Transformadas
no plano
No mesmo plano, consideremos dois referenciais (Oxy) - (versores i, j)
e (O'x'y') - (versores i', j'). Seja j
o ângulo entre i e i' , conforme ilustramos:
Da
figura obtém-se imediatamente as equações de transformação:
i'
= cos j.i
+ sen j.j
j' = -sen j.i
+ cos j.j
Se
for adotado vetor unitário (versor) normal ao plano, é ele evidentemente k'
= k.
Se o ângulo j
variar com o tempo, o referencial (O'x'y') gira em relação ao referencial
(Oxy) com velocidade angular w
= dj\dt
, w = w.k
= w.k'
(vale a Regra da Mão Direita, RMD).
Os
vetores i' e j' giram:
Vetor
de intensidade constante
É o caso, por exemplo, do raio-vetor r = CP de um
ponto P que se move mantendo-se eqüidistante de um ponto fixo C:
r
= CP = P - C com |r| = CP = constante
A
direção do vetor r pode variar; então, P
percorre trajetória qualquer em superfície esférica de centro C e raio |r|
= CP. Sem prejuízo na validade geral da
conclusão, examinemos um caso particular simples.
Movimento
circular (caso
particular)
Um ponto P descreve circunferência
de centro C e raio r; a velocidade angular no instante t
é w
= dj/dt
, w
= w.k.
Os vetores w
e v seguem a regra da Mão Direita (RMD).
|
Nas figuras acima (perspectiva
e planta) ilustramos o movimento circular no plano xOy.
Observem-se, em P, os vetores unitários t
(tangente) e n (normal). O raio-vetor r
= CP = P - C pode ser representado na forma r = -r.n,
com r = |r|. No detalhe,
chamamos a atenção, que o diagrama vetorial só é correto na imaginação,
no limite com P' ==> P. A velocidade v tem
a direção de t : v = v.t , com sentido
igual (v > 0) ou oposto (v < 0). |
O
ponto P tem velocidade escalar linear v = w.r
, velocidade vetorial v = w
^ r w
^ r w
^ r (^ indica produto
vetorial). Recordemos: na figura do detalhe acima, arco diferencial
(PP')arco = CP.dj
e deslocamento (PP')corda= (PP')arco.t , logo:
(PP')corda = CP.dj.t
ou dr = r.dj.t
.
Velocidade:
v = dr/dt, e como dr = r.dj.t
vem v = r.(dj/dt).t
= r.w.t
.
Sendo
t = n^k , vem v = r.w.n^k
= (r.n)^(w.k)
; invertendo a ordem dos fatores: v = (w.k)^(-r.n)
[cuidado com as inversões em produtos vetoriais!].
Assim,
concluímos o estudo vetorial da velocidade: v = w^r
ou dr/dt = w^r
.
Nota: Esta propriedade estende-se a
toda função vetorial f(t) de módulo constante. Tal
vetor f(t) só pode variar mudando de direção: ele
gira, logo possui velocidade angular w
; sua derivada temporal é df/dt
= w^f.
Retornemos
ao movimento circular de P e determinemos sua aceleração total:
v
= w^r
==> a = ==>
a = ==> a = dv/dt = d(w^r)/dt
ou
atotal = (dw/dt)^r
+ w^(dr/dt)
A
velocidade de rotação do vetor CP = r é w
= w.k
com k constante. A correspondente aceleração
angular é escalarmente g
= dw/dt
, é vetorialmente g
= dw/dt
:
g
= d(w.k)/dt
= (dw/dt).k
ou g
= g.k
temos pois, atotal = g^r
+ w^v
ou ainda atotal
= g^r
+ w^(w^r)
Examinemos
cada termo:
(primeiro
termo) ==> g^r
= g.k^(-r.n)
= g.r.t
= at
Esta
é a aceleração tangencial de P; ela concorda com t se
g
> 0, opõe-se a t se g
< 0. Em movimento uniforme
ela é nula (g
= 0).
(segundo
termo) ==> w^(w^r)
= (wxr).w
- (wxw).r
No
caso particular presente é w _|_ r , logo w
x r = 0 ; resta:
(wxw).r
= -w2.r
= w2.r.n
= an ou an = (v2/r).n
Esta
é a aceleração normal (centrípeta) de P; ela é sempre concorde com o
versor normal n , é sempre dirigida para o centro C da trajetória
de P.
No geral, em xOy, teremos:
atotal
= atangencial + anormal
Caso
particular: O vetor v(t) tem módulo constante se o movimento
for uniforme. Neste caso é:
dv/dt
= w^v
, logo, atotal = w^(w^r)
, portanto atotal = acentrípeta
= w2.r.n
A
aceleração total resume-se na aceleração normal (centrípeta) an
.
Coerência: w
= constante ==> g
= 0 ==> atangencial = 0 ==> atotal
= anormal .
Esse
trabalho - Mudança de Referencial
- contém as seguintes partes:
Parte
01 - Referenciais, suas mudanças e conseqüências na Física
Parte
02 - Coordenadas cartesianas - MCU
Parte
03 - Fórmulas de Poisson - Derivadas
Parte
04 - Aspectos cinemáticos - Coriolis
Parte
05 - Exemplos na Cinemática
Parte
06 - Exemplos - Conceitos fundamentais na Dinâmica
Parte
07 - Pêndulo cônico - Plataforma de manobra - Pêndulo de
Foucault
Parte
08 - Ferrovia - Furacão - Giroscópio
Parte
09 - Desvio da vertical - Torre Eiffel - Espaçonave(1)
Parte
10 - Espaçonave(2) - Experimento de Eötvös -
Imponderabilidade no equador
Parte
11 - Força de Coriolis em Meteorologia e Tectônica
