Colisão de bolas superpostas
(Choques perfeitamente elásticos)
(SOLUÇÃO)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br 

Enunciado
As bolas (1) e (2), superpostas, iniciam suas quedas livres a partir da altura h acima do solo, como se ilustra. Considere todas as colisões como perfeitamente elásticas.  As massas das bolas são M₁ = m e M₂ = 2m. O raio da bola (2) é r. Calcular  a altura que a bola (1) alcança após os choques.

Solução
Inicialmente calculemos a velocidade com que a bola (2) atinge o solo. Usaremos o princípio da conservação da energia mecânica, assumindo energia potencial Zero ao nível do solo:

mgh + 0 = 0 + (1/2)mv_o² , donde v_o = (2gh)^1/2  .....(Eq.0)

Sendo o choque perfeitamente elástico e, em virtude da enorme massa da Terra (solo), a velocidade da bola (2) após o choque, v'₂, terá o mesmo valor que v_o, mesma direção e sentido contrário (inversão da velocidade); portanto: v'₂ = - v_o .

Nota: Essa propriedade acima indicada (inversão da velocidade) deve ser demonstrada; faremos isso ao final da solução dessa questão proposta.

A seguir, equacionemos a colisão entre as bolas (1) e (2), notando que a velocidade com que a bola (1) colide com a bola (2) vale também v_o ,a mesma calculada para a bola (2) ao atingir o solo, uma vez que percorreram (praticamente) a mesma distância em queda livre. Eis a esquematização (antes) e (depois) da colisão:

Comecemos aplicando a conservação da quantidade de movimento, indicando: M₁ = m, M₂ = 2m, v_o e v'₂ velocidades das bolas antes do choque e v'₁ e v"₂ as velocidades após o choque:

M₂(-v'₂) + M₁.v_o = M₂.v"₂ - M₁.v'₁    ou,

2m(-v'₂) + m.v_o = 2m.v"₂ - m.v'₁ 

-2mv_o + mv_o = 2m.v"₂ - m.v'₁ 

-m.v_o = m(2v"₂ - v'₁)

-v_o = 2v"₂ - v'₁ .... (Eq.1)

A seguir, por ser a colisão perfeitamente elástica, usemos a conservação da energia cinética:

(1/2)M₂v_o² + (1/2)M₁v_o² = (1/2)M₂(v"₂)² + (1/2)M₁(v'₁)² 

(1/2)2mv_o² + (1/2)mv_o² = (1/2)2m(v"₂)² + (1/2)m(v'₁)² 

2mv_o² + mv_o² = 2m(v"₂)² + m(v'₁)² 

3mv_o²  = m[2(v"₂)² + (v'₁)²]

3v_o²  = 2(v"₂)² + (v'₁)²  ..... (Eq.2)

Da (Eq.1), isolando v"₂ vem:

v"₂ = (-v_o + v'₁)/2

Levando esse resultado na (Eq.2), tem-se:

3v_o²  = 2[(-v_o+ v'₁)/2]² + (v'₁)²  

A seguir, algumas passagens algébricas com o intuito de isolar v'₁ que é nossa incógnita:

6v_o²  = [(-v_o+ v'₁)]² + 2(v'₁)²  

6v_o²  = v_o² - 2.v_o.v'₁+ (v'₁)² + 2(v'₁)² 

6v_o²  = v_o² - 2.v_o.v'₁+ 3(v'₁)² 

3(v'₁)² - 2.v_o.v'₁ - 5v_o² = 0

Resolvendo a equação de segundo grau em v'₁ , tem-se:

primeira solução: v'₁ = (5/3).v_o e segunda solução: v'₁ = - v_o 

A segunda solução pode ser abandonada por referir-se á velocidade inicial da bola (1); interessa a primeira solução: v'₁ = (5/3).v_o .

Com essa velocidade inicial, queremos saber que altura máxima a bola (1) alcança. Trata-se agora de um 'lançamento vertical para cima, no campo da gravidade, com velocidade inicial v'₁", questão bastante conhecida da cinemática. Fazemos, por Torricelli:

V_f² = V_i² - 2.g.H
0 = (v'₁)² - 2gH
[(5/3)v_o]² = 2gH 
H = [(5/3)v_o]²/2g

Lembrando que (Eq.0)   v_o = (2gh)^1/2 , levamos esse resultado na expressão acima; tem-se:

H = [(5/3)(2gh)^1/2]² / 2g = (25/9)(2gh)/2g = (25/9)h

Porém, essa é a altura que adquire, 'acima da bola (2)' e, como a bola (2) tem raio r, a altura total contada a partir do solo será:

H_total = H + 2r = (25/9)h + 2r

A altura acima do solo é cerca de 3 vezes maior que a altura inicial da queda!

Nota: Esse último cálculo, obtenção da altura H, poderia ter sido feito usando da conservação da energia mecânica. Com plano de referência Zero no solo e bola lançada para cima a partir da altura 2r (de sobre a bola 2) teríamos:

mg(2r) + (1/2)m(v'₁)² = mgH + 0
2rg + (1/2)(5v_o/3)² = gH  e substituindo v_o² por 2gh
2rg + (1/2)(25/9)(2gh) = gH

H = (25/9)h + 2r

******************************

cqd.