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Dinâmica
(Do ponto e dos sistemas)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

VIII. Momento de inércia, Centro de massa e Pêndulo simples

1. Momento de inércia de um ponto material em relação a um eixo

2. Momento de inércia de um corpo em relação a um eixo

3. Raio de giração de um sistema de pontos materiais

4. Energia cinética de um corpo em rotação - A energia cinética de rotação de um corpo que gira ao redor de um eixo é igual ao semi-produto de seu momento de inércia pelo quadrado de sua velocidade angular, com respeito ao eixo:

Ecin.,rot.= (1/2).w2.I

O trabalho cedido ou absorvido por um corpo em rotação é igual à variação de sua energia cinética de rotação:

Dt = (1/2).(w2 - w'2).I

5. Corpos acoplados - máquina de Atwood - A aceleração escalar do movimento de um sistema formado por dois ou mais corpos rígidos acoplados mecanicamente entre si, de modo que todos tenham em cada instante a mesma velocidade é:

a = Sfmov./SM

6. Centro de massa de um sistema discreto de pontos materiais - Para o estudo do movimento de translação de um corpo rígido, é o ponto onde pode-se supor concentrada toda a massa do corpo:

Se a aceleração da gravidade é a mesma em todos os pontos do corpo (situação mais corriqueira), o centro de gravidade (CG) coincide com o centro de massa (CM): g = constante ==> CG = CM.

Nota: O CM da Torre Eiffel, por exemplo, não coincide com seu CG; o CM fica ligeiramente acima do CG.

7. Teorema do centro de massa - Para sólidos (sistemas rígidos de pontos) em translação, para os quais o movimento é estudado considerando-se toda a massa concentrada em seu CM, vale:

8. Pêndulo Simples - estudado nos casos; quando sua amplitude de oscilação é pequena e para qualquer valor da amplitude.

8.1 - Fundamentos teóricos - um pêndulo simples se define como uma partícula de massa m suspensa desde o ponto O por um fio inextensível, de comprimento L e de massa negligenciável. Se a partícula se desloca para uma posição qo (ângulo que o fio faz com a vertical) e então for abandonada (velocidade inicial zero), o pêndulo começa a oscilar.

O pêndulo descreve uma trajetória circular, um arco de circunferência de raio L. Estudaremos seu movimento segundo as direções normal e tangencial.

As forças que agem sobre a partícula de massa m são apenas duas:

seu peso, mg, vertical para baixo
e a ação do fio, a tração T, de direção radial e sentido indicado.

Na ilustração, os componentes da força peso segundo as direções normal e tangencial valem:

fn = mg.cosq    e    ft = mg.senq

8.2 - Equação do movimento segundo a direção radial - A aceleração da partícula é centrípeta (direção radial e sentido para o centro de sua trajetória circular) e de valor  an = v2/L (eq.1). A segunda lei de Newton permite escrever:

m.an = T - mg.cosq    (eq.2)

Pelas (eq.1) e (eq.2) vê-se que, conhecido o valor de v na posição q, podemos determinar a tração T do fio.

8.3 - Equação do movimento segundo a direção tangencial - A aceleração da partícula é at = dv/dt  . Recordamos que, o componente tangencial da aceleração total descreve unicamente as variações do módulo da velocidade da partícula, enquanto que o componente normal dá conta das variações na direção da velocidade no decorrer do tempo. A segunda lei de Newton permite escrever:

mat = mg.senq  

A relação entre a aceleração tangencial  at e a aceleração angular a, pela cinemática dos movimentos circulares variados, será: at = a.L.  Sob forma de equação diferencial podemos escrever, portanto:

 

8.4 - Oscilações de pequena amplitude - Quando o ângulo q é pequeno, então senq » q, o pêndulo descreverá oscilações harmônicas com equação: q = qo·sen(w t + j ), de freqüência w2 = g/L, ou, de período

8.5 - Leis do pêndulo simples -

Lei do isocronismo - As oscilações de pequena amplitude são isócronas (têm mesma duração);
Lei da massa e da substância - O período é independente da massa e da substância de que é constituída a partícula oscilante ('lente' do pêndulo);
Lei do comprimento - O período é diretamente proporcional à raiz quadrada do comprimento do pêndulo;
Lei da aceleração - O período é inversamente proporcional à raiz quadrada da aceleração local da gravidade.



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