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Mudança
de Referencial
(Parte 04 - Aspectos
Cinemáticos - Coriolis)
Prof.
Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br
Referenciais
absoluto e relativo
Sejam dois referenciais cartesianos;
para distingui-los, um deles é dito absoluto e o outro é dito relativo.
O referencial absoluto, onde se fixa o observador A é |A (AXYZ),
seu terno de base é (I, J, K). O referencial relativo, onde se fixa o
observador R é |R (Rxyz); seu terno de base é (i, j, k).
Ilustramos isso na figura 01.
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Na ilustração acima simplificou-se a figura admitindo que os pontos A, R e P estejam no plano dela e que AZ || Rz. Todavia, o desenvolvimento do assunto no texto é geral, sem particularização. Em relação a |A, o movimento de |R compreende também rotação w com direção qualquer.
Em relação a |A, o referencial |R executa movimento qualquer chamado movimento de arrastamento. Este pode ser translação reta ou curva, uniforme ou variada, composta com rotação de eixo fixo ou móvel, uniforme ou variada. A rotação é w, a aceleração angular é g = dw/dt.
Em Cinemática, o referencial absoluto |A pode ser qualquer. Em Dinâmica, subentende-se que |A seja referencial inercial, isto é, ou galático ou galileano; em particular, com origem no Sol, referencial de Copérnico. O referencial relativo |R pode ser qualquer, inercial ou acelerado, conforme convenha; por exemplo, referencial de Foucault, ou referencial fixo no 'cockpit' de um avião de acrobacias.
Um ponto móvel qualquer P tem, em cada data t (instante t), coordenadas (x, y, z) em |R , coordenadas (X, Y, Z) em |A . O movimento de P é dito relativo se considerado em relação a |R , é dito absoluto se considerado em relação a |A .
O
movimento de um ponto se conhece quando se têm, em função do tempo, a posição,
a velocidade e a aceleração. O problema que se propõe é:
Conhecidos o movimento de P em relação a |R
, e o movimento de |R em relação a |A
, como é o movimento de P em relação a |A ?
Composição
de vetores-posições
Com a notação da figura 01, temos:
Notemos que os vetores S e R são conhecidos em |A , ao passo que o vetor r é conhecido em |R . É natural exprimir cada vetor no referencial em que ele é concebido. Todavia, sua expressão pode ser transformada para qualquer outro referencial. Para se efetuar a soma, todos os vetores devem ser expressos em um mesmo referencial, por exemplo, |A .
Composição
de velocidades
Em relação a |A ,
|R gira com rotação w
e aceleração angular g
= dw/dt.
Aplicando-se as Fórmulas de Poisson:
(x, y, z), como seria obtida pelo observador fixo
em R, que é ligado ao terno de base (i, j, k); é a velocidade
relativa de P:
Aplicando-se as Fórmulas de Poisson obtém-se a derivada absoluta de r , igual à aquela que seria obtida pelo observador em |A :
O termo w /\ r exprime o efeito de rotação do vetor r = P - R ao ser arrastado por |R .Expresso em |A , cujo terno de base é invariável para o observador A, tem-se:
R = X.i + Y.j + Z.k
Obtém-se de imediato a velocidade absoluta de P, tal como é expressa pelo observador A:
Analogamente,
S* = dS/dt é a velocidade absoluta da origem R do
referencial |R .
Obtenhamos a derivada absoluta da igualdade ...(1)...:
É preciso cautela com a derivada dr/dt. Habitualmente, o vetor-posição r(t) é expresso em |R , e então sua derivada absoluta se compõe de dois termos: a derivada relativa r* = dr/dt (só nas coordenadas de r) e o termo de rotação w /\ r conforme acima [...(2)...].
Para a interpretação da equação acima é iluminante o conceito de ponto coincidente. É o ponto Pc fixo em |R e que coincide com o ponto P no instante considerado. É a pegada (vestígio, sinal) de P em |R , no instante. O ponto Pc fixo em |R acompanha o movimento de |R em relação a |A , logo tem a velocidade absoluta e a aceleração absoluta que |R lhe impõem. Mas Pc varia de instante a instante: Pc em data t é sucedido por outro P'c em data t' posterior. A sucessão dos pontos coincidentes em |R é a trajetória de P em |R , trajetória relativa de P, pois em cada instante P móvel em |R imprime seu sinal Pc fixo em |R . Cuidado: seria incorreto afirmar que o ponto coincidente 'se move' de Pc(t) para P'c(t'), pois o ponto coincidente não se move em |R , ele é ligado a |R ; ele é arrastado por |R em seu movimento em relação a |A . A sucessão das pegadas Pc é a trajetória relativa de P.
A velocidade absoluta do ponto coincidente Pc no instante é a chamada velocidade de arrastamento do móvel P no instante; é ela dada pela eq.(7) com vrel. = 0:
Levando a eq.(08) na eq.(07) teremos a 'lei da composição das velocidades' em sua forma resumida.
Lei das velocidades: vabs. = vrel. + varr. ...(9)...
No caso particular w = 0 (isto é, |R em translação), esta lei já fora enunciada por Galileu (1564 - 1642).
Composição
de acelerações
Calculemos a derivada absoluta da
igualdade ...(6)...:
A rotação w de |R gera o termo w /\ r* que comparece duas vezes: em (b), devido à rotação da velocidade relativa r* (leia: r-vetor-ponto); em (d), devido à rotação do componente w /\ r na velocidade de arrastamento.
A igualdade ...(10)... assume a forma explícita:
Isto é, somam-se a aceleração absoluta da origem R, a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta absolutas do ponto coincidente Pc. Note-se que no movimento relativo do móvel P também pode haver acelerações tangenciais e normais, outras que as precedentes; elas estão contidas em r** (leia-se: r-vetor-2 pontos)
O termo 2.w /\ r* = 2.w /\ vrel. = ac ...(13)... é chamado aceleração complementar ou aceleração de Coriolis. A lei da composição de acelerações, Lei das Acelerações, assume a forma compacta:
aabs. = arel. + aarr. + ac. ...(14)...
É este o Teorema de Coriolis (1792 - 1843). Ele explica, por exemplo, o efeito giroscópico, a formação de ciclones e a Lei de Baer (1792 - 1876), da erosão assimétrica nas margens dos rios.
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Exemplos na parte 05: Plataforma giratória para manobras em terminal ferroviário e Movimento circular concêntrico em mesa circular.
Esse trabalho - Mudança de Referencial - contém as seguintes partes:
Parte 01 - Referenciais, suas mudanças e conseqüências na Física
Parte 02 - Coordenadas cartesianas - MCU
Parte 03 - Fórmulas de Poisson - Derivadas
Parte 04 - Aspectos cinemáticos - Coriolis
Parte 05 - Exemplos na Cinemática
Parte 06 - Exemplos - Conceitos fundamentais na Dinâmica
Parte 07 - Pêndulo cônico - Plataforma de manobra - Pêndulo de Foucault
Parte 08 - Ferrovia - Furacão - Giroscópio
Parte 09 - Desvio da vertical - Torre Eiffel - Espaçonave(1)
Parte 10 - Espaçonave(2) - Experimento de Eötvös - Imponderabilidade no equador
Parte 11 - Força de Coriolis em Meteorologia e Tectônica
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