Preliminares
Sistema de referência, abreviadamente referencial, é toda estrutura geométrica
concebida para determinar bi-univocamente um ponto qualquer no espaço.
Coordenadas
geográficas
À superfície do Geóide é quadriculada mediante linhas meridianas
e linhas paralelas. Plano meridiano contém o eixo
Norte—Sul da Terra; sua intersecção com a superfície do geóide é uma
meridiana. Plano paralelo (em particular, o plano do equador
terrestre) é normal ao eixo Norte—Sul; sua intersecção com a superfície
do geóide é uma paralela. Em cada ponto P concebe-se ainda uma
reta pelo centro O da Terra; ela intercepta a esfera celeste no Zênite (em
cima) e no Nadir (em baixo).
Por
um ponto qualquer P na Terra passam um meridiano, um paralelo e um
eixo radial OP. O ângulo diedro l
entre o meridiano de Greenwich (marco zero dos meridianos) e o meridiano
por P é a longitude de P. O ângulo j
entre o plano do equador (marco zero dos paralelos) e o raio OP é a
latitude geocêntrica de P. À partir da superfície do geóide
mede-se a altitude h de P. Longitude l
, latitude j
e altitude h determinam a posição do ponto P na Terra (e
reciprocamente); são elas as coordenadas geográficas do ponto P.
À correspondência biunívoca entre o ponto e suas coordenadas
representa-se na forma P(l,
j,
h). Por exemplo: São Paulo (l
= 47o W, j
= 24o S, h = 700 m).
Coordenadas
cartesianas
São as mais freqüentemente adotadas em Geometria Analítica e
em Física. Referencial cartesiano compõe-se de três eixos Ox, Oy e Oz
perpendiculares dois a dois. Pode-se representar tal referencial por
(Oxyz). Seus vetores de base (versores) são respectivamente i, j, k.
No
plano horizontal xOy dispensa-se o eixo Oz, mas pode ser útil conservar o
vetor unitário k (por exemplo, para indicar rotações vetoriais).
Na parte 2 desse trabalho veremos as transformações entre
referenciais cartesianos no plano, o caso do vetor de intensidade
constante, as Fórmulas de Poisson e a conceituação das derivadas
absolutas e relativas.
Outros
referenciais
No plano, usam-se também coordenadas polares (j,
r) (ilustramos a seguir). No espaço
tri-dimensional, podem ser convenientes coordenadas esféricas (j,
q, r)
ou coordenadas cilíndricas (j, q, z).
aplicam-se também outros sistemas de coordenadas. é assunto desenvolvido
em tratado de geometria Analítica.
Classes
de Referenciais
Nota histórica
Acreditavam os antigos que a Terra fosse estacionária no centro do
universo. Presunção compreensível, "pois é a Terra o habitat do
ser humano, criação suprema". Admitindo este modelo geocêntrico do
universo, Cláudio Ptolomeu (100 — 170 aprox.) elaborou sua teoria matemática.
Embora artificiosa, ela dominou o pensamento dos astrônomos durante
um-e-meio milênios, até o inicio da idade moderna.
A
favor de considerável simplificação, Nicolau Copérnico (1473 — 1543),
propôs, em 1507, o modelo heliocêntrico do sistema planetário: os
planetas descrevem órbitas circulares concêntricas no Sol, o que ainda
requer correção. Foi Tycho Brahe (1546 — 1601) quem, mediante medições
minuciosas e precisas, coletou os dados que facultaram a Johannes Kepler
(1571 — 1630) enunciar as três leis do movimento dos planetas em torno
do Sol (órbitas, áreas, períodos). Estava assim concebida a Cinemática
do Sistema Planetário.
Galileu
Galilei (1564 — 1642) investigou fenômenos mecânicos junto à superfície
da Terra. Em seguida, Isaac Newton (1642 — 1727) sintetizou conhecimentos
parciais de seus precursores Kepler e Galileu, enunciando as três leis
básicas da Dinâmica. Assim construiu a base racional que lhe permitiu
estabelecer a Lei de Atração Universal. Desta, decorrem as Leis de
Kepler como corolários. Nasceu a Mecânica Celeste.
Na
evolução destas idéias e de sua formulação matemática desempenha função
primordial o sistema de referência adotado. Ptolomeu adotou
referencial fixo na Terra, hoje denominado “referencial de Foucault”.
Copérnico, Tycho Brahe e Kepler adotaram referencial com origem no Sol e
eixos apontando para estrelas fixas: é “referencial de Copérnico”.
Newton adotou este mesmo referencial de Copérnico, que ele supôs fixo no
“espaço absoluto”.
A
evolução acima descrita sumariamente foi realização gigantesca,
envolvendo não só aspectos racionais, mas também aspectos psicológicos
e religiosos.
Quanto ao aspecto racional, argumentemos com um comentário: imagine-se uma
praça ampla e desnuda (por exemplo, um campo de pouso).
No centro da praça e com referencial fixo nela, está o guarda de transito
(A). Um caminhão de plataforma leva uma cadeira giratória na qual está
sentado o engenheiro (R); um motor faz a cadeira girar lentamente. O caminhão,
e outros veículos na praça, dão voltas em torno de (A), circulares ou não.
(R) gira uniformemente em sua cadeira, à qual esta ligado seu referencial.
Ele deve descrever o movimento de outros veículos; para cada um deles, em
instantes sucessivos, deverá medir azimute e raio-vetor, por
exemplo. O mesmo fará (A).
Em
comparação com a descrição dada por (A), a descrição fornecida por
(R) é muito mais complicada, pois (R) gira em relação ao pavimento, ao
passo que (A) está fixo nele. Identifica-se (R) com Ptolomeu, (A) com Copérnico,
Kepler e Newton.
Referenciais
inerciais e acelerados
Modernamente, é básico o Referencial galático: seus eixos são
fixos em galáxias. Tal referencial é que corresponde melhor ao “espaço
absoluto” vislumbrado por Newton.
Referencial
galileano executa translação reta
e uniforme em relação a referencial galático. Em relação a referencial
galático, sabe-se que o Sol executa movimento reto e uniforme, levando
consigo o sistema planetário todo. Portanto, referencial de Copérnico é
referencial galileano.
Referenciais
galáticos e galileanos são os únicos “referenciais inerciais”. Só
em relação a eles valem a Lei da Inércia e a Lei de Ação e Reação.
Em relação a eles manifestam-se exclusivamente “forças de interação”.
Qualquer
outro referencial é acelerado. Em relação a referencial inercial (galático
ou galileano), “referencial acelerado” executa movimento qualquer que não
translação reta e uniforme. A Lei da Inércia não se aplica. Alem das
forças de interação manifestam-se também forças de inércia, que não
seguem a Lei de Ação e reação.
Por
ser fixo na Terra, referencial de Foucault acompanha os movimentos desta em
relação a referencial de Copérnico: translação elíptica em torno do
Sol, composta com rotação uniforme em torno do eixo Sul—Norte. O período
deste movimento é chamado “dia sideral” e tem duração de 86 164 s.
Referencial de Foucault é “referencial acelerado”, pois sua translação
não é reta nem uniforme (com efeitos exíguos), e é combinada com rotação
(com efeitos consideráveis). Todavia, em condições ordinárias (fenômenos
de pequena duração em confronto com o dia, velocidades baixas etc.) a Lei
da Inércia vale muito aproximadamente, forças de inércia podem
ser desprezadas.
Ao
iniciar o estudo de Física, é em relação a referencial de Foucault que
se observam os movimentos ensaiados ('air-track', queda livre, balística
etc.). Referencial fixo no laboratório da escola, no pátio da escola, no
campo de futebol, na rodovia, é referencial de Foucault. Incoerências não
se percebem, pois eventuais medições são grosseiras, as velocidades são
baixas, os percursos são pequenos face as dimensões do globo terrestre,
as durações são pequenas face ao dia. Isso deve
ser despertado no aluno.
Todavia,
há fatos que revelam a rotação da Terra; mencionamos:
a)
Pêndulo de Foucault: em relação ao edifício onde se monta o pêndulo,
o plano de oscilação gira em sentido oposto ao da rotação da Terra.
b)
Queda livre de grande altitude: pedra abandonada no alto da Torre Eiffel
(320 m) desvia-se da vertical para Este, atingindo o solo a 8 cm de
distancia da prumada.
c)
Tiro de artilharia de longo alcance, de Sul para Norte: o projétil
desvia-se para Oeste no hemisfério Sul, para Este no hemisfério Norte.
Citamos
ainda: desvio de correntes marítimas e atmosféricas, formação de
ciclones (furacões), desgaste desigual de trilhos de ferrovia, erosão
assimétrica nas margens de rios (Lei de Baer).
Veículos
terrestres, aquáticos e aéreos podem realizar acelerações e decelerações
elevadas, e deflexões rápidas. Em decorrência, podem surgir esforços
consideráveis na estrutura, inclusive em peças do motor (por exemplo,
efeito giroscópico). Surgem também efeitos no fluxo de combustível e
comburente.
Nota:
Os exemplos acima citados estão propostos e resolvidos nas partes finais
desse trabalho.
O
exposto é motivação para se estudar mudança de
referencial inercial para referencial acelerado, ou vice-versa. Na
ordem natural estudaremos mudança de referencial primeiro em Cinemática,
depois em Dinâmica.
Esse
trabalho - Mudança de Referencial
- contém as seguintes partes:
Parte
01 - Referenciais, suas mudanças e conseqüências na Física
Parte
02 - Coordenadas cartesianas - MCU
Parte
03 - Fórmulas de Poisson - Derivadas
Parte
04 - Aspectos cinemáticos - Coriolis
Parte
05 - Exemplos na Cinemática
Parte
06 - Exemplos - Conceitos fundamentais na Dinâmica
Parte
07 - Pêndulo cônico - Plataforma de manobra - Pêndulo de
Foucault
Parte
08 - Ferrovia - Furacão - Giroscópio
Parte
09 - Desvio da vertical - Torre Eiffel - Espaçonave(1)
Parte
10 - Espaçonave(2) - Experimento de Eötvös -
Imponderabilidade no equador
Parte
11 - Força de Coriolis em Meteorologia e Tectônica
