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Clássicos da Dinâmica

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

1. Corrente - Uma corrente flexível de comprimento l repousa sobre uma mesa lisa (desprezar o atrito), tendo pendurada, inicialmente, para fora da mesa, uma parte c de seu comprimento. Abandonada a corrente, cujo peso é w kgf/m, e permitido seu escorregamento, pede-se estudar o movimento da mesma.

Na ilustração temos, no meio e à direita, os diagramas de corpo livre relativamente às duas partes da corrente; a que se encontra sobre a mesa, de comprimento variável l - x e a que fica pendurada, de comprimento x, também variável. Os pesos dessas partes serão: w.(l-x) w.x, onde w é o peso específico linear; as massas dessas partes valem: w(l-x)/g e wx/g.

Nesses diagramas estamos indicando com T a tensão resultante em cada uma dessas partes. As equações de movimento serão:

Nota: Observe que a aceleração é proporcional ao deslocamento, mas o movimento não é um M.H.S. Saberia dizer o porque?

A solução da equação diferencial em destaque , de 2a ordem, é:

   ... (3)

A determinação das constantes A e B pode ser feita pela aplicação da equação (3) às condições iniciais do sistema; assim, pelo enunciado podemos escrever:

x = c   quando   t = 0
v = 0   quando   t = 0

A primeira condição, levada à (3), fornece: c = A +B  ... (4) .
Derivando-se a (3) em relação ao tempo:

A segunda condição aplicada à equação acima dará:   A - B = 0   ... (5)
Combinando-se (4) e (5), resulta: A = B = (1/2)c e a equação do movimento será:

Observe que, em um instante qualquer t, os valores das experiências da equação acima devem ser calculados, para a determinação do comprimento x de corrente que ultrapassa a borda da mesa.

Notas:
(a) Poderíamos ter feito: w/g = m, onde m é a massa específica linear da corrente e, com isso, as massas das partes acima indicadas valem  m(l-x)  e  mx.

(b) Se a questão pedisse apenas a aceleração inicial da corrente bastaria tomar a equação fundamental de movimento (enquadrada acima) e fazer nela x = c; logo:  a = (g/l).c .


2. Polias ideais A - Dois blocos de pesos 90 e 80 kgf são sustentados por um sistema de cabos e roldanas como se vê na ilustração. Desprezados os pesos próprios das roldanas e cabos, assim como os efeitos de atrito, determinar as tensões nos cabos.

Inicialmente, deve-se notar que o comprimento total do cabo (como se vê na ilustração acima, à direita), qualquer que seja a posição dos pesos, é constante, isto é:

x2 + (x2 - c) + x1 + C = constante

onde C representa duas meias circunferências de enrolamento do cabo nas roldanas.

Derivando duas vezes a expressão acima obteremos a relação das acelerações dos movimentos dos dois pesos:

2.a2 + a1 = 0     ou    a1 = - 2a2

Arbitrando como positivas as forças dirigidas para baixo, as equações dos movimentos dos dois pesos serão:

90 - T2 = (90/9,81).a2
80 - T1 = (80/9,81).a1

Desprezadas as massas das polias, pode-se escrever: T2 = 2.T1 .  Essas três últimas expressões fornecem:

T1 = 52,8 kgf         T2 = 105,6 kgf


2. Polias ideais B - No sistema de roldanas, cabos e pesos abaixo representados, suponhamos que as posições dos pesos de 1, 2 e 3 kgf em um instante qualquer, sejam caracterizadas pelas distâncias x1, x2 e x3 . Desprezadas as massas das polias e cabos, assim como os efeitos do atrito, determinar as tensões T1 e T2 nos cabos.

Por termos negligenciado as massas das polias e cabos, podemos escrever:  2T1 = T2 . O cabo enrolado na polia mais baixa tem comprimento constante, logo podemos escrever:  x1 - x + x2 - x = constante . O cabo enrolado na polia de cima, também de comprimento constante, permite-nos escrever: x + x3 = constante .

A segunda derivada em relação ao tempo fornece, para essas duas últimas expressões:

a1 + a2 - 2a = 0    e
   a + a3 = 0

As equações de movimento, supondo como positivas as forças dirigidas para baixo, são:

3 - T2 = (3/g).a3
1 - T1 = (1/g).a1
2 - T1 = (2/g).a2

A primeira das relações acima (2T1 = T2), as duas equações das acelerações e as três dos movimentos dos pesos [sistema de 6 equações a 6 incógnitas], permitem calcular:

T1 = 1,41 kgf    e    T2 = 2,82 kgf


3. Loop-the-loop - Uma partícula de massa  m  desce um plano inclinado sem atrito ao fim do qual penetra em um 'loop-the-loop' de diâmetro  d, como se ilustra a seguir. Qual deve ser a altura  h   do plano de modo que a partícula complete uma volta no 'loop'?

No destaque, em amarelo, mostramos o diagrama do corpo livre em um instante qualquer de seu movimento sobre o plano inclinado. As equações de movimento, decompostas em duas direções, respectivamente paralela e perpendicular ao plano são:

SF// = mgsenq = ma   ... (1)
SF | = N - mgcosq = 0   ...(2)

Ao escrever a equação (2), foi admitido que a aceleração na direção perpendicular ao plano fosse nula, uma vez que não existe, por hipótese, deslocamento nessa direção (em outras palavras, a partícula não descola do plano).

A equação (1) nos dá:  a = g.senq . Este valor de  a  substituído na equação da Cinemática  a.ds = v.dv (*) , onde s representa o deslocamento ao longo do plano, dá:  gsenq.ds = v.dv , que, por integração, fornece:

  ... (3)

No final da trajetória sobre o plano, a velocidade é determinada substituindo s por h/senq, em (3):

A equação (4) mostra que a velocidade na extremidade do plano é a mesma que a partícula possuiria se tivesse caído livremente da altura h.

Em seguida, façamos um diagrama do corpo livre para a partícula ocupando a posição mais alta do “loop”.As forças atuantes são o peso mg e a reação do “loop” N, ao longo do raio.

Como no presente caso, o que procuramos é o mínimo valor de h a partir do qual é assegurada uma volta completa da partícula no “loop”, o valor de N a considerar para este caso é zero.

Para determinar a velocidade  vsup  no ponto mais alto do “loop”, lembremo-nos do fato, acabado de demonstrar, de que o movimento ascendente ou descendente no “loop” ou no plano inclinado, não levado em conta o atrito de outras influências externas, é equivalente ao movimento vertical, se ambos tiverem apenas, como ação, causadora ou perturbadora, a da gravidade. Assim, podemos dizer que a partícula perde velocidade, quando ascende no “loop”, em quantidade igual à que perderia no simples movimento linear ascendente vertical entre as mesmas alturas. Portanto:

v2sup = v2inf - 2gd ,

onde  vinf  representa a velocidade no ponto inferior do “loop” e é, no caso, dada pela equação (4): v2inf = 2gh.

Então:                                                             v2sup = 2gh - 2gd = 2g(h - d).
Somando-se as forças que agem na vertical, uma vez que  N = 0 . tem-se:

e, reescrevendo:                      mg = (2m/d).2g(h-d)         donde :   h = (5/4).d .

Assim, conclui-se que a partícula deve partir de uma altura igual ou superior a  h = (5/4)d  para, desprezados os atritos e demais efeitos, dar ao menos uma volta completa na trajetória circular vertical do “loop”.
Para h < (5/4)d a partícula
não atingirá o ponto mais alto do “loop”.


4. Máquina de Atwwod - Em um mecanismo conhecido como máquina de Atwood, duas massas de iguais pesos W são ligadas por uma fita de peso desprezível, que se apóia, sem atrito, em uma polia, como ilustramos em (a).

Um peso w, de valor inferior a W, é adicionado a um dos pesos W (lado direito, na ilustração), causando o movimento descendente deste e, portanto, ascendente do outro. Durante o movimento, um estilete, convenientemente colocado, registra na fita, por vibração, intervalos de tempo prefixados, de modo que permite a medida dos tempos.
Pede-se o estudo do movimento.

Os diagramas de corpo livre referentes a cada um dos sistemas, formados pelas massas, são vistos acima, em (b) e (c) e, como neles se vê, desprezado o atrito entre a fita e a polia, a mesma tensão T atua em ambas as extremidades da fita.

As equações dos movimentos das duas massas serão:    

SFesq. = T - W = (W/g).a                    ... (1)
SFdir. = W + w - T = [(W+w)/g].a        ...(2)

e nelas nota-se que foi empregado o mesmo valor da aceleração a, o que é exato, uma vez que se pontos diferentes da fita tivessem acelerações diferentes, esta se romperia ou se ondularia.

A eliminação de T nas duas equações acima dará:

w = (W/g).a +[(W+w)/g].a = [(2W+w)/g].a
e, então:      a = [ w/(2W+w)].g

A expressão acima permite calcular a aceleração da gravidade local g, quando, por medida de deslocamentos e intervalo de tempo gasto a percorrê-los, se encontra a.

Indicando-se W/g = M , w/g = m , teremos   a = [m/(2M+m)].g  .



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