Mudança de Referencial
(Parte 05 - Exemplos em Cinemática)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br 

Nesta Parte 05 propomos dois casos simples. Matemática é ferramenta poderosa; o Teorema de Coriolis conduzirá rapidamente à solução.

Consideramos didático, também, tratamento inusitado por ser trabalhoso, os diagramas vetoriais. Consideraremos datas t e t + Dt, com duração Dt suficientemente extensa para que se obtenham diagramas inteligíveis, e suficientemente exígua para que a introvisão (insight) conduza à percepção do limite com Dt tendendo a ZERO. Não faremos distinção entre incremento e diferencial (Dt e dt, Dv e dv etc.). Os diagramas vetoriais dos componentes de velocidades visualizam os incrementos que geram os componentes de aceleração.

Plataforma giratória para manobras em terminal ferroviário
No plano horizontal fixo [referencal |A (AXYZ)] apoia-se um grande disco circular [referencial |R (Rxyz). No piso traçam-se eixos cartesianos AX e AY; o eixo AZ é vertical ascendente. No disco traçam-se eixos cartesianos Rx e Ry; o eixo Rz coincide com AZ. Em relação ao piso, o disco efetua rotação uniforme com velocidade w = w.k. Segundo o eixo Ry estende-se no disco o trilho de uma locomotiva que o percorre em movimento uniforme segundo a lei  y = v.t.

Propomo-nos, mediante construções gráficas, determinar a aceleração absoluta de um ponto P da locomotiva. O resultado será confrontado com o esperado pela aplicação do teorema de Coriolís.

Iniciamos:
A trajetória relativa de P é reta (eixo Ry). A trajetória absoluta é uma espiral. Isso pode ser visualizado através do experimento, com a prancheta, que colocamos em Composição de Movimentos 2 (experiência 2: translação e rotação).
Sistematizamos:

R = A          portanto       R - A = S = 0
w = w.k = constante    portanto   g = dw/dt = 0

O movimento relativo segue as leis:

x = 0       y = v.t       z = 0
r = P - R = v.t.j
r* = v_rel = v.j  (constante)
r** = a_rel = 0

Consideremos o sistema em duas datas consecutivas e próximas  t  e  t' = t + dt. Admitiremos  dt ~= Dt, gerando acréscimos pequenos nas posições e velocidades, mas viáveis para as construções gráficas. Estas são executadas sem escala.
Na duração  dt  o referencial |R sofre o giro  dj = w.dt.  Simultaneamente, o móvel passa de P(t) para P'(t') [figura 3]. Em |R , o móvel percorre o eixo Ry desde P(0;y;0) na data t até P'(0;y+dy;0) na data t'. Em |A o móvel passa de P(X;Y;0) na data t para P'(X+dX;Y+dY;0) na data t'.

A velocidade relativa tem sempre a direção de j. Em |R :

Vista pelo observador fixo em |A , a velocidade relativa muda de direção. Assim surge, em relação a |A , o incremento diferencial "absoluto" da velocidade relativa, dv_rel , de medida escalar  v.dj = v.w.dt [figura 4].

Para o movimento de arrastamento o referencial é A . Nas datas  t  e  t'  as velocidades de arrastamento são, respectivamente,  v_arr  do ponto coincidente P_c  e v'_arr de outro ponto coincidente P'_c [figura 5]:

v_arr = w.y  na direção de i = cosj.I + senj.J , no sentido de -i .
v'_arr = w.(y + dy)  com giro  dj .

A velocidade de arrastamento cresce e gira [figura 6]. Têm-se:

w.dy = w.v.dt       e     w.y.dj = w.y.(w.dt) = w² .y.dt .

A velocidade absoluta de P é  v_abs = v_rel + v_arr .
v_abs e v_arr são concebidas em relação a |A ,  v_rel é concebida em relação a |R , onde ela é constante; para se efetuar a soma, ela é projetada em |A , onde ela gira e sofre incremento diferencial  dv_rel (v.dj) [figura 4].

Daí:                                                              dv_abs = dv_rel + dv_arr .

Os termos são extraídos das figuras 4 e 6, e reunidos na figura 7.

O termo   w.y.dj = w².y.dt   gera a aceleração de arrastamento, que no caso presente se resume na aceleração centrípeta:

a_arr = w².y     ==>     a_arr = - w².y.j

Os outros dois termos geram, cada um, a metade da aceleração complementar:

v.dj + w.dy = v.(w.dt) + w.(v.dt) = 2.w.v.dt
portanto
a_c = 2.w.v   ==> a_c = - 2.w.v.i      ou    a_c = 2.w^v_rel

A aceleração absoluta é    a_abs = a_rel + a_arr + a_c .

No caso presente é a_rel = 0; resulta pois [figura 8]:

a_abs = - w².y.j - 2.w.v.i

O Teorema de Coriolís confirma os resultados acima (lembramos: ^ produto vetorial; X produto escalar):

a_rel = 0
a_arr = S** + g^r + w^(w^r) = 0 + 0 + w.k^(w.k^y.j) = w².y.j .
a_c = 2.w^v_rel = 2.w.k^v.j = -2.w.v.i

Re-encontramos:

a_abs = - w².y.j - 2.w.v.i

A aceleração absoluta resulta expressa mediante o terno-de-base (i,j,k) do referencial |R . Todavia, a aceleração absoluta é concebida em relação a |A . Sua expressão pode ser transformada para o terno-de-base (I,J,K) do referencial |A .

Movimento circular concêntrico em mesa circular girante
Vasos de barro são moldados em mesa girante. Em tal mesa (agora limpa!) fixa-se um trilho de autorama circular, concêntrico e de raio r. O trilho é percorrido por um carro com velocidade angular relativa w_r constante, no mesmo sentido em que a mesa gira com velocidade angular  w = w_r/2. Pretendemos estudar o movimento absoluto de um ponto do carro, procedendo mediante: (a) construções gráficas  e  (b) teorema de Coriolís.

Iniciamos:

Referencial |A (AXYZ)  fixo no piso.
Referencial |R (Rxyz)   fixo no disco girante.
Origens        A = R .

(a) Mediante construções gráficas.

Na [figura 9]:                       j = ângulo(YAy)    e   w = dj/dt

                        R = A          j_r = ângulo(yRP)   e   w_r = dj_r/dt

                        Adotou-se  j = 20^o     portanto    j_r = 40^o

Supondo disco transparente, são visíveis também os eixos do referencial |A . Entre as datas t e t'=t + dt ocorrem os giros  dj = w.dt   e   dj_r = w_r.dt = 2.dj.

Arbitramos fixar dt de modo a ser dj = 5^o, logo, dj_r = 10^o. Em relação a |A , o arco descrito por P é PP' = r.(dj_r + dj) (ângulos em radianos).

Em relação ao referencial |R , a velocidade de P é  v_rel = w_r.r  constante, v_rel = v_rel.t.

Vista pelo observador em |R , ela gira de dj_r , com incremento diferencial  , valor algébrico v_rel.dj_r .
Vista pelo observador em |A , a deflexão é (dj_r + dj), o incremento diferencial é , com valor algébrico v_rel.(dj_r + dj) [figura10]:

|dv_rel| = v_rel.(w_r + w).dt = (w_r.r).w_r.dt + w.v_rel.dt
|dv_rel| = w².r.dt + w.v_rel.dt

O primeiro termo gera a aceleração normal, o outro termo gera metade da aceleração complementar.

.............

Esse trabalho - Mudança de Referencial - contém as seguintes partes:

Parte 01 - Referenciais, suas mudanças e conseqüências na Física
Parte 02 - Coordenadas cartesianas - MCU
Parte 03 - Fórmulas de Poisson - Derivadas
Parte 04 - Aspectos cinemáticos - Coriolis
Parte 05 - Exemplos na Cinemática
Parte 06 - Exemplos - Conceitos fundamentais na Dinâmica
Parte 07 - Pêndulo cônico - Plataforma de manobra - Pêndulo de Foucault
Parte 08 - Ferrovia - Furacão - Giroscópio
Parte 09 - Desvio da vertical  - Torre Eiffel - Espaçonave(1)
Parte 10 - Espaçonave(2) - Experimento de Eötvös - Imponderabilidade no equador
Parte 11 - Força de Coriolis em Meteorologia e Tectônica

 

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