Questões de Dinâmica I
(Problema do gelo no plano inclinado - Resolução)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Respostas comentadas
Ao ser apresentada uma questão, não fique “agitado” em busca de fórmulas que a resolva; prepare uma estratégia de trabalho. O cubo de gelo deve levar exatamente T = 3 segundos para deslizar os L = 1,5 metros de rampa. Se o professor selecionar um ângulo q muito grande, haverá um rápido aumento na velocidade (aceleração grande) do cubo e esse chegará ao final da rampa antes de decorridos os 3 segundos. Por outro lado, se selecionar um ângulo q muito pequeno, a velocidade do cubo aumentará muito lentamente (aceleração pequena) e ele não chegará a tempo no final da rampa. O professor deverá escolher um ângulo q que produza uma “correta aceleração”, isto é, aquela aceleração que fará com que o cubo atinja o final da rampa nos exatos 3 segundos.

Essa descrição sugere uma estratégia em duas partes:

(A) - Obter que aceleração o cubo deve ter para vencer a distância L em exatamente T segundos e
(B) - Obter o ângulo da rampa que produza essa aceleração.

Nessa questão, assim como na maioria das questões que envolvam o plano inclinado, adote eixos cartesianos ortogonais, com o eixo x paralelo á linha de maior declive do plano inclinado, com se ilustra.

Parte (A)
O cubo de gelo, a partir do repouso, deve manter uma aceleração a_x (aceleração ao longo do eixo dos x) que lhe permita vencer a distância Dx = x - x₀ = L, durante o intervalo de tempo Dt = t - t₀ = T, onde: t₀ e x₀ são o instante e a posição associados ao abandono do cubo.

Como trata-se de um MUV (a_x = const.), a expressão adequada é:

                            x = x₀ + v₀.(t-t₀) + ½ .a_x. (t-t₀)²          ou           x - x₀ = v₀.(t-t₀) + ½.a_x.(t-t₀)²

 com         x - x₀ = L,  t - t₀ = T     e     v₀ = 0      fica:     L = ½.a_x.T²   e então, 

Numericamente: a_x = 2L / T² = 2 x 1,5 m / (3 s)² = 0,33 m/s².

Essa é a aceleração correta que o cubo deve ter para deslizar os 1,5 m em 3 s.

Parte (B)
Vamos em busca do ângulo q do plano inclinado, capaz de produzir essa aceleração. Agora estamos na Dinâmica e, uma sugestão que sempre vale, é iniciar pelo diagrama do corpo livre. Aproveitamo-nos desse diagrama para ilustrar a decomposição da força peso em suas componentes segundo os eixos x e y.

N é a força normal, como tal, perpendicular à superfície de contato. P = m.g é o peso do cubo de gelo. q é o ângulo do plano com o piso horizontal e é também o ângulo entre a direção da força peso e  a do eixo y (verifique isso com sua geometria plana: teorema do perpendicularismo).

P_n = mgcosq é a componente de P segundo y (chamada componente normal); sua função física é manter o bloco contra o plano inclinado ¾ ela é também a equilibrante de N, pois não há aceleração segundo y (em nenhum momento o cubo descola do plano ou “afunda” nele!).

P_t = mgsenq  é a componente de P segundo x (chamada componente tangencial); é a componente “ativa”, responsável pela aceleração segundo o eixo x (a_x) e, para a segunda lei de Newton, representa a força resultante para o movimento do cubo.

 Com isso, podemos escrever: F_res.,x = P_t = mgsenq = m.a_x  donde: a_x = g.senq

Concluímos nossa parte (B) dizendo: o ângulo q do plano inclinado que garante que o cubo terá aceleração a_x é tal que    sen q = a_x / g   ou   q = sen^-1(a_x / g).

 Trabalhando com os resultados das partes (A) e (B), resolvendo em q, temos:

O professor tem que inclinar a rampa com muita suavidade para obter o resultado almejado.