Que área da superfície da Terra é vista por um astronauta?

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Problema Geral
a) Calcular a área da superfície da Terra vista por um astronauta que se encontra a uma altura H contada a partir do solo.
b) Calcular o porcentual da área da superfície da Terra vista pelo astronauta, nas condições do item (a).
Em ambos os itens, supor que a Terra seja esférica, de raio R.

Soluções

a) Abaixo esquematizamos a situação, onde indicamos por P a posição do astronauta, H a distância dele até o solo e R o raio da Terra. Nessa situação, o astronauta vê, da superfície da Terra, apenas uma calota esférica de altura h.

Lembramos que a calota não é um sólido e sim, uma superfície; portanto, para a calota, a grandeza geométrica a ela associada, não é o volume e sim a área.
Cuidado! Superfície é uma propriedade geométrica --- Área é a medida da superfície. Ninguém calcula uma superfície; calcula sua área!
A área (A_c) de uma calota esférica de altura h, numa esfera de raio R, é calculada por A_c = 2pRh , conforme nos ensina a geometria. Desse modo, para responder à questão (a), devemos calcular primeiro a medida da distância h, uma vez que os dados da questão são as medidas das distâncias H e R.

A partir de P, tracemos os segmentos PA e PB, ambos tangentes à circunferência de centro O. Como são tangentes, concluímos que tais segmentos são perpendiculares aos raios OA e OB e, portanto, são retângulos os triângulos PAO e PBO. Trabalhemos com o triângulo retângulo PAO de catetos OA e AP e hipotenusa OP.

Da geometria plana lembramos que para triângulo retângulo de  hipotenusa a, catetos b e c, com m e n sendo as projeções desses catetos sobre a hipotenusa, tem-se:

Sendo  OA² = PO.DO, com   OA = R,   PO = H + R   e   DO = R - h  teremos:   R² = (H+R)(R-h).
Isolemos o h:

R² = HR - Hh + R² - Rh
Hh + Rh = HR
h(H+R)   = HR

h = HR/(H+R)

Assim, como resposta genérica do item (a) teremos: A_c = 2pRh = 2pR²H/(H+R).

(b) O porcentual da área da superfície da Terra (K) vista pelo astronauta será dado por: K = 100. A_c/A_e, onde A_c é a área da calota e A_e é a área total da esfera associada à toda superfície da Terra. Lembremos que a área de uma esfera de raio R é expressa por: A_e = 4.p.R².

Então:

Eis, portanto a resposta do item (b): K = 50H/(R+H).

Vale a pena fazer algumas continhas para se ter a idéia da parcela da superfície da Terra que o astronauta pode ver e, para isso, adotemos como raio médio da Terra o valor 6 400 km e para a altura do astronauta em relação ao solo 10 km. Substituindo-se esses valores na expressão acima, vem:

K = 50.10/(6400 + 10) = 500/66410 = 0,078%

Para H = 100 km, teremos:       K = 50.100/(6400 + 100) = 5000/6500 ~ 0,77%.
Para H = 1000 km, teremos:     K = 50.1000/(6400+1000) = 50000/7400 ~ 6,76%.
Para H =  10000 e 100000 km, teremos K = 30,49% e K = 46,99%, respectivamente.

Assim, observamos que se H se tornar muito maior que 6 400 km, o denominador da expressão geral [K = 50H/(R+H)], R + H poderá ser substituído simplesmente por H, de modo que a expressão que fornece o porcentual da área da Terra vista 'por alguém' muito longe da Terra será:

K = 50.H/H = 50%

"Quando H tende para o infinito, o porcentual da área vista tende para 50%, ou seja, metade da área total da Terra poderá ser vista."