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Mudança
de Referencial
(Parte 04 - Aspectos
Cinemáticos - Coriolis)
Prof.
Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br
Referenciais
absoluto e relativo
Sejam dois referenciais cartesianos;
para distingui-los, um deles é dito absoluto e o outro é dito relativo.
O referencial absoluto, onde se fixa o observador A é |A (AXYZ),
seu terno de base é (I, J, K). O referencial relativo, onde se fixa o
observador R é |R (Rxyz); seu terno de base é (i, j, k).
Ilustramos isso na figura 01.
Na
ilustração acima simplificou-se a figura admitindo que os pontos A, R e P
estejam no plano dela e que AZ || Rz. Todavia, o desenvolvimento do assunto no
texto é geral, sem particularização. Em relação a |A, o
movimento de |R compreende também rotação w
com direção qualquer.
Em
relação a |A, o referencial
|R executa movimento qualquer chamado movimento
de arrastamento. Este pode ser translação reta ou curva, uniforme ou
variada, composta com rotação de eixo fixo ou móvel, uniforme ou variada. A
rotação é w,
a aceleração angular é g =
dw/dt.
Em
Cinemática, o referencial absoluto |A
pode ser qualquer. Em Dinâmica, subentende-se que |A seja
referencial inercial, isto é, ou galático ou galileano; em particular, com
origem no Sol, referencial de Copérnico. O referencial relativo |R
pode ser qualquer, inercial ou acelerado, conforme convenha; por exemplo,
referencial de Foucault, ou referencial fixo no 'cockpit' de um avião de
acrobacias.
Um
ponto móvel qualquer P tem, em cada data t (instante t), coordenadas
(x, y, z) em |R , coordenadas (X, Y, Z) em |A
. O movimento de P é dito relativo se
considerado em relação a |R , é dito absoluto
se considerado em relação a |A .
O
movimento de um ponto se conhece quando se têm, em função do tempo, a posição,
a velocidade e a aceleração. O problema que se propõe é:
Conhecidos o movimento de P em relação a |R
, e o movimento de |R em relação a |A
, como é o movimento de P em relação a |A ?
Composição
de vetores-posições
Com a notação da figura 01, temos:
Notemos
que os vetores S e R são conhecidos em |A ,
ao passo que o vetor r é conhecido em |R . É
natural exprimir cada vetor no referencial em que ele é concebido. Todavia,
sua expressão pode ser transformada para qualquer outro referencial. Para se
efetuar a soma, todos os vetores devem ser expressos em um mesmo referencial,
por exemplo, |A .
Composição
de velocidades
Em relação a |A ,
|R gira com rotação w
e aceleração angular g
= dw/dt.
Aplicando-se as Fórmulas de Poisson:
(x, y, z), como seria obtida pelo observador fixo
em R, que é ligado ao terno de base (i, j, k); é a velocidade
relativa de P:
Aplicando-se
as Fórmulas de Poisson obtém-se a derivada absoluta de r , igual à
aquela que seria obtida pelo observador em |A :
O
termo w
/\ r exprime o efeito de rotação do vetor r = P - R ao ser
arrastado por |R .Expresso em |A , cujo terno de
base é invariável para o observador A, tem-se:
R
= X.i + Y.j + Z.k
Obtém-se
de imediato a velocidade absoluta de P, tal como
é expressa pelo observador A:
Analogamente,
S* = dS/dt é a velocidade absoluta da origem R do
referencial |R .
Obtenhamos a derivada absoluta da igualdade ...(1)...:
É
preciso cautela com a derivada dr/dt. Habitualmente, o vetor-posição r(t)
é expresso em |R , e então sua derivada absoluta se compõe de
dois termos: a derivada relativa r* = dr/dt
(só nas coordenadas de r) e o termo de rotação w
/\ r conforme acima [...(2)...].
Para
a interpretação da equação acima é iluminante o conceito de ponto
coincidente. É o ponto Pc fixo em |R
e que coincide com o ponto P no instante considerado. É a pegada (vestígio,
sinal) de P em |R , no
instante. O ponto Pc fixo em |R
acompanha o movimento de |R
em relação a |A , logo tem
a velocidade absoluta e a aceleração absoluta que |R
lhe impõem. Mas Pc varia de instante a instante: Pc em
data t é sucedido por outro P'c em data t' posterior. A sucessão
dos pontos coincidentes em |R
é a trajetória de P em |R ,
trajetória relativa de P, pois em cada instante P móvel em |R
imprime seu sinal Pc fixo em |R
. Cuidado: seria incorreto afirmar que o ponto coincidente 'se move' de Pc(t)
para P'c(t'), pois o ponto coincidente não se move em |R
, ele é ligado a |R ; ele é
arrastado por |R em seu
movimento em relação a |A .
A sucessão das pegadas Pc é a trajetória relativa de P.
A
velocidade absoluta do ponto coincidente Pc no instante é a
chamada velocidade de arrastamento do móvel P no instante; é ela dada
pela eq.(7) com vrel. = 0:
Levando
a eq.(08) na eq.(07) teremos a 'lei da composição das velocidades' em sua
forma resumida.
Lei
das velocidades: vabs. = vrel. + varr.
...(9)...
No
caso particular w
= 0 (isto é, |R
em translação), esta lei já fora enunciada por Galileu (1564 - 1642).
Composição
de acelerações
Calculemos a derivada absoluta da
igualdade ...(6)...:
A
rotação w
de |R gera o termo w
/\ r* que comparece duas vezes:
em (b), devido à rotação da velocidade relativa r* (leia:
r-vetor-ponto); em (d), devido à rotação do componente w
/\ r na velocidade de arrastamento.
A
igualdade ...(10)... assume a forma explícita:
Isto
é, somam-se a aceleração absoluta da origem R, a aceleração tangencial e
a aceleração centrípeta absolutas do ponto coincidente Pc.
Note-se que no movimento relativo do móvel P também pode haver acelerações
tangenciais e normais, outras que as precedentes; elas estão contidas em r**
(leia-se: r-vetor-2 pontos)
O
termo 2.w
/\ r* = 2.w
/\ vrel. = ac ...(13)...
é chamado aceleração complementar ou aceleração de
Coriolis. A lei da composição de acelerações, Lei
das Acelerações, assume a forma compacta:
aabs.
= arel. + aarr. + ac.
...(14)...
É
este o Teorema de Coriolis (1792 - 1843). Ele
explica, por exemplo, o efeito giroscópico, a formação de ciclones e a Lei
de Baer (1792 - 1876), da erosão assimétrica nas margens dos rios.
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Exemplos
na parte 05: Plataforma giratória
para manobras em terminal ferroviário e Movimento circular
concêntrico em mesa circular.
Esse
trabalho - Mudança de Referencial
- contém as seguintes partes:
Parte
01 - Referenciais, suas mudanças e conseqüências na Física
Parte 02
- Coordenadas cartesianas - MCU
Parte 03
- Fórmulas de Poisson - Derivadas
Parte 04
- Aspectos cinemáticos - Coriolis
Parte 05
- Exemplos na Cinemática
Parte 06
- Exemplos - Conceitos fundamentais na Dinâmica
Parte 07
- Pêndulo cônico - Plataforma de manobra - Pêndulo de Foucault
Parte 08
- Ferrovia - Furacão - Giroscópio
Parte 09
- Desvio da vertical - Torre Eiffel - Espaçonave(1)
Parte 10
- Espaçonave(2) - Experimento de Eötvös - Imponderabilidade no
equador
Parte 11
- Força de Coriolis em Meteorologia e Tectônica
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