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A Física do Bungee Jumping
(Solução via leis de Newton - Forças)

Prof. Luiz Ferraz Netto [Léo]
leobarretos@uol.com.br

Introdução
Recentemente uma consulente do Feira de Ciências enviou-me uma mensagem solicitando a solução de uma questão proposta, em vestibular, pela FURG 2007. Eis a questão proposta:

"Um aventureiro planeja saltar do alto de uma ponte amarrado em um cabo elástico (um esporte radical conhecido por ´bungee jumping´). A outra extremidade do cabo fica amarrada na ponte. No início, o movimento do saltador é uma queda livre. A partir do ponto em que o cabo é esticado, o saltador começa a desacelerar até uma determinada posição, onde pára. Deste momento em diante, o cabo começa a puxar o saltador para cima. Esta posição, onde o saltador inverte o sentido de queda, marca o seu maior deslocamento vertical D com relação à ponte. Naturalmente que a altura da ponte deve ser maior do que D. Considere agora a situação hipotética de um saltador de massa 80 kg utilizando um cabo elástico de 20 m de comprimento. A constante elástica do cabo é 160 N/m. Calcule o valor de D.
Observação: a massa do cabo pode ser desprezada em relação à massa do saltador. Para aceleração da gravidade, utilize o valor 10 m/s²:
A) 20 m.  B) 25 m.  C) 40 m.  D) 36 m.  E) 10 m.
"

Recorrendo-se aos motores de busca com o discriminador "bungee jumping" tem-se, como retorno, centenas (senão, milhares) de locais; que dizem tudo sobre o esporte, menos como ele realmente funciona --- e isto foi justamente o alvo da questão proposta. Este artigo tem como propósito preencher esta lacuna e, como se trata de Ciência, toda sugestão/crítica será bem vinda.

Manterei sempre em vista a solução da questão proposta e os possíveis caminhos para resolve-la. Assim, realcemos os dados da questão:

massa do saltador : m = 80 kg
comprimento natural do cabo : L = 20 m
constante elástica do cabo : k = 160 N/m
aceleração local da gravidade : g = 10 m/s²
(negligenciar efeitos do ar e massa do cabo)

Devemos determinar até que distância D descerá o saltador, a contar da ponte.

Primeira solução
Neste primeiro encaminhamento vou seguir a técnica das leis de Newton, verificando as forças atuantes no sistema. Numa segunda solução utilizaremos da conservação da energia.

Referencial e fases do processo
Adotemos como eixo de referência y, na vertical que contém o ponto do salto e, na ponte adotemos y = 0; o sentido positivo é ´para baixo´. O "pulo" apresenta duas fases distintas.
Na primeira verifica-se uma queda livre (vo= 0) porque o cabo ainda não está sendo solicitado; de modo que, por certo intervalo de tempo, ou seja, enquanto y < L, a única força agente no homem (portanto, a resultante) é seu próprio peso; sua aceleração é g = constante e sua velocidade é aquela de um objeto em queda livre.

Equacionamento da primeira fase

y < L ....... F = P = m.g ...... a = g ...... v² = 2.g.y ........ (1)

Nesta fase (1) ..... a = g > 0; v > 0 ..... como a e v têm mesmo sinal (os vetores g e v são ambos verticais para baixo, mesmo sentido de y), temos um movimento uniformemente acelerado.

Quando a distância do homem até a ponte, alcança y = L, passamos para a segunda fase: o cabo elástico começa a se deformar (esticar) e passa a aplicar uma força restauradora do tipo elástica (lei de Hooke, f = -k.s) no homem (f sentido oposto a F). Assim, para y > L o cabo apresentará deformação  s = y - L, de modo que:

y > L ...... f = - k.s = - k.(y - L) ...... (2)

Eis uma ilustração das forças agentes no homem nas duas fases de movimento:

A ilustração mostra uma série de diagrama de forças do corpo-livre, sucessivamente, ao incrementar y.
O homem é representado pelo "ponto material" (bola preta), a força gravitacional (peso) pelos vetores azuis e a força elástica (f) devida ao cabo, pelos vetores vermelhos. Para ´ajudar´ a apresentação, os diagramas estão ´deslizando´ para a direita, para não ocorrer superposição de vetores. Note que, até então, não sabemos onde ocorrerá a deformação máxima (D ?).

Equacionamento da segunda fase
Enquanto  y > L, a nova força resultanteque age no homem será:

y > L .......... F´ = P - f = m.g - k.(y - L) ........ (3)

Esta é uma combinação de forças que atuam em sentidos opostos: uma força descendente de intensidade constante (mg) e uma força ascendente continuamente crescente, k.(y-L).
A partir de y = L, a força mg continua agindo e permanece de valor constante, mas a força elástica contrária vai aumentando de intensidade, de modo que a resultante vai diminuindo de intensidade, permanecendo positiva até um ponto B de coordenada yB , onde, então, a força resultante se anula (ponto de equilíbrio do sistema; F´ = 0; na ilustração acima, vetor azul = vetor vermelho, //).
Formalmente:

y = yB ......... 0 = m.g - k.(yB - L) ...... yB = L + mg/k ..... (4)

Para os dados desta particular questão tem-se:

mg/k = 80.10/160 = 5 m;    yB = 20 + 5 = 25 m .

Nota: Se o homem fosse descendo lentamente preso ao cabo, mas segurando-se numa corda, ele ficaria em equilíbrio neste ponto B, distante 25 m da ponte. Poderia largar a corda, pois o cabo lhe aplica a força equilibrante f = -P.

A ilustração das forças, agora com escala para y, fica assim:

Uma vez que o homem passa pela posição B (y > yB), sua descida continua (uma vez que ainda tem velocidade vertical para baixo), mas, a partir de y = yB, a força elástica torna-se cada vez maior que o peso, de modo que a resultante passa a ter sentido apontando para cima.

Assim, aplicando-se o Princípio Fundamental da Dinâmica (segunda lei de Newton), tem-se:

y > yB ..... F´ = mg - k(y-L) = m.a ... a = g - (k/m)(y - L) ...... (5) (lei de aceleração do movimento para y > yB)

Eis o gráfico da aceleração em função de y, para o movimento em questão; a região y < L traduz a equação (1) e a região y > L a equação (5):

Com y < L temos a = g, a aceleração da gravidade; a partir de y = L a aceleração diminui linearmente com y por causa da ação do cabo (força restauradora do tipo elástica que segue a lei de Hooke).
Quando L < y < yB (trecho entre L e B) a aceleração é positiva (a resultante tem mesmo sentido que o eixo; para baixo); quando y > yB (trecho após B) é negativa (resultante tem sentido contrário ao eixo; para cima).

Obviamente o ponto B não caracteriza o ponto mais baixo atingido pelo homem. Observe que enquanto y < yB , a aceleração tem o mesmo sinal da velocidade; assim o homem está acelerando. Ao passar por B a aceleração muda de sinal, mas a velocidade continua positiva; isto caracteriza um movimento retardado; inicia-se o frenamento do movimento. No ponto B o homem tem velocidade máxima!

Sabemos que a aceleração a é a derivada da velocidade em relação ao tempo e, como já aprendemos, uma derivada nula corresponde ao máximo da função. Assim, para obter o máximo valor de y temos dois caminhos: (a) integrar a função aceleração com respeito a y para obter a função da velocidade em relação a y --- e em seguida anular a v(y) para obter o yD; (b) trabalhar com a definição de aceleração em função do tempo e tentar obter a v(y).

Obtenção da velocidade
Como a resposta, parece-me, ter urgência, vou apresentar apenas o resultado da integração e, a seguir, farei a complementação, com cálculo integral e sem utilizar cálculo integral; apenas derivadas e consequências.

resultado da integração da função (5):  v² = - (k/m)(y - L)² + 2.g.y  (repare bem ... conhece uma das parcelas desse resultado?)

Igualando a zero, para y = yD e resolvendo:

- (k/m)(yD - L)² + 2gy = 0
yD =  L + (mg/k) [1 + (1 + 2kL/mg)½]  ..... lembrando a (4) ... yB = L + mg/k ..... fica:
yD = yB + (yB2 - L2)½.

Para a questão: 

yD= 25 + (25² + 20²)½ = 25 + 225½ = 25 + 15 = 40 m

Ilustração dos comportamentos da aceleração e velocidade quadrática em função de y:

Resposta para a questão: alternativa (C)

Ilustração das forças (na alegoria da direita a cor verde representa velocidade):

 

Complementações
(1) Obtenção da velocidade quadrática função de y, por integração:

A expressão da aceleração a = g - (k/m)(y - L) é do tipo: a = A - B².y, ou seja,

dv/dt = A - B².y     ou, derivando-se uma vez em relação ao tempo,

d²v/dt² = - B².v     (lembre-se que  dy/dt = v)

Esta equação diferencial (típica do MHS), bem conhecida, tem como solução, a função:

v = vo.sen(B.t - ß)  ... (eq.01)   ou 

sen²(B.t - ß) = (v/vo)² ... (eq.02)

A (eq.01) pode ser escrita: dy/dt = vo.sen(B.t - ß) que, integrada fornece:

 y = (-vo/B).cos(B.t - ß) + C     ou      (y - C)² = (-vo/B)².cos²(B.t - ß)    ou

(y - C)² = (vo/B)².[1 - sen²(B.t - ß)]  ... (eq.03)

Levando-se a (eq02) na (eq.03), tem-se:

(y - C)² = (vo/B)².[1 - (v/vo)²]    ou

(y - C)²/(vo/B)² = 1 - (v/vo)²      ou

(v/vo)² = 1 - (B/vo)².(y - C)²

Finalmente:

v² = vo² - B².(y - C)²   ou, com nossas notações  v² = 2.g.y - (k/m)(y - L)²  

Para confirmar, vamos derivar essa função em relação ao tempo:

2.v.dv/dt = 2.B².(C - y).dy/dt = 2.B².(C - y).v ou
a = B².C - B².y, que é a forma original da aceleração, com A = B².C.

(2) Obtenção da velocidade quadrática função de y, por derivações e diferenciais:

Da segunda lei de Newton resultou:  a = g - (k/m)(y - L)

a = dv/dt  ... (introduzindo uma troca de variáveis, vem:)

a = (dv/dy).(dy/dt) ... (lembrando que: v = dy/dt, tem-se:)

a = v dv/dy = ½.d(v²)/dy  ... (então:)

dv²/dy = 2.a = 2g - 2(k/m)(y - L)    ou

dv2/dy = 2g - 2(k/m)(y - L) = d[2gy - (k/m)(y - L)2]/dy  ... (e, finalmente:)

v2 = 2gy - (k/m)(y - L)2  

Solução da questão pelo método das energias

Indiquemos por d a deformação experimentada pelo cabo desde a posição L até a posição extrema onde ocorre a inversão do movimento. O máximo afastamento do saltador, em relação à ponte, será: D = L + d.

A energia potencial gravitacional do saltador equacionada desde a ponte até esta posição extrema, converte-se em energia potencial elástica do cabo; escrevemos:
 

m.g.(L+d) = (1/2).k.d²  

2.m.g.L + 2.m.g.d - k.d² = 0 .... dividindo m.a.m. por k, e fazendo 2mg/k = u   fica,

u.L + u.d - d² = 0  (equação quadrática)

d´,d" = [-u ± squar(u² +4uL)]/(-2) ... fórmula de Baskara; squar = raiz quadrada.

Com os dados da questão, tem-se: u = 2mg/k = 2.80.10/160 = 10   e  L = 20 .

As raízes numéricas, da equação, são: d´ = 20  e d" = - 10

Reforçando: d é a deformação máxima do cabo; acrescentando L (comprimento do cabo) tem-se a distância máxima do saltador até a ponte: D = L+d .

Com os dados da questão, uma solução é D´ = 20+20 = 40 m e a outra é D" = -10+20 = 10 m .

A segunda solução pode ser dispensada pois o cabo não aplica força no saltador para y < 20 m.

Sugestões e críticas sempre são bem vindas.

Léo


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