o teorema de Steiner calcularemos o momento de inércia desta placa relativo a um eixo paralelo situado à distância x do eixo de simetria da placa:

Assim, o momento de inércia total do bloco em forma de paralelepípedo vale:

Do mesmo modo se calcula os momentos de inércia para as outras duas posições do eixo de rotação.

Comparemos os resultados, excluindo o fator (M/12), já que comparece nos três cálculos:

b2 + c2, a2 + c2  e  b2 + a2

Para nossos blocos temos: a = 2 cm, b = 4 cm e c = 12 cm, de modo que o menor momento de inércia se verifica para aquele em que o eixo Z passa, perpendicularmente, pelo centro da face menor (ab). Este é o bloco que girará mais rapidamente frente ao torque dado pela queda do peso p = mg, através do fio de linha enrolado no eixo Z de raio r = 2 mm.

 


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