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 Mudança de Referencial na Dinâmica
(Parte 7 - Exercícios Básicos 1, 2 e 3)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br 

1- Pêndulo cônico     2- Plataforma de manobra     3- Pêndulo de Foucault


1- Pêndulo cônico
De um gancho A fixo no teto pende um fio leve, flexível e inextensível que na extremidade livre B suporta uma pequena pedra de massa m. A gravidade
local é g. O referencial, suposto inercial, é fixo no laboratório. Tendo recebido um impulso, a pedra suspensa descreve em um plano horizontal uma circunferência de centro O, com velocidade angular w. São dados ainda, AB = l  e  CB = r

(A) Deduzir a dependência funcional entre as grandezas citadas. (B) Determinar as duas forças centrifugas que intervem no fenômeno: a força centrifuga de reação, e a força centrífuga de inércia. Proceder com:

(a) Mecânica de Newton               (b) Mecânica de Coriolis.

Solução
Trata-se de problema elementar com grande valor conceitual e formativo. Aqui dispensaremos a notação vetorial; representaremos as forças por sua intensidades e os diagramas fornecerão as direções e os sentidos. Ilustremos a questão:

 Antecipamos que, nos diagramas de forças, todos os triângulos são iguais. Adotaremos referencial |A no item (a), referencial |R no item (b). Vamos situar tais referenciais:
O referencial |A é fixo no laboratório; pode-se presumir que a rotação da Terra tenha efeito desprezível no processo, logo |A  é inercial.
O referencial |R tem origem C  fixa no referencial de laboratório, eixo Cx normal ao plano das figuras seguintes, eixo Cy contendo B, eixo Cz passando pelo ponto de suspensão A. O movimento de |R  em relação a |A , movimento de arrastamento, é a rotação em torno de AC (eixo Cz) com velocidade angular  w.

O sistema pode ser a pedra P suspensa em B, ou o fio F = AB fixo na extremidade A.

É preciso distinguir claramente o sistema e o referencial. Surgem quatro casos:

 

Referencial

|A (Newton) |R (Coriolis)
Sistema Pedra P|A P|R
Fio F|A F|R

No referencial |A a pedra executa movimento circular e uniforme; ela tem aceleração centrípeta. O problema é de Dinâmica.

No referencial |R a pedra tem coordenadas invariáveis x = 0, y = r, z = 0: ela se apresenta em repouso (velocidade nula permanentemente) sua aceleração é nula, ela se encontra em “equilíbrio relativo”. O problema e de Estática.

Caso P|A 
Na pedra são exercidas duas forças de interação,
e só estas: o peso m.g ("ação", exercida pela Terra; a “reação” é exercida no centro da Terra) e a força F ("ação", exercida pelo fio; a “reação” é exercida no fio). A força F tem componentes geométricas V e Fcp. O componente V equilibra o peso m.g. Resta a força resultante:

Fcp = m.an = m.w2.r

Por semelhança de triângulos:

Caso F|A 
O fio é suposto leve (massa
==> ZERO), logo as forças exercidas nele se equilibram; elas o mantém tenso, necessariamente reto. A pedra o traciona com F' “reação” de F. O gancho exerce F” em A, que será a equilibrante de F’ (F' = F"). 
A
reação F’ tem componentes geométricas V (intensidade m.g) e Fcfr (direção igual à da força centrípeta Fcp, sentido oposto, intensidade igual). Surge assim a força centrífuga de reação Fcfr; é força de interação, componente radial da reação F’. As forças m.g, F, F’ e F” são todas de interação, e manifestam-se tanto em relação a  |A  como em relação a |R.

Caso P|R 
A pedra, em |R está em repouso, as forças exercidas nela se equilibram: m.g e F, ambas de interação, e a força centrífuga de inércia Fcfi. O ponto coincidente é sempre B; a aceleração de arrastamento
w2.r centrípeta, a correspondente força de inércia é centrífuga:

Fcfi = m.w2.r

Vale a mesma proporção vista acima: 

Caso F|R
O fio é leve (massa ==> ZERO), logo é nula qualquer força de inércia; agem as forças de interação F’ e F”, e nenhuma outra. O fio se apresenta em equilíbrio relativo, logo é nulo o sistema íntegro das citadas forças.

A força F’ tem componentes geométricas V (intensidade m.g) e Fcfr (força centrífuga de reação, com direção igual à de Fcp, sentido oposto, intensidade igual).

Resumimos: Conforme o referencial adotado, concebem-se duas forças centrífugas vetorialmente idênticas: 
A força centrifuga de reação Fcfr que é força de interação, exercida no fio: ela se manifesta igualmente tanto em
|A como em |R  .
A força centrífuga de inércia  Fcfi que é força de inércia exercida na pedra; ela só existe em 
|R e é tão real quanto o é a F ou o m.g.


2- Plataforma de manobra
Nos terminais ferroviários existem plataformas giratórias destinadas à inversão das locomotivas. Especifiquemos uma delas: trata-se de um disco horizontal que gira em torno de seu eixo vertical com velocidade angular constante
w em relação a referencial inercial |A. Nesse disco são fixados um par de trilhos diametrais e um referencial |R.
Uma locomotiva de massa m percorre o trilho com velocidade relativa v. Determinar:
(a) a força de Coriolis exercida na locomotiva;
(b) o trilho solicitado pela força de Coriolis.

Solução

(a) Aceleração complementar:

(b) O frizo da roda direita é comprimido no boleto do trilho direito.


3- Pêndulo de Foucault
O Pêndulo de Foucault (Foucault, 1851) é um dispositivo que demonstra a rotação da Terra em torno de seu eixo Sul-Norte. Em relação a referencial inercial, o plano de oscilação de um pêndulo mantém-se fixo no plano vertical pelo ponto de suspensão. Em relação a referencial girante (fixo á Terra), o plano de oscilação gira em sentido oposto ao do referencial.

No Pantheon, em París, suspendeu-se um pêndulo de comprimento L = 67 m, com massa pendular m = 28 kg. Posto a oscilar, o pêndulo fica sujeito a uma força de Coriolis devido à rotação da Terra. 
Para o estudo dinâmico do problema interessa apenas o componente vertical (
wv) da velocidade angular w no local: wv = w.send (d = latitude); é essa a velocidade angular do plano de oscilação do pêndulo, em relação ao laboratório (referencial girante). 
Nos pólos, uma rotação completa do plano de oscilação teria duração Tsid.= 86 164 s (dia sideral). No laboratório, de latitute
d , terá duração T = 2p/wv = 86 164/send s. No equador o efeito é nulo (T ==> ¥). 
A trajetória da massa pendular é uma roseta cujas características particulares dependem das condições iniciais.

A cada meia oscilação o pêndulo se desvia para a direita no hemisfério Norte, para a esquerda no hemisfério Sul. A figura acima ilustra a roseta descrita pela massa pendular se abandonada  a partir do repouso, no ponto A, num laboratório no hemisfério Norte. No esquema, o desvio angular está fortemente exagerado.


Esse trabalho - Mudança de Referencial - contém as seguintes partes:

Parte 01 - Referenciais, suas mudanças e conseqüências na Física
Parte 02 - Coordenadas cartesianas - MCU
Parte 03 - Fórmulas de Poisson - Derivadas
Parte 04 - Aspectos cinemáticos - Coriolis
Parte 05 - Exemplos na Cinemática
Parte 06 - Exemplos - Conceitos fundamentais na Dinâmica
Parte 07 - Pêndulo cônico - Plataforma de manobra - Pêndulo de Foucault
Parte 08 - Ferrovia - Furacão - Giroscópio
Parte 09 - Desvio da vertical  - Torre Eiffel - Espaçonave(1)
Parte 10 - Espaçonave(2) - Experimento de Eötvös - Imponderabilidade no equador
Parte 11 - Força de Coriolis em Meteorologia e Tectônica

 


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