Gravitação IV
(Questões C)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Questão 1
Uma nave espacial de 10 000 kg está sendo conduzida para uma longa missão no espaço exterior do sistema solar. Ela lançou um pequeno satélite experimental que gira em torno dela a uma distância de 120 m sob suas mútuas atrações gravitacionais.
Qual é o período de revolução do satélite?
Qual é sua velocidade orbital?

Resposta 1 
A solução do problema é uma aplicação direta da terceira lei de Kepler, T² = R³/K, e da lei da gravitação de Newton, 4p²K = GM, onde M é a massa da nave espacial. O  valor de K é:

K = (0,667x10^-10 x10⁴)/4p² = 1,69 x 10^-8  S.I.U.     e

T² = (120)³ / 1,69x10^-8 = 1,02 x 10¹⁴ s²

Assim,  T = 1,01 x 10 ⁷ s = 120 dias. Então, a velocidade orbital do satélite será:

v = 2p x 120 m / 1,01x10⁷ s = 7,5 x 10^-5 m/s = 0,075 mm/s.

Esta velocidade diminuta indica que se trata de uma operação prática muito difícil. Colocar tal satélite em órbita seria uma operação extremamente delicada. Na solução do problema, admitiu-se que a força gravitacional entre a nave e o satélite o manteria em órbita circular. Isto só aconteceria, realmente, se o campo gravitacional geral, onde a nave se move, fosse rigorosamente uniforme nos 240 m de diâmetro da órbita do satélite.

Questão 2
Em algum ponto entre a Terra e a Lua, a força gravitacional sobre uma nave, devido a Terra e a Lua juntas é zero.
Onde fica este ponto?
A distância Terra-Lua é de 3,8 X 10⁵ m, e a Lua tem 1,20% da massa da Terra. Muitos acreditam que é apenas nesse ponto que os astronautas sentem 'falta de peso'. Explique por que os astronautas sentirão 'falta do peso' também em outros pontos.

Resposta 2
O ponto entre a Terra e a Lua, onde a força gravitacional da Terra iguala à força gravitacional da Lua, em grandeza é

Gmm_T/r_T² = Gmm_L/r_L²

sendo r_T e r_L as distâncias respectivas do ponto considerado, à Terra e à Lua. Ainda:

m_L/m_T = r_L²/r_T² = 1,2 x 10^-2  ==> r_L = r_T (1,2x10^-2)^1/2 = 0,11.r_T

Ora, r_L + r_T = 0,11.r_T + r_T = 1,11.r_T = 3,8.10⁵ m, donde  r_T = 3,4 x 10⁵ m da Terra.

Este ponto P fica bem próximo da Lua, a saber:  r_L ~ (r_L + r_T)/10.

Podemos definir, vagamente, a expressão “falta de peso” dizendo ser a situação em que uma balança de mola marcará zero quando um homem se acha de pé sobre ela. A nave, depois de lançada, viajaria em órbita sob a ação combinada da atração gravitacional do Sol, da Terra e da Lua. A força gravitacional dará forma à órbita e determinará a aceleração de cada parte da nave e de tudo dentro da mesma.

A condição de “falta de peso” começará logo que o motor do foguete pare de funcionar e a atração da gravidade (geral) passe a ser a única força atuando sobre a nave espacial.

Questão 3
Observações astronômicas indicam que o Sol está descrevendo uma órbita circular em torno do centro de nossa galáxia. O raio da órbita é cerca de 30 000 anos-luz (= 2,7 X 10²⁰ m) e o período de uma revolução completa é cerca de 200 milhões anos. Nesse movimento o Sol fica sob a atração gravitacional de uma grande quantidade de estrelas que estão dentro de sua órbita.
a) Calcule a massa total dessas estrelas a partir dos dados.
b) Quantas estrelas de massa igual à do Sol (2 X 10³⁰ kg) isso representa?

Resposta 3
Essa questão fornece uma resposta prática à pergunta: “Quantas estrelas existem em nossa galáxia ?“

Os dados fornecidos são baseados nas observações do movimento relativo de muitas estrelas com relação ao sistema solar. Vamos obter somente a ordem de grandeza, uma vez que faremos simplificações e aproximações (em destaque).

a)  Consideremos a galáxia como uma massa esférica de estrelas e que sejam simetricamente distribuídas em toda a esfera. Vamos calcular a força gravitacional sobre o Sol como se toda a massa das estrelas estivesse concentrada no centro da galáxia, da mesma maneira que fazemos quando calculamos a atração gravitacional da Terra. As estrelas, situadas fora da órbita do Sol, não contribuem com força gravitacional resultante sobre essa massa esférica.

Teremos, então,

       F = GMm/R² = m.4p².R/T²  e  M = 4p²R³ / GT² = 4p²(2,7.10²⁰)³ / 0,67.10^-11 (6.10¹⁵)² = 3.10⁴¹ kg.

b) Supondo que existam N estrelas, cada uma de massa m (2x10³⁰ kg), sua massa total será M = N.m. Certamente não é verdade que todas as estrelas da galáxia sejam do mesmo tamanho do Sol, mas o Sol é uma estrela típica e sua massa é bem próxima da massa média. Assim,

N = 3.10⁴¹ / 2.10³⁰ ~ 10¹¹ = 100 bilhões

Calculamos a ordem de grandeza do número de estrelas que estão a uma distância de 30 000 anos-luz do centro da galáxia. Há razões para acreditar que esta distância seja metade da distância do eixo da galáxia. Assim, considerando a galáxia esférica, o número total de estrelas seria 2³ vezes maior que o calculado, isto é, N ~ 10¹². Desde que nossas aproximações não são melhores do que isso, podemos nos contentar com 10¹¹, como sendo o número de estrelas da nossa galáxia, dentro de um fator de 10² ou 10³.

Questão 4
Um astronauta, equipado com sua roupa espacial, pode pular 0,60 m sobre a Terra, verticalmente, usando esforço máximo. Até que altura ele pularia sobre a Lua, sendo que o diâmetro da Lua é de 1/4 do diâmetro da Terra e que sua densidade é de 2/3 daquela da Terra?

Resposta 4
Sobre a superfície da Terra, o valor de

Questão 5
Uma nave espacial da Terra entra numa órbita circular de 22 000 km acima da superfície de Marte, no equador, girando com a mesma velocidade do planeta, e assim fica, sempre acima do mesmo ponto sobre a superfície daquele planeta (satélite martestacionário?). Os 'marcianos' instalaram um foguete teleguiado, diretamente abaixo e o dispararam verticalmente com a intenção de destruir o intruso terrestre.
Com que velocidade mínima deve o foguete deixar a superfície de Marte para ter sucesso na missão?
Assuma que Marte é uma esfera de raio 3 400 km e tem por densidade média 4 120 kg/m³.

Resposta 5
Calculemos, inicialmente, a massa de Marte.

Quando o foguete teleguiado levanta, ele sofre a ação de uma força retardadora atuando sobre ele, devido à força gravitacional do planeta.

Quando a velocidade do foguete é v, num dado instante t, a sua distância ao centro de Marte é r; portanto, a força retardadora tem módulo:

F = GM_m.m/r²

onde G é a constante universal de gravitação e m a massa do foguete. Desde que F = ma, a aceleração a sobre o foguete tem sentido oposto a r e tem por grandeza:

A velocidade mínima, v, com que o foguete pode ser enviado, é aquela que o permitirá atingir uma distância de 22 000 km acima da superfície ou uma distância de 25 400 km do centro de Marte, antes. que sua velocidade vertical seja zero. Assim,

onde R₁ = 3 400 km e R₂ = 25 400 km.  Da integração: