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Clássicos da Dinâmica Prof.
Luiz Ferraz Netto 1. Corrente - Uma corrente flexível de comprimento l repousa sobre uma mesa lisa (desprezar o atrito), tendo pendurada, inicialmente, para fora da mesa, uma parte c de seu comprimento. Abandonada a corrente, cujo peso é w kgf/m, e permitido seu escorregamento, pede-se estudar o movimento da mesma.
Na ilustração temos, no meio e à direita, os diagramas de corpo livre relativamente às duas partes da corrente; a que se encontra sobre a mesa, de comprimento variável l - x e a que fica pendurada, de comprimento x, também variável. Os pesos dessas partes serão: w.(l-x) e w.x, onde w é o peso específico linear; as massas dessas partes valem: w(l-x)/g e wx/g. Nesses diagramas estamos indicando com T a tensão resultante em cada uma dessas partes. As equações de movimento serão:
Nota: Observe que a aceleração é proporcional ao deslocamento, mas o movimento não é um M.H.S. Saberia dizer o porque? A solução da equação diferencial em destaque , de 2a ordem, é:
A determinação das constantes A e B pode ser feita pela aplicação da equação (3) às condições iniciais do sistema; assim, pelo enunciado podemos escrever: x
= c quando t = 0 A
primeira condição, levada à (3), fornece: c = A +B ... (4) .
A
segunda condição aplicada à equação acima dará: A - B = 0
... (5)
Observe que, em um instante qualquer t, os valores das experiências da equação acima devem ser calculados, para a determinação do comprimento x de corrente que ultrapassa a borda da mesa. Notas: (b) Se a questão pedisse apenas a aceleração inicial da corrente bastaria tomar a equação fundamental de movimento (enquadrada acima) e fazer nela x = c; logo: a = (g/l).c . 2. Polias ideais A - Dois blocos de pesos 90 e 80 kgf são sustentados por um sistema de cabos e roldanas como se vê na ilustração. Desprezados os pesos próprios das roldanas e cabos, assim como os efeitos de atrito, determinar as tensões nos cabos.
Inicialmente, deve-se notar que o comprimento total do cabo (como se vê na ilustração acima, à direita), qualquer que seja a posição dos pesos, é constante, isto é: x2 + (x2 - c) + x1 + C = constante onde C representa duas meias circunferências de enrolamento do cabo nas roldanas. Derivando duas vezes a expressão acima obteremos a relação das acelerações dos movimentos dos dois pesos: 2.a2 + a1 = 0 ou a1 = - 2a2 Arbitrando como positivas as forças dirigidas para baixo, as equações dos movimentos dos dois pesos serão: 90
- T2 = (90/9,81).a2 Desprezadas as massas das polias, pode-se escrever: T2 = 2.T1 . Essas três últimas expressões fornecem: T1 = 52,8 kgf T2 = 105,6 kgf 2. Polias ideais B - No sistema de roldanas, cabos e pesos abaixo representados, suponhamos que as posições dos pesos de 1, 2 e 3 kgf em um instante qualquer, sejam caracterizadas pelas distâncias x1, x2 e x3 . Desprezadas as massas das polias e cabos, assim como os efeitos do atrito, determinar as tensões T1 e T2 nos cabos.
Por termos negligenciado as massas das polias e cabos, podemos escrever: 2T1 = T2 . O cabo enrolado na polia mais baixa tem comprimento constante, logo podemos escrever: x1 - x + x2 - x = constante . O cabo enrolado na polia de cima, também de comprimento constante, permite-nos escrever: x + x3 = constante . A segunda derivada em relação ao tempo fornece, para essas duas últimas expressões: a1
+ a2 - 2a = 0 e As equações de movimento, supondo como positivas as forças dirigidas para baixo, são: 3
- T2 = (3/g).a3 A primeira das relações acima (2T1 = T2), as duas equações das acelerações e as três dos movimentos dos pesos [sistema de 6 equações a 6 incógnitas], permitem calcular: T1 = 1,41 kgf e T2 = 2,82 kgf 3. Loop-the-loop - Uma partícula de massa m desce um plano inclinado sem atrito ao fim do qual penetra em um 'loop-the-loop' de diâmetro d, como se ilustra a seguir. Qual deve ser a altura h do plano de modo que a partícula complete uma volta no 'loop'?
No destaque, em amarelo, mostramos o diagrama do corpo livre em um instante qualquer de seu movimento sobre o plano inclinado. As equações de movimento, decompostas em duas direções, respectivamente paralela e perpendicular ao plano são: SF//
= mgsenq
= ma ... (1) Ao escrever a equação (2), foi admitido que a aceleração na direção perpendicular ao plano fosse nula, uma vez que não existe, por hipótese, deslocamento nessa direção (em outras palavras, a partícula não descola do plano). A equação (1) nos dá: a = g.senq . Este valor de a substituído na equação da Cinemática a.ds = v.dv (*) , onde s representa o deslocamento ao longo do plano, dá: gsenq.ds = v.dv , que, por integração, fornece:
No final da trajetória sobre o plano, a velocidade é determinada substituindo s por h/senq, em (3):
A equação (4) mostra que a velocidade na extremidade do plano é a mesma que a partícula possuiria se tivesse caído livremente da altura h. Em
seguida, façamos um diagrama do corpo livre para a partícula ocupando a
posição mais alta do “loop”.As forças atuantes são o peso mg
e a reação do “loop” N, ao longo do raio.
Como no presente
caso, o que procuramos é o mínimo valor de h a partir do qual é
assegurada uma volta completa da partícula no “loop”, o valor de N
a considerar para este caso é zero. Para determinar
a velocidade vsup no ponto mais alto do
“loop”, lembremo-nos do fato, acabado de demonstrar, de que o movimento
ascendente ou descendente v2sup = v2inf - 2gd , onde vinf representa a velocidade no ponto inferior do “loop” e é, no caso, dada pela equação (4): v2inf = 2gh. Então:
v2sup = 2gh - 2gd = 2g(h - d).
e, reescrevendo: mg = (2m/d).2g(h-d) donde : h = (5/4).d . Assim,
conclui-se que a partícula deve partir de uma altura igual ou superior a
h = (5/4)d para, desprezados os atritos e demais efeitos, dar ao
menos uma volta completa na trajetória
circular vertical do “loop”. 4. Máquina de Atwwod - Em um mecanismo conhecido como máquina de Atwood, duas massas de iguais pesos W são ligadas por uma fita de peso desprezível, que se apóia, sem atrito, em uma polia, como ilustramos em (a).
Um peso w,
de valor inferior a W, é adicionado a um dos pesos W (lado
direito, na ilustração), causando o movimento descendente deste e,
portanto, ascendente do outro. Durante o movimento, um estilete,
convenientemente colocado, registra na fita, por vibração, intervalos de
tempo prefixados, de modo que permite a medida dos tempos. Os diagramas de corpo livre referentes a cada um dos sistemas, formados pelas massas, são vistos acima, em (b) e (c) e, como neles se vê, desprezado o atrito entre a fita e a polia, a mesma tensão T atua em ambas as extremidades da fita. As equações dos movimentos das duas massas serão: SFesq.
= T - W = (W/g).a
... (1) e nelas nota-se que foi empregado o mesmo valor da aceleração a, o que é exato, uma vez que se pontos diferentes da fita tivessem acelerações diferentes, esta se romperia ou se ondularia. A eliminação de T nas duas equações acima dará: w = (W/g).a
+[(W+w)/g].a = [(2W+w)/g].a A expressão acima permite calcular a aceleração da gravidade local g, quando, por medida de deslocamentos e intervalo de tempo gasto a percorrê-los, se encontra a. Indicando-se W/g = M , w/g = m , teremos a = [m/(2M+m)].g . |
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... (3)
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