Trabalho e Energia
(Questões A - parte 2)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

1 - Que intensidade de força atua sobre os pés de uma pessoa de 70 kg quando ela salta de uma mesa de 1 m de altura?

Solução
Esse tipo de questão tem aparecido freqüentemente na seção de Dúvidas do Feira de Ciências. É difícil fazer tais consulentes entenderem que, como foram propostos --- fornecem apenas a massa do corpo e a altura de queda livre ---, 'faltam dados' para a sua solução.
Vamos encaminhar este problema de três modos diferentes, deixando bem claro a simplicidade do segundo método, o da energia (em cada modo, destacamos a necessidade do dado 'extra' para a solução da questão).

Primeiro método: O diagrama (v,t) acima, mostra que a velocidade da pessoa cresce de zero até um certo valor v . A área do triângulo OAB (que como sabemos mede o 'espaço percorrido' pelo móvel) é numericamente igual a 1 m; assim,

v²/(2g) = 1 , portanto,  v = (2g)^1/2 = 2 x 5^1/2 m/s = 4,47 m/s

Assim, a pessoa chega ao chão com a velocidade de 4,47 m/s. Obviamente esse resultado poderia ser obtido por outras vias, por exemplo: y = (1/2).g.t² = 5.t² e v = dy/dt = g.t = 10.t  ou v² = 2gy.

A força que o solo exerce sobre os pés da pessoa vai reduzir esta velocidade a zero. Suponhamos (atenção ao dado 'extra') que a distância disponível pela força é somente da ordem de 2 x 10^-2 m (grossura da sola dos sapatos da pessoa).

Graficamente, teremos o seguinte novo diagrama nessa fase de frenagem

Dessa maneira, a intensidade da força será da ordem de 3,5 toneladas-força.

Segundo método: Conservação da energia
A força gravitacional, sendo conservativa, permite escrever,  DE_pot. + DE_cin. = 0 , representando por E_cin. a energia cinética da pessoa e por E_pot. a energia potencial gravitacional do sistema pessoa + terra. Então, (atenção ao dado 'extra') usando o dado 'extra' posto no primeiro método, Dx = 2x10^-2m, temos:

(0 - mgh) + DE_cin.=0
DE_cin.= mgh = W_F = F.Dx
F = mgh/Dx = 70 x 10 x 1/(2x10^-2) = 3,5x10⁴ N
F ~= 3,5 toneladas-força

Terceiro método: Desta vez nos utilizaremos do 'teorema do impulso'; F_m.Dt = m.Dv  ou, em valores absolutos,  F_m.Dt = mv , uma vez que a velocidade final da pessoa é Zero. Estamos aqui indicando com F_m a intensidade da força média que age nos pés da pessoa desde o instante do toque no solo (onde chega com velocidade v), até parar (velocidade final Zero) e, estamos indicando com Dt o intervalo de tempo que a pessoa leva para parar a contar do instante que toca o solo com velocidade v (eis aqui a necessidade do dado 'extra').
Como sabemos, a pessoa para não quebrar a espinha dobra os joelhos e calcanhares para aumentar o Dt e diminuir a intensidade desta força, justamente de acordo com a lei do impulso.
Façamos algumas hipóteses (ou, adotemos alguns dados 'extras'):
A velocidade com que a pessoa toca o solo, como já calculamos, vale, v = 2x5^1/2 ~= 4,47 m/s, e o tempo de queda de 1 m de altura vale: y = 5.t²  ou 1 = 5.t²  ou  t = (1/5)^1/2 = 0,45 s. Adotemos como 'duração do impacto' cerca de metade desse tempo, ou seja, Dt = 0,2 s (esse é o 'extra') e calculemos a força média durante o impacto: F_m= mv/Dt = 70x4,47/0,2 = 1564,5 N (156,45 kgf). Adotando Dt = 0,1 s, a força média dobra, F_m= 312,9 kgf; para Dt = 0,05 s a força média quadruplica, F_m  = 625,8 kgf . Para encerrar, vamos para um caso real usando Dt = 0,00894s; para esse tempo compatível com a espessura da sola de sapato da pessoa, tem-se: F_m = 70x4,47/0,00894 = 3,5x10⁴ N =~ 3,5 toneladas-força, como visto nas resoluções acima. Tudo dependerá da duração do impacto!

2 - Um cabo puxa um carro montanha acima, com a força de intensidade 4 x 10³ newtons, à velocidade de 5 m/s.  O carro leva 5 minutos para atingir o topo.

a) Que trabalho é realizado pela força no cabo para conduzir o carro até o alto da montanha?
b) Que trabalho seria realizado para levar o carro até o mesmo ponto, com velocidade de 2,5 m/s?

Solução
(a) Calculemos a distância percorrida pelo carro para ir ao topo da montanha:

s = v.t = 5(m/s).300(s) = 1,5x10³ m

O trabalho realizado pela força do cabo é:

W_F= F.s = 4x10³x1,5x10³ N.m = 6,0x10⁶ J

b) O trabalho realizado independe da velocidade; uma vez que não houve variação de força (F) nem de distância (s), o trabalho é o mesmo calculado no item (a). Se a mesma força foi aplicada para puxar o carro montanha acima, com a metade da velocidade, o tempo de subida duplicou.

Consideração sobre os atritos: O atrito fluido é praticamente o mesmo nos dois casos, pois as velocidades são muito pequenas. O atrito cinético dos mancais, roldanas etc. é maior a alta velocidade do que a baixa velocidade; desse modo, enquanto o trabalho é o mesmo para mover o carro montanha acima, a quantidade de energia dissipada em calor nos mancais, roldanas etc. é maior no caso (a).

3 - Um cortador de grama usa 10 litros de gasolina para cortar 10 km de grama de um campo em 90 minutos.

a) Quantos litros, aproximadamente, serão necessários para cortar 15 km de grama à mesma velocidade?
b) Acha você que bastaria a metade do combustível para cortar os 15km no dobro do tempo?

Solução
Em primeiro lugar, evite tentar resolver o problema utilizando uma simples regra de três. Procure relacionar os conceitos de trabalho, energia e combustível gasto.

a) Cortando 15 km de grama, em vez de 10 km, sem nenhuma variação de velocidade, todas as condições são as mesmas, exceto a distância. Dessa maneira, para cortar com a mesma força motora os 15 km de grama, ela deve atuar numa distância 3/2 vezes maior que a anterior; desse modo, o motor gastará 3/2 vezes mais combustível, pois trabalhou 1,5 vez mais. São necessários 15 litros de combustível.

b) Desde que o trabalho é o mesmo, a energia necessária é a mesma, independentemente da velocidade. A energia requerida para outras coisas, tais como aquecimento do motor, mancais, o ar ao redor etc., varia com a velocidade e desenho da máquina.

Não há razão para esperar que o consumo de combustível seja metade. Pode ser maior ou menor do que antes, dependendo do desenho da máquina.

4 - Uma força de intensidade 10,0 N atua sobre um corpo de massa igual a 2,00 kg, inicialmente em repouso, sobre uma mesa horizontal sem atrito. O corpo percorre 3,00 m enquanto a força atua.

a) Que trabalho é realizado pela força?
b) Que quantidade de energia é transferida ao corpo?
c) Qual a velocidade final do corpo?

Solução
(a) O trabalho realizado pela força é: W_F = 10,0 N x 3,00 m = 30,0 joules.
(b) A energia transferida ao corpo é medida pelo trabalho realizado, isto é, 30,0 joules.
(c) Como não há forças dissipativas no processo, temos: DE_pot. + DE_cin. = W_F ou (1/2).m.v² = W_F , ou
     v = (2x30,0/2,00)^1/2 = 5,48 m/s .

5 - Esfregue vigorosamente as palmas de suas mãos. Você realiza trabalho? Que acontece à energia?

Solução
Trabalho é feito quando você atrita suas mãos juntas, uma vez que cada braço exerce uma força sobre cada mão na direção do movimento. A energia despendida pelos músculos transforma-se em aquecimento das mãos. Seria possível o fenômeno inverso?
Não. Este simples exemplo mostra a irreversibilidade dos fenômenos naturais.

6 -  Um corpo percorre uma curva com a energia cinética constante de 10 joules. Parte da curva é um arco de circunferência de raio 0,50 m.

a) Qual a intensidade da força resultante sobre o corpo enquanto percorre essa parte da curva?
b) Qual a direção dessa força?

Solução
(a) Desde que a força centrípeta é dada por F = mv²/R, e a energia cinética, E_cin, é 1/2 mv²,  temos
F = 2.E_cin/R = 2x10/0,50 = 40 newtons.
(b) Como a energia cinética é constante, a grandeza da velocidade escalar (módulo da velocidade tangencial) deve ser constante, sendo a força necessária para produzir a deflexão perpendicular ao movimento, dirigida para o centro da circunferência.

7- Que energia é transferida a uma maleta de 15 kg, enquanto
a) você a segura durante 5 minutos, esperando um ônibus?
b) você corre com ela uma distância horizontal de 10 m, em 2 s, com velocidade constante, para alcançar o ônibus?
c) você a suspende 0,80 m para subir no ônibus?
d) você a transporta 20 m, descendo uma rampa inclinada de 30^o com a horizontal?

Solução
Este problema mostra claramente que a transferência de energia é medida pelo trabalho externo, produto da força pela distância percorrida na direção em que a força atua.

a) A despeito do efeito cansativo de você segurar a maleta durante 5 minutos, a força aplicada não realiza trabalho externo e, assim, nenhuma energia é transferida à maleta.. Se você tivesse colocado a maleta sobre um balcão para esperar o ônibus, você não pensaria ter o balcão fornecido energia à maleta. Poder-se-ia pensar no trabalho interno realizado por você, às expensas do combustível gasto, sob a forma de alimento. O esforço que você faz para sustentar a maleta acarreta uma mais rápida circulação do sangue, batidas mais rápidas do coração, maior atrito fluido do sangue nos capilares etc.

b) Semelhantemente, embora mais difícil de compreender, você não realiza trabalho externo e não transfere nenhuma energia à maleta quando corre com a mesma uma distância horizontal com velocidade constante. Uma pequena quantidade de trabalho é feita por você ao empurrar a maleta através do ar; este trabalho pode ser negligenciado. Se você colocasse a maleta sobre um carrinho, que se movesse sem atrito, você não pensaria numa transferência de energia do carrinho para a maleta. Devemos lembrar que a força de atrito do chão sobre seus sapatos realiza trabalho e que as mesmas considerações de trabalho interno são válidas aqui.
c) Quando você suspende a maleta 0,80 m, você exerce uma força de F = 15 x 9,8 ~= 150 N.
Assim, W_F = 150 N x 0,80 m = 120 joules.
Desse modo, você transfere à maleta 120 joules de trabalho.
d) Quando você transporta a maleta 20 m, descendo uma rampa inclinada de 30^o com a horizontal, o peso da maleta tem uma componente de força ao longo da direção de seu movimento; neste caso, a componente realiza sobre você o trabalho W_F.sen30  = 150N x (1/2) x 20 m = 1 500 joules.

Esta energia é transferida para você e para a rampa sob a forma de calor. Uma resposta numérica a esta última pergunta diria que você transferiu à maleta uma energia de -1 500 joules.

8 - Um corpo de massa 0,10 kg cai de uma altura de 3 m sobre um monte de areia. Se o corpo penetra uma distância de 3 cm antes de parar, qual a intensidade de força (admitida constante) que a areia exerce sobre o corpo? Adote g = 10 m/s².

Solução
Tomando o nível de referência na posição B, vem:

E_cinA = 0,  E_potA = mgH,  E_cinB = E_cini,  E_potB = 0;   logo:
E_cini = E_potA = mgH .

Desde a posição B até a posição C, o corpo se movimenta, sendo freado pela força de resistência (F) oferecida pela areia que é uma força não-conservativa. O trabalho da força-peso está sendo anulado pelo trabalho de reação de areia, e vem: W'= DE_cinBC = E_cinf - E_cini, onde W' é o trabalho da força de resistência de areia, que é W' = - F.h.
Logo, 

-F.h = 0 - E_cini  , portanto,   -F.h = - mgH   e daí:   F = mgH/h = 0,10x10x3/3x10^-2   ou 
F = 100 N.

Nota: Para perceber as vantagens da solução da questão pela técnica "das energias", propomos que você resolva novamente a questão pela técnica "da dinâmica", usando do teorema do impulso (F.Dt = DQ = m.Dv), sendo F a força (suposta constante) que age no corpo durante a penetração na areia.

9 - Um elevador transporta 10 passageiros a uma altura (h) de 80 m em (Dt) 3 minutos. Cada passageiro tem massa (m) de 80 kg e o elevador tem massa (M) de 1 000 kg. Calcular a potência (Pot) da força (F) aplicada pelo cabo do elevador, em cavalo-vapor. Adote g = 10 m/s².

Solução
O peso a ser transportado será o peso dos passageiros mais o peso do elevador, isto é,

F = 10mg + Mg = 10x80x10 + 1 000x10 = 18 000 N.

O trabalho realizado pela força F para transportar os passageiros será:

W = Fh = 18 000x80 = 1 440 000 joules = 1,44x10⁶ J

tendo sido Dt = 3 min = 180 s o tempo empregado no transporte, a potência desenvolvida foi:

Pot = W/Dt = 1,44x10⁶J/1,80x10²s = 8,00x10³ W.

lembrando que 1 cv = 736 W, teríamos uma potência:

 Pot ~= 10,9 cv.

10 - Recordemos o Sistema CGS - Uma força constante de intensidade 60 dinas atua durante 12 s sobre um corpo cuja massa é 10 g. O corpo tem uma velocidade inicial de 60 cm/s na mesma direção e sentido de força. Calcular:
a) o trabalho realizado pela força;
b) a energia cinética final;
c) a potência desenvolvida.

Solução
Como a força atua na mesma direção e sentido do movimento, isso vai acarretar um aumento no valor da velocidade do corpo. De acordo com a segunda lei de Newton (teorema do impulso), temos, em valor absoluto: F.Dt = m.Dv , donde Dv = F.Dt/m  ou, Dv = 60x12/10 = 72 cm/s.

Portanto, a velocidade final do corpo será: v_f = v_i + Dv = 60 + 72= 132 cm/s.

A variação de energia cinética do corpo será:

DE_cin = (1/2).m.(v²_f - v²_i) = (1/2)x10(132² - 60²) = 69 120 ergs.

De acordo com a relação trabalho-energia, temos  W = DE_cin .
Logo, o trabalho realizado pela força foi W = 69 120 ergs.
Para calcular a energia cinética final, pomos:    W = E_cinf  -  E_cini    ou 

E_cinf = W + E_cini = 69 120 + (1/2)x10x60² = 87 120 ergs.

A potência desenvolvida tem-se:  Pot = W/Dt = 69 120/12 = 5 760 ergs/s .

11 - a) Qual a força constante que deve ser exercida pelo motor de um automóvel cuja massa é 1 500 kg a fim de aumentar sua velocidade de 4,0 km/h para 40 km/h em 8 s?
       b) Calcule a potência média do motor.      Adote g = 10 m/s².

Solução
Temos: 

v_i = 4,0 km/h = (4,0 x 10³ m)/(3,6 x 10³ s) = 1,11 m/s
v_f = 40 km/h  = (40 x 10³ m)/(3,6 x 10³ s)  = 11,1 m/s

De acordo com a segunda lei de Newton (impulso), temos: F.Dt = m.Dv . Logo,

F = m.Dv/Dt = 1 500 x 10,0/8 = 1 875 N .

De acordo com o teorema da energia cinética, o trabalho realizado pela força corresponde à variação da energia cinética, então:

W = DE_cin = E_cinf - E_cini = (1/2).m(v²_f - v²_i)
W = (1/2) x 1 500 x 122 = 91 500 joules

A potência média desenvolvida pelo motor será:

Pot = W/Dt = 91 500/8 = 11,4 x 10³ W   (cerca de 15,4 cv).

12 - Achar a velocidade de um elétron num tubo de um receptor de televisão, que atinge o vídeo com uma energia de 1,8 x 10⁴ eV. Massa do elétron igual a 9,1 x 10^-31 kg.

Solução
O elétron-volt (eV) é uma unidade de energia muito usada pelos físicos para descrever certos processos físicos e químicos que ocorrem no mundo do átomo. É definido como sendo a energia cinética adquirida por uma carga elementar (elétron) através de uma diferença de potencial de 1 volt, tendo partido do repouso. A partir da definição acima conclui-se que

1eV = 1,6 x 10^-19 J.

Se o nosso elétron chega ao vídeo com uma energia de 1,8 x 10⁴ eV, teremos

E_cin = 1,8 x 10⁴ eV = 1,8x10⁴x1,6x10^-19 J = 2,9 x 10^-15 J.

Portanto,

E_cin = (1/2).m.v² , donde: v = (2E_cin/m)^1/2
v = (2x2,9x10^-15/9,1x10^-31)^1/2 = 8,0 x 10⁷ m/s

Na solução do problema acima, estivemos admitindo que a massa do elétron é constante, o que não deixa de ser uma aproximação para velocidade dessa ordem de grandeza. Na realidade, essa aproximação é bastante razoável. Com efeito, para velocidades dessa ordem do grandeza a variação relativista de massa seria da ordem de 3,4%, o que podemos perfeitamente desprezar.

13 - Um plano inclinado tem 13 m de comprimento e sua base tem 12 m do comprimento. Um corpo de massa 0,80 kg escorrega a partir do topo com uma velocidade inicial de 1,0 m/s. Qual é a sua velocidade quando atinge o ponto mais baixo? Adote g = 10 m/s². Admita que não há atrito.

Solução
Abaixo ilustramos a situação descrita no enunciado. Desde A até B, a única força que realiza trabalho é a força gravitacional que é conservativa. Assim, a energia mecânica se conserva e temos:

E_cinA + E_potA = E_cinB + E_potB .

Tomando o nível em B como nível de referência, vem:

E_cinA = (1/2).m.v²_o = (1/2)x0,80x1 = 0,40 J
E_potA = m.g.h = m.g.(L² - d²)^1/2 = 0,80x10x5 = 40 J
E_potB = 0,  portanto  E_cinA = (1/2).m.v² = (0,80/2).v² = 0,40.v² .

Logo,

0,40 + 40 = 0,40.v² + 0
v = (40,4/0,40)^1/2 ~= 10 m/s

14 - Um corpo de massa 20 kg é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 50 m/s. Adotando-se g = 10 m/s², calcular:
a) as energias cinética e potencial depois de 3 s;
b) a altura do corpo quando sua energia cinética está reduzida a 80% de seu valor inicial.

Solução
Se o corpo é lançado de baixo para cima, ele adquire um movimento retilíneo uniformemente retardado cuja desaceleração é igual a g = 10 m/s². Sua velocidade após t = 3 s será:

v = v_o - g.t = 50 - 10x3 = 20 m/s

Sua energia cinética neste instante será:

E_cin = (1/2).m.v² = (1/2)x20x400 = 4 000 J

A energia cinética inicial do corpo era:

E_cin0 = (1/2).m.v²_o = (1/2)x20x2500 = 25 000 J

Como o corpo se movimenta sob ação única e exclusiva da força gravitacional, que é conservativa, a energia mecânica se conserva, de modo que a soma  E_cin3 + E_pot3 para t = 3s é igual a  E_cin0 + E_pot0  no instante inicial t = 0 s.

Tomando como nível de referência o ponto mais baixo, teremos:

E_pot0 = 0  e  E_cin0 = 25 000 J
E_pot3 = ?  e E_cin3 = 4 000 J

E_cin3 + E_pot3 =   E_cin0 + E_pot0  ou  4 000 + E_pot3 = 0 + 25 000 ; logo  E_pot3 = 21 000 J .

Teremos o valor 21 000 joules para a energia potencial no instante t = 3 s, após o lançamento.

Quando a energia cinética estiver reduzida a 80% de seu valor inicial, teremos:

E'_cin = 0,8 x 25 000 = 20 000 J

e, a energia potencial terá um valor E'_pot  tal que, E'_cin + E'_pot = E_cin0 + E_pot0 , logo:

E'_pot = 25 000 - 20 000 = 5 000 J

O corpo deverá se encontrar, neste instante, numa altura h tal que   m.g.h = E'_pot , então:

h = E'_pot/mg = 5000/20x10 = 25 m

15 - Um projétil de massa 0,40 kg é lançado horizontalmente a partir de uma altura de 120 m com uma velocidade de 6 m/s. Calcular sua velocidade quando o mesmo chega ao solo. Adote g = 10 m/s².

Solução
Na posição inicial a energia cinética do projétil era:

E_cin0 = (1/2).m.v²_o = (1/2)x0,40x36 = 7,2 J

Tomando como nível do referência o solo, a energia potencial inicial era:

E_pot0 = mgh = 0,40x10x120 = 480 J

Quando o projétil chegar ao solo, sua energia potencial gravitacional será E_pot = 0 e terá uma energia cinética E_cin = (1/2)mv². Como a única força a realizar o trabalho é a força gravitacional, a energia mecânica se conserva, e teremos  E_cin + E_pot = E_cin0 + E_pot0  ou (1/2)mv² + 0 = 7,2 + 480 = 487,2 J

(1/2)x0,40xv² = 487,2  donde  v = 49 m/s .

***Segue Questões B - parte 3***