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Gravitação III
(Questões B)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Questão 1
Use o princípio da conservação da energia mecânica para achar a velocidade com que um corpo deve ser lançado verticalmente para cima, na ausência de resistência do ar, para elevar-se a uma altura, acima da superfície terrestre, igual ao raio da Terra.

Resposta 1
Aplicando ao nosso propósito, o princípio da conservação da energia nos diz que
trabalho de todas as forças não-conservativas, atuando sobre um corpo, é igual à variação da energia total do sistema corpo +  Terra.
De um modo geral, temos:

Wf não conserv. = Emec.final - Emec.inicial = (Ecin.final + Epot.final) - (Ecin.inicial + Epot.inicial)

com  Ecin. = (1/2)m.v2  e Epot.(corpo+Terra) = - Gm.mT/r, vem:

Wf não conserv. = [(1/2)m.v22 - GmmT/r2] - [(1/2)mv12 - GmmT/r1]

Na questão proposta, todas as forças são conservativas, donde decorre Wf não conserv. = 0. Com  v1 sendo a velocidade inicial do corpo; r1 = R,  r2 = 2R e v2 = 0, teremos:

(1/2)m.v12 - GmmT/R = 0 - GmmT/2R

v12 = GmT/R  donde  v1 = (GmT/R)1/2

Sendo GmT/R2 = g a aceleração da gravidade na superfície da Terra, vem:

v1 =(g.R2/R)1/2 = (g.R)1/2

Notemos que a condição para orbitar á distância R, a velocidade tangencial deve ser tal que a aceleração centrípeta seja igual ao valor de g naquela altura, ou seja: vt2/R = g donde: vt = (g.R)1/2.

Questão 2
Calcule a velocidade que um corpo adquiriria se, partindo do repouso à distância infinita, caísse livremente na superfície da Terra. Considere desprezível a resistência do ar.

Resposta 2
Em se tratando de queda livre, temos v1 = 0, r1 = infinito e r2 = R, aproveitando a simbologia da questão anterior. O princípio da conservação da energia mecânica fornece:

(1/2)m.v12 - GmmT/r1 = (1/2)m.v22 - GmmT/r2

0 - GmmT/(infinito) = (1/2)m.v22 - GmmT/R

v2 = (2GmT/R)1/2

Sendo GmT/R2 = g, a aceleração da gravidade na superfície da Terra, vem: v2 = (2gR)1/2. Esta seria a velocidade do corpo em queda livre, de uma altura igual a R, mantida constante a aceleração da gravidade.

Numericamente, com R = 6,38 x 103 km = 6,38 x 106 m, temos:

v2 = (2x9,8x6,38x106)1/2 = 11,2 x 103 m/s = 40 000 km/h

Observe que a velocidade de escape (ve) é igual à que o corpo adquire em queda livre, vindo do infinito. Vejamos:

r2 = infinito,  v2 = 0,  r1 = R  e v1 = ve

Substituindo na expressão anterior, vem:

(1/2)m.ve2 - GmmT/R = 0  ou,  ve = (2GmT/R)1/2 = (2gR)1/2.

Note que não é necessário que o lançamento seja vertical, com a velocidade de escape, para que o corpo atinja o infinito (limites do campo gravitacional da Terra).

Em princípio, um corpo lançado horizontalmente da superfície da Terra, com velocidade igual ou maior que a de escape, jamais retornaria à Terra. A resistência do ar impede que isso aconteça.

Questão 3
Um corpo de massa m é lançado com velocidade horizontal vo de um ponto à distância r do centro da Terra (é preciso escrever que r > R?). Calcule a
velocidade e a energia cinética necessárias ao corpo para se deslocar em órbita circular de raio r (órbita no 2 da ilustração abaixo).

Resposta 3
Para que se obtenha uma órbita circular, a atração gravitacional (Fg) deve ser igual à força centrípeta (Fcp), e teremos

GmmT/r2 = m.vo2/r   donde  vo = (GmT/r)1/2

A energia cinética será: Ecin = (1/2)m.vo2 = (1/2).GmmT/r.

Façamos outras hipóteses:

a) v < vo , isto é, Ecin < (1/2).GmmT/r

A trajetória será uma elipse, tendo para um dos focos o centro da Terra, órbita no (1) na ilustração acima. Admitindo-se que a Terra se reduzisse à partícula de igual massa, mT, condensada no seu centro, o corpo completaria a trajetória elíptica e voltaria ao ponto de partida.

b) v = vescape = (2GmT/r)1/2

Neste caso, a energia cinética será: Ecin = (1/2).m.v2 = GmmT/r que é exatamente o dobro da energia cinética, no movimento em órbita circular de raio r. Com essa velocidade, o corpo descreverá uma trajetória parabólica (órbita no (4) na ilustração acima).

c) vo < v < vescape

A trajetória será novamente elíptica, estando o centro da Terra num dos focos (órbita no (3)). Sob o ponto de vista energético, temos

(1/2).GmmT/r < Ecin < GmmT/r

d) v > vescape

A trajetória será uma hipérbole (órbita no (5)), sendo  Ecin > GmmT/r

Questão 4
Ache o período de rotação de um satélite que se move em órbita circular em torno da Terra, a uma altitude de 800 km acima de sua superfície.

Resposta 4
Indiquemos por r = R + h a distância do centro da Terra ao satélite, por M a massa da Terra e por R o raio da Terra. A força que produz a aceleração centrípeta do movimento circular é a atração gravitacional da Terra, e teremos:

Questão 5
Que fração da velocidade de escape é necessária para enviar um foguete tão longe como à Lua?

Resposta 5
A distância da Terra à Lua é 60 R. Aplicando o princípio da conservação da energia, sem considerar a atração lunar, vem:

A velocidade necessária para alcançar a Lua é 99% da velocidade de escape.



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