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Mudança
de Referencial
(Parte 03 - Fórmulas de
Poisson - Derivadas)
Prof.
Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br
Fórmulas
de Poisson
Consideremos dois referenciais
cartesianos |A (AXYZ) e |R (Rxyz). Por exemplo, |A
(referencial do observador A) fixo em galáxias e |R
(referencial do observador R) fixo em uma espaçonave. Em relação ao
referencial |A , dito absoluto, o
referencial |R , dito relativo,
executa movimento qualquer, inclusive rotação com velocidade w(t).
O referencial |R tem terno de base (i, j, k) que para o observador R é fixo, invariável. Para o observador A é invariável o terno de base (I, J, K) do referencial absoluto |A , ao passo que o terno de base (i, j, k) de |R gira com velocidade de rotação w(t). Cada observador identifica-se com seu próprio referencial.
Aplicando-se a conclusão do parágrafo precedente obtêm-se as derivadas dos versores i, j, k tais como são observados por A, em |A , que os vê girando. Resultam as Fórmulas de Poisson:
Derivadas
Absolutas e Relativas
Seja f(t) uma função vetorial
do tempo, contínua e derivável. A mesma pode ser expressa tanto em |A
como em |R , como se indica a seguir:
Em |A : f(t) = FX.i + FY.j + FZ.k , onde FX(t), FY(t) e FZ(t) são as coordenadas do vetor f(t) no referencial |A .
Em |R : f(t) = Fx.i + Fy.j + Fz.k , onde Fx(t), Fy(t) e Fz(t) são as coordenadas do vetor f(t) no referencial |R .
Para
a transformação |R
==> |A exprime-se cada um dos versores i, j, k
em função de suas direções (cossenos diretores) e dos versores I, J, K;
e vice-versa para a transformação de |A ==> |R
. O leitor pode identificar-se ora com o observador A em |A
, ora com o observador R em |R , conforme convenha.
Com f(t) expressa em |A , obtém-se imediatamente a
derivada dita absoluta:
Com f(t) expressa em |R , obtém-se a mesma derivada absoluta desde que se leve em conta a rotação do terno de base (i, j, k):
Agrupando-se os termos convenientemente:
E aplicando-se as Fórmulas de Poisson, veem:
No
segundo membro, os três primeiros termos formam a derivada relativa de
f(t), a derivada que seria obtida pelo observador R, derivada só nas
coordenadas.
Derivada relativa:
Os três termos restantes exprimem o efeito da rotação w do terno de base (i, j, k):
A conclusão é importante; observe:
Adotaremos a seguinte notação:
O símbolo f* lê-se 'f-vetor-estrela' (na notação de Leybnitz seria f-vetor-ponto); seja qual for o referencial, ele só representa derivada só nas coordenadas de f, isto é, sem considerar eventual rotação do terno de base. Daí:
Repetimos: A derivada absoluta equivale à derivada relativa acrescida do termo de rotação.
Para
a função f(t) surgem duas diferenciais, a saber:
Diferencial em |R ,
diferencial relativa:
Diferencial em |A , diferencial absoluta:
Esse trabalho - Mudança de Referencial - contém as seguintes partes:
Parte 01 - Referenciais, suas mudanças e conseqüências na Física
Parte 02 - Coordenadas cartesianas - MCU
Parte 03 - Fórmulas de Poisson - Derivadas
Parte 04 - Aspectos cinemáticos - Coriolis
Parte 05 - Exemplos na Cinemática
Parte 06 - Exemplos - Conceitos fundamentais na Dinâmica
Parte 07 - Pêndulo cônico - Plataforma de manobra - Pêndulo de Foucault
Parte 08 - Ferrovia - Furacão - Giroscópio
Parte 09 - Desvio da vertical - Torre Eiffel - Espaçonave(1)
Parte 10 - Espaçonave(2) - Experimento de Eötvös - Imponderabilidade no equador
Parte 11 - Força de Coriolis em Meteorologia e Tectônica
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