Dinâmica (Do ponto e dos sistemas)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

VI. Trabalho, Energia e Potência [parte 2]

9. Energia cinética ou de movimento - Para variar a velocidade de um corpo em movimento é preciso o concurso de forças externas, as quais realizam certo trabalho. Esse trabalho é uma apreciação da energia que o corpo apresenta pelo fato de estar em movimento em relação a um dado sistema de referência. Denominaremos essa energia de cinética e, seu cálculo, no instante t, no qual a partícula de massa m apresenta velocidade v é:

E_cin. = (1/2).m.v²

Energia cinética é grandeza física escalar, fato que deriva de ser a inércia de um corpo uma propriedade que se manifesta independente de orientação.

Suponhamos que F seja a resultante das forças que atuam sobre uma partícula de massa m. O trabalho dessa resultante é igual à diferença entre o valor final e o valor inicial da energia cinética da partícula;pomos:

Na expressão da primeira linha aplicamos a segunda lei de Newton; o componente tangencial da força resultante é igual ao produto da massa da partícula por sua aceleração tangencial.
Na segunda linha destacamos que, a aceleração tangencial a_t é igual à derivada do módulo da velocidade (substituímos a_t por dv/dt) e, a seguir, substituímos o quociente entre o deslocamento (ds) pelo tempo (dt) pela velocidade do móvel (substituímos ds/dt por v). A energia cinética da partícula é justamente o conceito envolvido na expressão (1/2).m.v².
O teorema do trabalho-energia indica que o trabalho da resultante das forças que atua sobre uma partícula modifica sua energia cinética.

9.1. Força Conservativa - Energia Potencial

Uma força é conservativa quando o trabalho dessa força for igual à diferença entre os valores inicial e final de uma função que só depende das coordenadas. A essa função se dá a denominação de energia potencial:

O trabalho de uma força conservativa não depende do trajeto seguido para o móvel ir do ponto A ao ponto B. 
O trabalho de uma força conservativa ao longo de um percurso (trajeto) fechado é nulo.

9.2. O peso é uma força conservativa

Calculemos o trabalho da força peso F = - mg.j (essa notação indica que o eixo y é vertical, orientado para cima e que seu versor é j), quando o corpo se desloca desde a posição A, cuja ordenada é y_A até a posição B cuja ordenada é y_B.

A energia potencial E_pot. correspondente à força conservativa peso tem a forma funcional: E_pot.= mgy + C , onde C é uma constante aditiva que nos permite estabelecer o nível zero da energia potencial.

Como já vimos na Parte 1, a força exercida por uma mola é conservativa; vale recapitular.
Conforme se ilustra, quando a mola se deformar de x aplicará sobre a partícula uma força de intensidade proporcional à deformação x e de sinal contrário a essa:

A função energia potencial correspondente à força conservativa F é: E_pot.(x) = (1/2).k.x² + C.  O nível zero de energia potencial se estabelece do seguinte modo: quando a deformação é zero, x = 0, o valor da energia potencial se toma zero, E_pot. = 0, de modo que a constante aditiva assumirá valor  C = 0 e E_pot.=(1/2)kx².

10. Energia cinética de um corpo em translação -

E_cin. = (1/2).(Sm_i).v² = (1/2).M.v²

11. Energia cinética no movimento relativo -
      v_rel. = velocidade relativa ==> E_cin.,rel. = m.v²_rel./2
      v_arr. = velocidade de arrastamento ==> E_cin.,arr. = m.v²_arr./2
      v_abs. = velocidade absoluta ==> E_cin.,abs. = m.v²_abs./2

      Importante:   E_cin.,abs. =/= E_cin.,rel. + E_cin.,arr.    [ =/=, leia-se, diferente de]

12. Teorema da  energia cinética - (TEC) - O trabalho realizado pela resultante de todas as forças aplicadas a uma partícula durante certo intervalo de tempo é igual à variação de sua energia cinética, nesse intervalo de tempo.

t_R,AB = m.v²_B/2 - m.v²_A/2 = [DE_cin.]_A==>B

13. Energia mecânica - no instante t, é a soma das energias potencial e cinética.

E_mec.,A = E_pot.,A + E_cin.,A

14. Expressão analítica do teorema da conservação da energia total - O trabalho das forças externas aplicadas a um corpo é utilizado nas variações de suas energias cinética e potencial, sendo que, parte dele é 'consumido' pelas forças de atrito.

t_{externo, A==>B} = [DE_pot.]_A==>B + [DE_cin.]_A==>B + t_fat,A==>B

15. Teorema da conservação da energia mecânica - Nos sistemas para os quais se verificam:

t_{externo, A==>B} = 0  e  t_fat,A==>B = 0 (sistema conservativo)   tem-se:

[DE_pot.]_A==>B + [DE_cin.]_A==>B = 0    ou seja,     E_mec.,A = E_mec.,B = constante

16. Princípio da conservação da energia - Em qualquer processo, a energia nunca é criada ou destruída, apenas transformada de uma modalidade para outra/outras.

17. Mais detalhes

17.1. Conservação da energia - Quando uma partícula está sob a ação de uma força conservativa, como já dissemos, o trabalho desta força é igual à diferença entre o valor inicial e final da energia potencial; escrevemos:

Por outro lado, (TEC), o trabalho da força é igual à diferença entre o valor final e inicial da energia cinética; escrevemos:

Igualando ambos os trabalhos, obtemos a expressão do princípio da conservação da energia:

E_cin.,A + E_pot.,A = E_cin.,B + E_pot.,B 

A energia mecânica da partícula (soma da energia potencial mais energia cinética) é constante em todos os pontos de sua trajetória.

17.2. Forças não-conservativas - Para bem entender o significado de força não-conservativa, vamos apresentar uma comparação com a força conservativa 'peso'.

Calculemos o trabalho da força conservativa peso quando a partícula é levada de A para B e, em seguida, de B para A: tAB = mg x tBA = - mg x O trabalho total ao longo do trajeto fechado A-B-A, tABA é nulo.

17.3. A força de atrito é uma força não-conservativa - Quando a partícula se desloca de A para B, ou de B para A, a força de atrito é oposta ao sentido do movimento; o trabalho é negativo porque a força tem sinal contrário ao deslocamento.

17.4. Balanço das energias - Em geral, sobre uma partícula atuam forças conservativas F_c e não-conservativas F_nc. O trabalho da resultante dessas forças que atuam sobre a partícula é igual à diferença entre a energia cinética final menos a inicial (TEC); pomos:

O trabalho das forças conservativas F_c é igual à diferença entre a energia potencial inicial e a final; então:

Aplicando-se a propriedade distributiva do produto escalar, obtemos que:

O trabalho de uma força não-conservativa modifica a energia mecânica (cinética mias potencial) da partícula.