Gravitação II
(Questões A)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Questão 1
O campo gravitacional da Terra, em determinado ponto do espaço, imprime à massa de 1 kg a aceleração de 5 m/s². Qual seria a aceleração comunicada à massa de 3 kg?

Resposta 1
Este problema simples acentua a relação entre massa gravitacional e massa inercial. Pela lei do movimento de Newton, temos: F = ma  donde  a = F/m. Desse modo, a aceleração decresce com um aumento de massa e aumenta com um aumento de força. Se a força gravitacional fosse constante, uma massa maior seria menos acelerada. A experiência mostra, no entanto, que a força gravitacional é proporcional à massa.

Assim, quando a massa aumenta pelo fator 3, a força gravitacional aumenta pelo mesmo fator e a aceleração, devido à gravidade, permanece constante; ela independe das variações de massa.
No ponto do espaço onde o campo gravitacional da Terra acelera uma massa de 1 kg em 5 m/s², acelerará também uma massa dc 3 kg em 5 m/s².

Durante dois mil anos, e até o advento de Galileu, acreditava-se que o tempo de queda era inversamente proporcional à massa, no entanto Galileu mostrou que atratibilidade e inércia são duas propriedades da matéria diretamente proporcionais. Isso escapou aos gregos, uma vez que Galileu utilizou a experimentação.

Questão 2
O campo gravitacional na superfície da Lua é um sexto do campo gravitacional na superfície da Terra.
a) Quanto pesaria, na Lua, um homem de massa igual a 70 kg? E na Terra?
b) Qual seria sua massa na Terra? E na Lua?

Resposta 2
Este problema mostra a distinção entre massa e peso.

a) Um homem de 70 kg teria um peso sobre a Terra de P = m.g = 70kg x 10N/kg = 700 N e, sobre a Lua, seu peso seria de P' = 1/6.P = (1/6) x 700 N = 120 N.

b) A massa do homem é 70 kg sobre a Terra, sobre a Lua ou em qualquer parte.

Questão 3
Marte tem um diâmetro médio de 6,7X 10⁶ m, enquanto o da Terra é de 1,3X 10⁷ m. A massa de Marte é 0,107 da massa da Terra.
a) Qual é a massa especifica média de Marte, comparada com a da Terra?
b) Qual é o valor de g em Marte?
c) Qual é a velocidade de escape em Marte?

Resposta 3
a) Vemos, de acordo com os dados do problema, que o raio da Terra é 1,9 vezes maior que o raio de Marte, isto é, R_T = 1,9.R_M.

Chamando r_M a massa específica média de Marte, vem:

sendo r_T a massa específica média da Terra, r_M = 0,107 x 6,86r_T = 0,73r_T .

b) Com as notações da ilustração abaixo, as grandezas do campo gravitacional em Marte e na Terra serão:

c) Por velocidade de escape de um planeta entende-se a velocidade mínima necessária para que um satélite lançado escape do campo gravitacional desse planeta. Quando o satélite é lançado do planeta com velocidade v_o, sua energia cinética, K, vai diminuir e sua energia potencial, U, irá aumentar. Teremos, então,

Quando o satélite se afasta para r ==> infinito, teremos U = 0. Se K > 0, ele escapou do campo gravitacional do planeta.

A velocidade de chegada depende do valor da velocidade inicial v_o. Claro que a velocidade de escape deve ser tal que o satélite tenha uma velocidade zero quando r ==> infinito, isto é, U = 0 e K = 0.
Teremos, então,

Questão 4
Se a razão da massa gravitacional para a massa inercial fosse diferente para diferentes objetos, adquiririam eles a mesma aceleração no campo gravitacional da Terra? Explique.

Resposta 4
Este problema chama a atenção para a implicação mais simples da relação entre massa gravitacional e massa inercial. A força resultante F que atua sobre um corpo em queda é dada pela soma vetorial F = F_a + m_g.g, onde F_a é a resistência do ar e m_g.g a força de atração gravitacional.

Pela segunda lei de Newton,

Se a razão m_g/m_i fosse variável, a aceleração seria também variável. Desse modo, objetos de materiais diferentes seriam acelerados diferentemente no campo gravitacional da Terra. A constância da razão é baseada na experiência com uma precisão de 1 para 10⁸.

Einstein postulou que m_g = m_i. Não posso afirmar que a totalidade da comunidade científica concorde com isso!

Questão 5
Que medidas temos de fazer para determinar:
a) a massa da Terra?;
b) a massa de Júpiter?

Resposta 5
a) A medida da massa de qualquer planeta requer a medida de seu campo gravitacional g = G.M_p/R², onde G, a constante universal de gravitação, deve ser conhecida antes da determinação da massa de qualquer planeta.

A Terra é o único planeta, até o presente, onde foram feitas medidas da aceleração da gravidade, g_o, à sua superfície. Desse modo, sabendo-se o raio da Terra R_T, podemos calcular a massa da Terra pela expressão M_T = g_o.R_T²/G.

b) O campo gravitacional de um planeta, na posição de um satélite em órbita circular de raio r, é a aceleração centrípeta a_cp = 4p² r/T² do satélite, onde T é o período de rotação do satélite em torno do planeta. Assim, a massa do planeta é

M_p = (4p²/G).(r³/T²)

Este método pode ser usado para a Terra, Júpiter, ou qualquer planeta que tenha um satélite, natural ou artificial, para o qual conhecemos r e T com precisão.

Questão 6
Um astrônomo observa um planeta com um pequeno satélite girando em torno dele, em uma órbita circular de raio r e período T.
a) Qual é a massa do planeta?
b) Qual seria o valor de g no satélite?
c) O astrônomo mede o raio do planeta e constata ser 1/10 do raio da órbita do satélite. Que valor assumiria g sobre a superfície do planeta?
d) Qual é a força gravitacional sobre o satélite?

Resposta 6
(a) Igualando a força centrípeta à força gravitacional, temos

Devemos lembrar que o observador, sendo um astrônomo, conhece o problema do referencial, isto é, resolveu o problema como se o referencial estivesse no planeta.

b) O valor de o no satélite seria

d) A força gravitacional sobre o satélite é dada pela expressão F_g = m_s.a_s. Ora, a massa do satélite não é conhecida; assim, a força não pode ser achada.

Questão 7
Imagine um sistema planetário em que a força gravitacional varia como 1/R em vez de 1/R² , ou seja, um sistema planetário onde vale: F = G'Mm/R.
Qual a expressão da terceira lei de Kepler neste mundo imaginário?

Resposta 7
O movimento circular neste universo ainda precisaria da força centrípeta mv²/R, que seria resultado da força gravitacional G'Mm/R, onde G' seria a constante universal desse Universo.

Igualando a força centrípeta à força gravitacional, temos

No nosso Universo, a terceira lei de Kepler é R³/T² = constante.

Questão 8
A que altura acima da superfície da Terra a força de gravidade que age sobre um foguete é igual à metade da que atua ao nível do mar?

Resposta 8
Sabe-se que a força gravitacional é inversamente proporcional a R² ou diretamente proporcional a 1/R², isto é, F_g a 1/R². A força gravitacional, ao nível do mar, será F_sup.a 1/R²_sup..

Pela condição imposta ao problema, 1/R²_sup.= 2 x 1/R² portanto, R² = 2.R²_sup. , logo: R = (2)^1/2.R_sup. , sendo R_sup.= 6,4 x 10³ km será R = 9,0 x 10³ km.

A altura acima do nível do mar será h = R - R_sup. = 2,6 x 10³ km.