Gravitação III
(Questões B)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Questão 1
Use o princípio da conservação da energia mecânica para achar a velocidade com que um corpo deve ser lançado verticalmente para cima, na ausência de resistência do ar, para elevar-se a uma altura, acima da superfície terrestre, igual ao raio da Terra.

Resposta 1
Aplicando ao nosso propósito, o princípio da conservação da energia nos diz que trabalho de todas as forças não-conservativas, atuando sobre um corpo, é igual à variação da energia total do sistema corpo +  Terra.
De um modo geral, temos:

W_{f não conserv.} = E_mec.final - E_mec.inicial = (E_cin.final + E_pot.final) - (E_cin.inicial + E_pot.inicial)

com  E_cin. = (1/2)m.v²  e E_{pot.(corpo+Terra)} = - Gm.m_T/r, vem:

W_{f não conserv.} = [(1/2)m.v₂² - Gmm_T/r₂] - [(1/2)mv₁² - Gmm_T/r₁]

Na questão proposta, todas as forças são conservativas, donde decorre W_{f não conserv.} = 0. Com  v₁ sendo a velocidade inicial do corpo; r₁ = R,  r₂ = 2R e v₂ = 0, teremos:

(1/2)m.v₁² - Gmm_T/R = 0 - Gmm_T/2R

v₁² = Gm_T/R  donde  v₁ = (Gm_T/R)^1/2

Sendo Gm_T/R² = g a aceleração da gravidade na superfície da Terra, vem:

v₁ =(g.R²/R)^1/2 = (g.R)^1/2

Notemos que a condição para orbitar á distância R, a velocidade tangencial deve ser tal que a aceleração centrípeta seja igual ao valor de g naquela altura, ou seja: v_t²/R = g donde: v_t = (g.R)^1/2.

Questão 2
Calcule a velocidade que um corpo adquiriria se, partindo do repouso à distância infinita, caísse livremente na superfície da Terra. Considere desprezível a resistência do ar.

Resposta 2
Em se tratando de queda livre, temos v₁ = 0, r₁ = infinito e r₂ = R, aproveitando a simbologia da questão anterior. O princípio da conservação da energia mecânica fornece:

(1/2)m.v₁² - Gmm_T/r₁ = (1/2)m.v₂² - Gmm_T/r₂

0 - Gmm_T/(infinito) = (1/2)m.v₂² - Gmm_T/R

v₂ = (2Gm_T/R)^1/2

Sendo Gm_T/R² = g, a aceleração da gravidade na superfície da Terra, vem: v₂ = (2gR)^1/2. Esta seria a velocidade do corpo em queda livre, de uma altura igual a R, mantida constante a aceleração da gravidade.

Numericamente, com R = 6,38 x 10³ km = 6,38 x 10⁶ m, temos:

v₂ = (2x9,8x6,38x10⁶)^1/2 = 11,2 x 10³ m/s = 40 000 km/h

Observe que a velocidade de escape (v_e) é igual à que o corpo adquire em queda livre, vindo do infinito. Vejamos:

r₂ = infinito,  v₂ = 0,  r₁ = R  e v₁ = v_e

Substituindo na expressão anterior, vem:

(1/2)m.v_e² - Gmm_T/R = 0  ou,  v_e = (2Gm_T/R)^1/2 = (2gR)^1/2.

Note que não é necessário que o lançamento seja vertical, com a velocidade de escape, para que o corpo atinja o infinito (limites do campo gravitacional da Terra).

Em princípio, um corpo lançado horizontalmente da superfície da Terra, com velocidade igual ou maior que a de escape, jamais retornaria à Terra. A resistência do ar impede que isso aconteça.

Questão 3
Um corpo de massa m é lançado com velocidade horizontal v_o de um ponto à distância r do centro da Terra (é preciso escrever que r > R?). Calcule a velocidade e a energia cinética necessárias ao corpo para se deslocar em órbita circular de raio r (órbita n^o 2 da ilustração abaixo).

Resposta 3
Para que se obtenha uma órbita circular, a atração gravitacional (F_g) deve ser igual à força centrípeta (F_cp), e teremos

Gmm_T/r² = m.v_o²/r   donde  v_o = (Gm_T/r)^1/2

A energia cinética será: E_cin = (1/2)m.v_o² = (1/2).Gmm_T/r.

Façamos outras hipóteses:

a) v < v_o , isto é, E_cin < (1/2).Gmm_T/r

A trajetória será uma elipse, tendo para um dos focos o centro da Terra, órbita n^o (1) na ilustração acima. Admitindo-se que a Terra se reduzisse à partícula de igual massa, m_T, condensada no seu centro, o corpo completaria a trajetória elíptica e voltaria ao ponto de partida.

b) v = v_escape = (2Gm_T/r)^1/2

Neste caso, a energia cinética será: E_cin = (1/2).m.v² = Gmm_T/r que é exatamente o dobro da energia cinética, no movimento em órbita circular de raio r. Com essa velocidade, o corpo descreverá uma trajetória parabólica (órbita n^o (4) na ilustração acima).

c) v_o < v < v_escape

A trajetória será novamente elíptica, estando o centro da Terra num dos focos (órbita n^o (3)). Sob o ponto de vista energético, temos

(1/2).Gmm_T/r < E_cin < Gmm_T/r

d) v > v_escape

A trajetória será uma hipérbole (órbita n^o (5)), sendo  E_cin > Gmm_T/r

Questão 4
Ache o período de rotação de um satélite que se move em órbita circular em torno da Terra, a uma altitude de 800 km acima de sua superfície.

Resposta 4
Indiquemos por r = R + h a distância do centro da Terra ao satélite, por M a massa da Terra e por R o raio da Terra. A força que produz a aceleração centrípeta do movimento circular é a atração gravitacional da Terra, e teremos:

Questão 5
Que fração da velocidade de escape é necessária para enviar um foguete tão longe como à Lua?

Resposta 5
A distância da Terra à Lua é 60 R. Aplicando o princípio da conservação da energia, sem considerar a atração lunar, vem:

A velocidade necessária para alcançar a Lua é 99% da velocidade de escape.