Gravitação I
(Questões básicas)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Introdução
O tema Gravitação, posto pela primeira vez ao entendimento do  aluno do Ensino médio segundo o método tradicional fica, a meu ver, melhor reforçado quando apresentamos a seguir, algumas perguntas básicas, tais como:

Pergunta 1
Sob o ponto de vista gravitacional, como era o mundo antes de Galileu, Kepler e Newton?

Resposta 1
Comecemos com Platão, no século IV A.C., uma vez que os pitagóricos não deixavam nada por escrito mas transmitiam oralmente as suas observações somente aos bastante inteligentes para compreendê-las. Os pitagóricos, no entanto, eram guiados por uma mística crença de que relações numéricas simples governam o Universo e afirmavam: “O centro do Universo não é a Terra, mas o Sol... A Terra é apenas uma das estrelas que giram em torno do Sol”.

Platão ensinava que as estrelas eram fixas, umas em relação às outras, e que se encontravam sobre a superfície de uma esfera muito grande, dentro da qual estava o resto do Universo; o Sol, a Terra, a Lua e os  planetas conhecidos, como se ilustra a seguir. Dizia Platão: “As estrelas são eternas, divinas e imutáveis e movem-se ao redor da Terra dando uma volta, levando um dia como se pode ver, descrevendo a trajetória de maior perfeição: o círculo”.

Depois de Platão, surge Aristóteles como a maior figura científica da época, cujos ensinamentos vão influenciar a humanidade durante vários séculos.

Dizia Aristóteles: “As leis que regem os movimentos dos corpos celestes são totalmente diferentes daquelas que governam os movimentos dos corpos terrestres”.

Aristóteles foi um grande homem, no entanto, teve muitos defeitos pelos quais o desenvolvimento da ciência foi obstado durante vários séculos. Esse é o grande mal quando se adota a 'palavra da autoridade'.

No século II D.C., surge Ptolomeu fazendo inúmeras modificações no modelo geocêntrico, tentando descrever o movimento dos planetas pela célebre teoria dos EPICICLOS. Há uma frase histórica atribuída ao rei Afonso X, quando leu a obra de Ptolomeu: “Se o Criador tivesse me consultado, eu teria feito uma obra mais simples”.

Vemos, então, que o homem, na sua empáfia, tomou a Terra como o primeiro sistema de referência, e grande foi a luta de Copérnico para convencer os cientistas da verdade e simplicidade da teoria heliocêntrica.

Pergunta 2
Qual foi o primeiro impacto na imutabilidade do Céu?

Resposta 2
O primeiro impacto na imutabilidade do Céu foi produzido pelo aparecimento das estrelas chamadas supernovas, observadas, respectivamente, por Kepler e Galileu. Ora, segundo Aristóteles, a Terra era corruptível, a Lua variável e o Céu imutável. Como poderia aparecer/desaparecer algo no que é imutável?

Raciocinava Galileu: “Por certo, Aristóteles admitia a possibilidade de mutações cósmicas nas baixas regiões celestes, onde apareciam cometas e meteoritos”. Galileu demonstra que a estrela intrusa não possui paralaxe, isto é, a sua posição aparente não muda em relação à posição do observador sobre a Terra. Ora, as paralaxes decrescem com a distância e, à época de Galileu, somente as paralaxes dos planetas eram mensuráveis. “As estrelas fixas, corpos muito afastados, não tinham paralaxes determinadas”, concluiu Galileu. A supernova encontra-se muito além da esfera dos planetas, na esfera superior do Universo, que não pode ser imutável.

Pergunta 3
Como Newton comprovou a lei da gravitação universal?

Resposta 3
Newton comprovou os resultados a que chegou ["Matéria atrai matéria na proporção direta de suas massas e na inversa do quadrado da distância que separa seus centros de massa"], de uma maneira muito simples e interessante. Ele sabia que as forças são proporcionais às acelerações [Realmente, essa é uma decorrência da Primeira Lei de Newton], para uma mesma massa, por exemplo, a da maçã. Disse, então, Newton: “Será que a força com que a Terra atrai a maçã não é da mesma natureza da força com que a Terra atrai a Lua?”.

Consideremos, de acordo com a ilustração, o seguinte:

M = massa da Terra; m = massa da maçã; r = 60R = distância Terra/Lua R = raio da Terra. Temos então:                          FT/FL = aT/aL Assim:                (GMm/R2)/[GMm/(60R)2] = aT/aL = 3600 Desse modo,                         aL = aT/3600

A aceleração centrípeta daquela maçã colocada á distância da Lua deve ser 3600 vezes menor do que a aceleração na Terra, desde que seja válida a lei da atração gravitacional.
Ora, calculando-se a aceleração centrípeta na Lua utilizando-se a expressão a_L = (v_L)²/r = (2pr/T)²/r, ou,
a_L = 4.p².r/T², encontraremos a_L = 0,00271 m/s².

Dessa maneira,              a_L/a_T = a_L/g = 0,00271/9,80 = 1/3616 =~ 1/3600

O resultado foi magnífico, uma vez que Newton trabalhou com valores não muito precisos.

Pergunta 4
De quanto se desvia ('cai') a Lua em 1 s, em relação ao plano tangente à sua órbita na posição inicial?

Resposta 4
Suponhamos a órbita da Lua em torno da Terra como circular, de raio r = 60R ~ 4,0 X 10⁸ m.

Com base na ilustração abaixo, temos: se não houvesse a aceleração centrípeta, a distância percorrida pela Lua, em 1 s, seria S, contada sobre a tangente à órbita em L. Havendo a aceleração centrípeta, a Lua se desvia de uma distância d, em relação à tangente.

d = 2x10x4,0x10⁸ / (29 x 8,6 x 10⁴)² m/s² ~ 1/720 m/s² ~ 1,4 mm/s²

Agora, no campo gravitacional da Terra, um corpo cai, em 1 s: H_T = (1/2)g_T.t² = (1/2)x10x1²m = 5 m.

Sabemos que o raio da órbita da Lua é r = 60R. Se a força que atrai um corpo na Terra é da mesma natureza daquela que atrai um corpo na Lua, devemos ter:

5/60² = 5/3600 = 1/720 ~ 1,4 mm

é quanto a Lua se desvia em 1 s em relação à tangente à sua órbita na posição inicial.

Se a aceleração centrípeta na Lua é 0,00217 m/s², diretamente obteríamos o mesmo resultado:

H_L = (1/2)g_L.t² = (1/2)x0,00217x1² ~ 1,4 mm

Pergunta 5
Onde pesará mais um corpo, à superfície da Terra, a 1000 m de altura, ou a 1000 m de profundidade?

Resposta 5
O corpo pesará mais à superfície da Terra, uma vez que a aceleração da gravidade decresce tanto com a altura h a que nos elevemos, segundo a lei g = g_o (1 - 2h/R), sendo R o raio da Terra, como a uma profundidade p a que penetremos, segundo a lei g = g_o (1 - p/R).

Pergunta 6
Que se entende por velocidade de parabólica ou 'primeira velocidade de escape'?

Resposta 6
É a velocidade critica que deve ter um corpo para escapar da ação gravitacional de outro, descrevendo uma órbita parabólica. Se sua velocidade é inferior, o primeiro se converte em satélite do segundo, descrevendo uma órbita elíptica. Se, pelo contrário, é maior, o corpo se afasta do segundo ao longo de uma trajetória hiperbólica. Para a Terra, esta velocidade é de 11,3 km/s como se pode demonstrar:

Na superfície da Terra, energia potencial de um foguete é E_pot. = - GMm/R. Para que se consiga fazê-lo escapar, deve-se fornecer uma energia cinética de escape cujo valor seja simétrico de sua energia potencial. Então:

onde R representa o raio da Terra. Substituindo os símbolos por seus valores, teremos

A velocidade de escape para a Lua é de 2,3 km/s.

Pergunta 7
Que sucederia a um relógio de pêndulo, colocado dentro de uma cápsula espacial e lançada de uma grande altura no espaço livre?

Resposta 7
Coloquemos um referencial nessa cápsula (que é um referencial acelerado em relação a um sistema inercial de coordenadas). Enquanto a cápsula cai (no sistema inercial), a força de inércia (no referencial da cápsula) compensa a força gravitacional, isto é, a aceleração de inércia — g compensa a aceleração gravitacional g e o pêndulo fica sem peso. Desse modo enquanto o pêndulo 'cai' ele não pesa e, portanto, o relógio de pêndulo fica parado durante a queda livre da cápsula (no referencial inercial). Ao deter-se a cápsula, o relógio voltaria ao seu ritmo normal, atrasado do tempo que durou a queda.

Pergunta 8
Um foguete viaja da Terra à Lua, com velocidade constante, levando um relógio de pêndulo e outro de pulso (relógio de mola). Descreva o que ocorre a cada um desses relógios durante a viagem?

Resposta 8
Ao relógio de pulso não ocorrerá nada e ele seguirá a sua marcha normal, uma vez que sua força restauradora é devida à força elástica da mola, que é independente de g. O relógio de pêndulo, à medida que se afasta da Terra, irá atrasando sua marcha cada vez mais, ao diminuir g, até chegar ao ponto de neutralização dos campos gravitacionais terrestre e lunar, onde pararia de oscilar.

Voltando a colocar o relógio em funcionamento, à proporção que se aproxima da Lua, a freqüência voltará a aumentar até o foguete atingir a Lua, onde a freqüência ainda será menor que na Terra, por ser g_L < g_T.

Pergunta 9
Qual é a velocidade mínima para colocar um satélite em órbita?

Resposta 9
É aquela que proporciona, na passagem horizontal do satélite pelo perigeu (colocação em órbita), uma força centrípeta igual a seu peso. Sendo a força centrípeta F_cp = mv²/r, em que r é a distância ao centro da Terra e P = mg, com g = g_o (R²/r²) temos, igualando as duas expressões (F_cp = P):

Aplicando-se a um ponto da superfície terrestre, vem r = R = 6,36 x 10⁶ m, obtemos v = 7,9 km/s. Aplicando-se a um ponto situado a 200 km da superfície terrestre, r = 6,36 x 10⁶ + 0,2 x10⁶ = 6,56x10⁶ m, teremos v = 7,75 km/s, isto é, quase não tem importância para o problema balístico a elevação inicial do satélite. A única dificuldade é que o lançamento tangenciando o solo significaria que este satélite teria sua órbita tangente ao solo no perigeu e bateria em qualquer obstáculo na superfície terrestre.

Pergunta 10
É possível lançar um satélite, de tal modo que sempre se encontre sobre um mesmo ponto da Terra?

Resposta 10
Sim. Basta para isso que o período de revolução do satélite seja igual ao período de rotação da Terra sobre seu eixo e que, além disso, tenha sua órbita situada sobre o equador terrestre. O raio dessa órbita pode ser calculado igualando-se a força gravitacional à força centrípeta, tomando-se w = p/43200 rd/s, a saber

sendo M a massa da Terra e G a constante de gravitação.

Esta expressão nos mostra que existe uma única altitude possível para um satélite ficar em órbita equatorial estacionária, uma vez que G, M e w são constantes.

Ia colocar aqui exemplos de satélites estacionários como o Intelsat III e IV, mas estou desatualizado nessa informação. Se alguém quiser enviar os nomes e posições dos atuais satélites estacionários que servem a propósitos do Brasil, o autor agradece (leobarretos@uol.com.br).