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Colisão bidimensional

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br 

Normalmente se discutem choques mecânicos entre esferas que colidem frontalmente, ou seja, a direção de suas velocidades é a mesma antes e após a colisão. É o denominado choque (ou colisão) unidimensional, uma vez que os centros de massa permanecem sempre sobre a mesma reta. Para entender, por exemplo, casos de espalhamento de partículas leves que se chocam com partículas pesadas, coisa comum no mundo atômico, devemos estender nossa análise para mais de uma dimensão. Vejamos um caso bidimensional.

Consideremos a colisão perfeitamente elástica da esfera (1) com a esfera (2), negligenciando-se os atritos. Assumiremos que a esfera (2), de massa m2, está em repouso antes da colisão e a esfera (1), de massa m1, apresenta antes da colisão a velocidade v. A velocidade v1 da esfera (1) e a velocidade v2 da esfera (2) após a colisão dependerá da distância d, indicada na ilustração a seguir, que é justamente a distância (medida do segmento de perpendicular) entre o centro de massa da esfera (2) e a trajetória inicial do centro de massa da esfera (1).
Observe que a colisão só acontecerá se
d < r1 + r2, onde r1 e r2 são os raios das esferas (1) e (2), respectivamente. Na fase de colisão a força que a esfera (1) aplica na esfera (2) terá a direção da linha que une os centros das esferas ... pois não há atrito (obviamente, pela 3a lei de Newton, a força que (2) aplicará sobre (1) também terá essa direção). Desse modo, como se ilustra, após a colisão a esfera (2) terá uma certa velocidade v2 fará ângulo q com a direção do movimento inicial da esfera (1) --- com a horizontal nessa ilustração. A esfera (1) assumirá uma velocidade v1 a ser determinada tanto em módulo como em direção.

Da geometria da situação podemos tirar a seguinte relação:

(r1 + r2) sen q = d

Antes, durante e após a colisão haverá conservação da quantidade de movimento e da energia cinética do sistema; logo:

Resolvendo esse sistema de equações obtemos:

Demonstre isso!

Se m1 << m2 o diagrama vetorial das quantidades de movimento será o ilustrado abaixo, onde Q = m.v (quantidade de movimento inicial da esfera 1), Q1 = m.v1 (quantidade de movimento da esfera 1 após o choque) e Q2 = m.v2 (quantidade de movimento da esfera 2 após o choque). 

O que está "escrito" nessa ilustração é: a soma vetorial das quantidades de movimento das esferas (1) e (2) após a colisão (Q1 + Q2) é igual á quantidade de movimento da esfera (1) antes da colisão (Q) (isso porque a 2 estava em repouso!); Q = Q1 + Q2 .
Podemos observar ainda dessa ilustração que, caso a colisão fosse frontal (
d = 0), teríamos Q2 > 2Q e Q1 > -Q (demonstre isso!). Nesse caso, a velocidade da esfera (1) variará quanto ao sentido e não em seu valor absoluto. A velocidade da 'pesada' esfera (2) não poderá exceder ao valor dado por: v2 = 2vm1/m2 (demonstre isso!).

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