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Dinâmica das oscilações harmônicas
(Livres, amortecidas, forçadas e conjugadas)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br 

Apresentação
Apresenta-se na natureza, freqüentemente, a oscilação harmônica ou movimento senoidal. A respeito da Cinemática desse movimento, fizemos o tratamento disso na Sala 04, sob o título Cinemática do MHS. Faremos aqui uma breve repassada nessa parte cinemática ajustando-a para o tratamento dinâmico.

Oscilações livres
Um corpo executa um movimento oscilatório harmônico, quando está vinculado a uma posição de equilíbrio por intermédio de uma força cujo módulo cresce proporcionalmente com o afastamento do corpo dessa posição de repouso. Desta maneira, um pêndulo que oscila com pequena amplitude executa um movimento harmônico. 

Pode-se obter o movimento harmônico, projetando-se um movimento circular uniforme sobre um dos diâmetros do círculo, como já detalhado na Sala 04. 
Num movimento circular a posição do ponto material P é dada pelo ângulo
j. Como velocidade angular w definimos, por analogia com a velocidade usual (linear):

w = dj/dt

Sendo w = const. (movimento circular uniforme) então j cresce proporcionalmente ao tempo t

j = w.t

Se o ponto P percorrer a circunferência f vezes por segundo, num intervalo de tempo igual a t segundos ele descreverá a trajetória circular f. t vezes. Em cada volta completa, o ângulo j cresce de 2 p.
Assim temos:

j = 2p.f.t = w.t 
w = 2pf

sendo f número de oscilações por segundo ou freqüência, e w, velocidade angular = número de oscilações em 2p segundos (chamada também “pulsação”).
Projetando-se o ponto P sobre um diâmetro obtém-se: 

x = a senj = a senwt.

O diagrama posição-tempo no caso do movimento harmônico tem o aspecto seguinte:

É urna curva senoidal, que se repete, portanto, periodicamente. O ponto material move-se sobre um segmento de reta ora num sentido, ora no oposto, a partir da posição de repouso, sendo o seu maior afastamento dessa posição de equilíbrio denominado amplitude do movimento = a.
O intervalo de tempo decorrido entre duas passagens consecutivas do ponto material numa determinada posição da trajetória, em idênticas condições de movimento, é chamado período de oscilação = T. Será:

T = 1/f = 2p/w

Um fenômeno desse tipo, por exemplo, o movimento pendular para pequenas amplitudes ou ainda a vibração de um diapasão, pode ser facilmente registrado sobre uma placa de vidro enegrecida por uma chama de vela, quando a esta se dá uma translação uniforme sob o pêndulo (como ilustrado a seguir), ou então se arrasta sobre a placa o diapasão percutido.

Também um pêndulo de mola, ou um pêndulo de torção, executa um movimento harmônico. No pêndulo de mola, um corpo P é mantido em sua posição de repouso por meio de duas molas. Ao ser afastado dessa posição de equilíbrio a uma distância x, aparecerá nele uma força F (tendendo a levá-lo à posição primitiva) que é proporcional a x (--- força elástica ---):

F = - k.x

onde k é chamada 'constante da mola' e representa numericamente a força que age sobre P quando se afasta P da posição até que dela diste da unidade de comprimento. O sinal negativo leva em consideração que a força contraria o movimento -- força de restituição ---.
Temos, então, segundo Newton:

Esta é a equação diferencial do movimento harmônico. Sua solução fornece:

x = x(t) = a.sen(wo.t + jo)

jo = constante de fase arbitrária, determinada pelas condições iniciais.
Levando-se a solução acima na equação diferencial obtém-se ainda a seguinte condição:


O movimento do pêndulo conduz no caso de amplitude pequena, à mesma equação diferencial e com isto, portanto, à mesma forma de movimento. Equacionemos o pêndulo simples:

As forças que atuam sobre o pêndulo, o peso P = mg e a tensão F do fio, compõem uma força resultante R que, no caso especial de amplitude pequena, é aproximadamente horizontal. Da semelhança dos dois triângulos, na ilustração a seguir, resulta:

O período de um pêndulo é diretamente proporcional a  Öl (raíz quadrada do comprimento) e inversamente proporcional a Ög. 
Isso pode ser verificado experimentalmente com o pêndulo de Mach, ilustrado a seguir. É um pêndulo rígido cujo eixo de rotação não é só horizontal mas também pode ficar inclinado. Nestas condições, atua somente a componente da gravidade perpendicular ao eixo. Tem-se portanto de substituir g por g.cos
a:

O período do pêndulo é independente de sua massa. Pêndulos de massas diferentes, mas comprimentos iguais, oscilam com igual velocidade (Recomendamos a verificação experimental do proposto). O fato de ser o período, em primeira aproximação, independente da amplitude, foi pela primeira vez reconhecido por Huyghens (cerca de 1700) e utilizado na construção do seu relógio de pêndulo.

Oscilações amortecidas
A amplitude da oscilação de um pêndulo não permanece efetivamente constante mais diminui com o tempo, geralmente segundo uma lei exponencial:

As oscilações são gradualmente atenuadas. Essa atenuação das vibrações é uma conseqüência da perda de energia pelo atrito com o ar. Diz-se que as oscilações são amortecidas (veja gráfico x = x(t), acima). No estudo deste movimento, considera-se, no caso mais simples, que a força de atrito, contrária ao movimento, é proporcional e diretamente oposta à velocidade v. Essa hipótese é, em muitos casos, realmente válida.


Vê-se que o amortecimento, por um lado, determina uma constante diminuição da amplitude e, por outro lado, vai tornando o movimento gradativamente mais lento.
Se

(amortecimento muito grande) não teremos mais oscilações periódicas. O pêndulo volta à sua posição inicial sem alternar o movimento (aperiodicamente).
Nossa solução deve neste caso ser posta sob a forma:

Oscilações forçadas e Ressonância
Um sistema vibratório livre executa, logo que é posto a oscilar, seu chamado movimento oscilatório próprio. Este, como vimos, tem uma determinada freqüência circular, a freqüência própria
wo, que é determinada somente pelas propriedades do sistema. Se agora, porém, um tal sistema vibrante for submetido a oscilações, devidas à ação de urna força periódica externa F = Fo sen wt, será então sede das denominadas “vibrações forçadas”.

A equação de Newton nestas condições será (sem se considerar o atrito):

A amplitude das oscilações forçadas depende, pois da freqüência externa w e se torna teoricamente infinita, no caso de ressonância: w = wo. A ilustração a seguir representa a amplitude |a| em função de freqüência circular w. A curva representativa dessa função chama­se curva de ressonância.

Na realidade a amplitude no caso da ressonância não pode se tornar infinita por causa do atrito, porém atinge somente um valor máximo. As forças de atrito causam um amortecimento e contrariam o crescimento ilimitado das vibrações, porque, em suma, a energia fornecida ao pêndulo pelos estímulos oscilatórios por segundo é justamente gasta no trabalho de atrito, aparecendo assim, uma fase (regime) estacionária. Com o amortecimento, a curva de ressonância se achata tanto mais quanto maior o amortecimento, como se vê na ilustração acima.
A equação diferencial,
quando se trata de atrito proporcional à velocidade, será:

havendo uma defasagem entre as amplitudes da força externa e do movimento vibratório próprio do sistema (geralmente as Faculdades e Institutos fazem o experimento utilizando-se do pêndulo de Pohl).

A presença da ressonância pode ser bastante prejudicial às peças de máquinas (árvores de turbinas) quando a freqüência própria desses eixos se torna igual à sua freqüência de rotação.

O aparecimento da ressonância é empregado para a construção de medidores de freqüência, por exemplo, de aparelhos para a determinação da freqüência de corrente alternada. Um desses medidores (freqüencímetro de Frahm) consta de uma série de varinhas de aço de diferentes freqüências próprias. Ao se fornecer uma corrente alternada ao sistema, por meio de um eletroímã existente no instrumento, as varinhas vêm a vibrar mais intensamente quando suas freqüências coincidem com a freqüência da corrente fornecida. A freqüência própria das varinhas está nelas gravada e poderá, portanto, ser lida diretamente.

Um diapasão pode ser posto a vibrar apenas aproximando-o de um segundo diapasão em vibração, mas somente quando ambos tiverem a mesma freqüência própria. Demonstram-se o aparecimento de ressonância em pêndulos, árvores, etc.

Oscilações conjugadas
Se dois sistemas vibrantes se influenciam reciprocamente, executarão ambos as chamadas oscilações compostas, cujas freqüências são diferentes das próprias dos dois sistemas isolados. A freqüência própria é como vimos, aquela que teria um sistema vibratório isolado e livre. No caso de oscilações compostas, os dois sistemas exercem continuamente ações recíprocas. 
Dois pêndulos que, por exemplo, se vinculam por meio de uma mola, constituem um tal sistema composto.

 Se se comunicar, a princípio, o movimento a um só dos pêndulos, gradualmente entrará também o segundo pêndulo em vibração, enquanto o primeiro vai atingindo a paralisação. Aí repete-se o fenômeno em marcha inversa.
Nas oscilações compostas a energia alterna-se entre os dois sistemas vibrantes. Representando-se graficamente as vibrações dos dois sistemas, obteremos o esquema mostrado na ilustração acima. Vemos que a amplitude de oscilação não fica constante, porém, cresce e diminui periodicamente. Uma tal forma de movimento é chamada batimento. No instante em que a amplitude do primeiro sistema atinge seu máximo, a amplitude do segundo é nula, e vice-versa.
Obtêm-se também batimentos quando dois movimentos senoidais de freqüências f1 e f2 aproximadamente iguais, se sobrepõem. As freqüências dos batimentos são iguais à diferença ou à soma das freqüências primitivas: fb = f1 ± f2.
Podem-se interpretar também, os batimentos no pêndulo associado como a superposição de dois movimentos oscilatórios próprios. Esses dois movimentos próprios, possuindo freqüências pouco diferentes, podem realizar-se, comunicando aos pêndulos vibrações em concordância de fase [(a), na ilustração acima] ou em oposição  de fase [(b), na ilustração]. 
Se a energia de um sistema vibrante é transmitida a outro e, no momento em que o primeiro sistema está em repouso, é anulada no segundo, o primeiro sistema continuará deste modo, em equilíbrio. Apesar disso, o teorema da impulsão permite estudar de maneira simples um choque desta espécie, embora limitando-se apenas aos efeitos e não ao transcurso exato do fenômeno. Nisto se baseia a construção da caixa de compensação de Frahm.


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