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16 em 1 ... o M.H.S.
(Movimento harmônico simples)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Introdução
Descrição
Condições de contorno

Ilustrações
Técnica das demonstrações
Propósito e agradecimentos

Elasticidade
(1) Sistema massa-mola
(2) Sistema massa-corda
(3) Sistema massa-barra esbelta
(4) Sistema disco-eixo
(5) Sistema massa-barra

Gravitacionais
(6) Pêndulo matemático
(7) Partícula dentro da esfera
(8) Pêndulo físico
(9) Cilindro não-homogêneo
(10) Partícula-túnel através da Terra

Acústicos
(11) Sistema pistão-cilindro
(12) Ressoador de Helmholtz

Hidrostáticos
(13) Líquido em tubo em U
(14) Sistema cilindro flutuante-líquido

Elétricos
(15) Circuito indutância-capacitância

Extras
(16) Prancha sobre roletes
(17) Oscilador não-harmônico simples

 

 

Introdução
O movimento harmônico simples pode ser examinado sob vários pontos de vista e, sem dúvida, muitos textos já os exploraram, culminando com exemplos físicos para esse tipo de movimento. Entretanto, como tenho observado, os professores do ensino médio assim como os do curso fundamental universitário, restringem-se quase que exclusivamente ao sistema massa-mola ou então ao pêndulo simples executando oscilações de pequenas amplitudes.
Isso parece-me um tanto injusto com a natureza das coisas, uma vez que, tal lei de movimento aparece em muitos outros campos da física, pelo menos dentro de uma boa aproximação. O propósito desse texto é chamar a atenção para esse fato e, talvez, tornar-se útil para aulas introdutórias tanto a nível médio como fundamental universitário. [voltar]

Descrição
Colecionei aqui 16 fenômenos distintos lastrados na lei fundamental do MHS (aceleração proporcional à elongação, com sinal trocado). Alguns deles são bem conhecidos, outros menos. Nem todos os fenômenos são independentes um do outro; todos os sistemas elásticos, por exemplo, executam vibrações que, no fundo, são devidas à lei de Hooke. Do ponto de vista prático, entretanto, eles podem ser considerados como distintos e assim, foi listado como tal. 
No fechamento do texto, apresento um sistema famoso, cujas vibrações não são harmônicas simples, embora à primeira vista possam parecer como tal. Isso foi posto para despertar no leitor que, embora o MHS seja muito comum, nem todas as vibrações que observamos, mesmo no dia-a-dia, sejam desse tipo. As vibrações consistem, de fato, num assunto muito interessante e rico em detalhes. [voltar]

Condições de contorno
Em todos os casos foi assumido que o sistema apresenta apenas um grau de liberdade, isto é, apresenta uma única coordenada executando o MHS. Portanto, fenômenos que envolvam vibrações como as que vemos num diapasão ou na superfícies dos líquidos quando perturbadas, embora próximos do movimento harmônico simples, não foram incluídos na coleção porque eles envolvem sistemas contínuos, ou seja, apresentam um número infinito de graus de liberdade. Esses serão úteis, outrossim, para o estudo das ondas.
Também foi pressuposto que não ocorre qualquer dissipação de energia no sistema abordado; isso, em alguns exemplos citados, é até bem plausível, em outros, como o de um corpo imerso em um líquido, essa suposição não se justifica no todo, uma vez que as vibrações serão rapidamente amortecidas.
Outro pressuposto refere-se à amplitude das oscilações, as quais tomaremos como suficientemente pequenas, de modo que o sistema apresente comportamento linear. [voltar]

Ilustrações
Em cada caso a figura dá os parâmetros físicos relevantes do problema, assim como qual é a coordenada que executa o movimento medida a partir da posição de equilíbrio. A propriedade de destaque do sistema, nomeada de 'constante de força', na equação fundamental do MHS (aceleração = - 'constante de força' x coordenada em MHS), que traduz o 'quadrado da pulsação' (em radianos/segundo) ou o 'quadrado da freqüência angular' é, também, apresentada nessa ilustração, em termos das constantes físicas do sistema. [voltar]

Técnica das demonstrações
O aluno do ensino médio poderá estranhar 'um pouco' a técnica para a obtenção da propriedade de destaque do sistema oscilante; o do ensino superior reconhecerá imediatamente ser um 'caminho natural'.
Isso advém do fato de que o aluno do ensino médio 'aprende' o movimento por vias cinemáticas e, para ele, é 'natural' a seqüência: lei horária (definindo o movimento), lei da velocidade e lei de aceleração, passando da anterior para a posterior por derivações sucessivas: v = ds/dt  e a = dv/dt = d2s/dt2
O aluno do ensino superior assume como 'natural' o caminho inverso (tratamento dinâmico), que é o aqui adotado. A técnica, portanto, resume-se em: 

(a) reconhecer as forças que agem no corpúsculo em sua posição de equilíbrio; 
(b) afastar, ligeiramente, o corpúsculo dessa posição de equilíbrio (afastamento linear ou angular); 
(c) caracterizar a resultante das forças que agem no corpúsculo como sendo de restituição, do tipo elástica; 
(d) aplicar o princípio fundamental da dinâmica (2a lei de Newton - para translação ou rotação); 
(e) obter a aceleração (linear ou angular) em função do deslocamento dado ao corpúsculo.

A (e) deve resultar em "aceleração é diretamente proporcional ao deslocamento, com sinal oposto". A 'constante de proporcionalidade' nessa expressão é a nossa "constante de força do sistema" ou o "quadrado da pulsação do movimento". 
Nessa técnica, por simplicidade de notação usaremos, quando necessário, por exemplo,

 

Uma vez obtido o "quadrado da pulsação" (w2), que caracteriza o movimento em função das constantes do sistema oscilante, poderemos equacionar o período de movimento (T), mediante: T = 2p/w.
Os exemplos 'menos famosos' serão analisados com alguns detalhes. [voltar]

Propósito e agradecimento
Obviamente, esta coleção pode ser ampliada (e, para tanto aguardo participações) para incluir muitas variações dos casos apresentados, como por exemplo, o do cilindro que rola sobre uma curva côncava, em lugar de uma superfície plana. O propósito da coleção não é tanto investigar o comportamento físico de cada sistema (para isso há os compêndios apropriados, e não estranharia encontrá-los na www --- os quais incluirei aqui assim que descobri-los!) e sim enfatizar a analogia matemática entre eles.
Agradeço a todos que vierem a colaborar com a ampliação desse texto, enviando críticas e sugestões.
Espero que encontrem utilidade para o trabalho. [voltar]

Elasticidade

Importante: Observe atentamente que g (aceleração da gravidade) não interfere nas oscilações próprias do sistema. Há alunos que concordam de imediato, tratar-se de um MHS, quando o bloco oscila na horizontal, sobre a mesa lisa, mas relutam em aceitá-lo quando oscila na vertical, "por causa do peso". Para excluir, por definitivo, essa relutância, recomendo a leitura do texto posto na Sala de Leituras/Teorias Recomendadas (Sala 19), com o título: Período de oscilação

T é a tração na corda, constante durante as oscilações de pequenas amplitudes, isto é, nas situações onde podemos aceitar as substituições: senq =q e cosq = 1. Para tais situações, perceba que a força de restituição sobre a partícula de massa m, deslocada de x de sua posição de equilíbrio é T(x/b + x/a) de modo que:

T(x/b + x/a) = -m.g = - m.(d2x/dt2)

logo:  d2x/dt2 = - (T/m)(1/a + 1/b).x  ==> k = w2 = (T/m)(1/a + 1/b) , como se indica na ilustração acima.

Especificamente, I é o momento de inércia polar da secção reta da barra, que é constante. 

O disco circular apresenta momento de inércia I em relação ao eixo de rotação; J é o momento de inércia polar da secção circular transversal do eixo de diâmetro d. Importante não confundir 'momento de inércia polar J da área (cuja dimensão é -- comprimento2 --) com o 'momento de inércia I da massa (cuja dimensão é  -- força x tempo2 x comprimento --).

Os fenômenos elásticos aplicados aos gases estarão sob o título 'Acústicos'.

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Gravitacionais
                       g = aceleração local da gravidade

(6)- Pêndulo matemático (ou simples):  Embora este exemplo de movimento seja bem conhecido, provavelmente o mais conhecido de todos, vale a pena analisa-lo uma vez que serve de 'âncora' para ilustrar o fato de que o comportamento harmônico simples de todos os sistemas é só uma aproximação; uma boa aproximação, baseada na suposição de 'oscilações de pequenas amplitudes'.

Assumindo-se como a coordenada em questão como sendo q = q(t), sendo q o ângulo de deflexão com a vertical (algumas vezes essa coordenada é tomada como sendo a projeção horizontal x = x(t)), e tomando os momentos das forças assim como os momentos de inércia em relação ao pivô podemos, aplicando a segunda lei de Newton para as rotações [resultante dos momentos das forças = momento de inércia vezes aceleração angular], escrever:

... eq.(6.1) ...

Agora podemos expressar senq como uma série de potências que converge para todos os valores de q, isto é:

... eq.(6.2) ...

Se q é suficientemente pequeno (mais precisamente, se todas as potências mais altas de q são desprezíveis em comparação com q) então, para uma aproximação, podemos substituir senq por q e a eq.(6.1) torna-se:

     ... eq.(6.3) ...

Que é a exata equação diferencial do M.H.S., o que implica numa freqüência angular  w = (g/l)1/2  e período  T = 2p(l/g)1/2 , ambos independentes das condições iniciais e, em particular, da amplitude do movimento.

Porém, se
q não é pequeno, deveremos levar em conta cada vez mais termos na eq.(6.2) o que levará a uma equação de movimento, eq.(6.3), não-linear.
A eq.(6.1), como sabemos, não possui uma solução que possa ser posta em termos de funções 'elementares', requerendo o uso de funções elípticas (que é meramente outro modo de se dizer que não podemos 'explicitar' a solução). Como resultado final, fica patente entretanto, que o movimento, embora periódico, não é harmônico simples e, uma conseqüência disso é que a freqüência (e portanto o período) dependerá da amplitude --- um contraste marcante com o caso linear expresso pela eq.(6.3).

Isso nos leva a ver que, as observações de Galileu sobre o isocronismo das oscilações do lustre na catedral de Pisa (que tanto o impressionou!), não eram tão certas assim, afinal de contas!

                                   

Teoria padrão, comum nos livros de Física. Repare a aplicação do teorema de Steiner: IP=I0+md2.

(9)- Cilindro não-homogêneo  oscilando sobre superfície horizontal lisa: tomando-se os momentos em relação ao ponto A, eixo instantâneo de rotações, teremos, pela segunda lei de Newton para as rotações:

mas, pelo teorema dos eixos paralelos, IA = IO + mz2 fica:

Agora, para pequenos ângulos de rotações, para os quais valem cosq ~ = 1 e senq ~ = 0, fica:

(10)- Partícula caindo através do túnel  que passa pelo centro da Terra: é bastante conhecido que uma partícula que cai livremente dentro de uma massa com simetria esférica, só é atraída, efetivamente, pela porção de massa que a separa do centro dessa esfera. Isso pode parecer estranho a alguns alunos, por 'acharem' que ficarão mais pesados quanto mais se aproximarem do centro da Terra; mas, é fácil dissipar o derivado do senso comum
Quando se está 'fora' da Terra o peso de seu corpo pode ser pensado como uma só força, agindo num único sentido, e proveniente de toda a massa da Terra concentrada em seu centro. Quando se está 'dentro' da Terra, a força de atração das massas não se exerce num único sentido e sim em todos os sentidos. Seu corpo será 'puxado' para baixo pelas massas que se encontram sob ele e, simultaneamente, atraído para o alto pelas massas que se encontram sobre ele. Na verdade, só a massa que se encontra entre o corpo e o centro da Terra terá importância para a avaliação do 'atual' peso do corpo. Ao chegar ao centro da Terra o peso do corpo será zero uma vez que será atraído, em todos os sentidos, por forças que se equivalem.

Desse modo, se a distância da partícula (m) até o centro da Terra é r, a força gravitacional efetiva que age sobre ela será dada por:

FG = G.M'.m/r2

onde M' é a massa da esfera de raio r. Agora, assumindo que a Terra apresente uma distribuição uniforme de massas, podemos por:

de modo que a equação diferencial de movimento (com coordenada r) assumirá a forma:

Mas, por definição, a aceleração da gravidade nos pontos da superfície da Terra é  g = GM/R2 e, então, substituindo-se, temos:

w2 = g/R

Assumindo-se os valores g = 9,81 m/s2 e R = 6,37x106 m, o período de oscilação da partícula dentro desse túnel será:

T = 2p/w = 5 070 s = 84,5 minutos

Curiosamente, isso vale para qualquer túnel que atravesse horizontalmente a Terra segundo uma corda. Obviamente desprezando-se a resistência do ar ao movimento e considerando-se as condições de contorno da demonstração.

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Acústicos

(11)- Pistão oscilando no cilindro  cheio de gás: O módulo de compressão volumétrica do gás é dado por:

... eq.11.1 ...

onde V é o volume de equilíbrio, DP é a variação de pressão ao redor da pressão de equilíbrio e DV é a correspondente variação de volume. No caso proposto, DP = P - Po é a pressão acústica, isto é, o excesso da pressão instantânea P sobre a pressão de equilíbrio Po(normalmente a pressão atmosférica Patm.).

Se A é a área da seção reta do pistão e x = x(t) é o deslocamento medido a partir da posição de equilíbrio teremos, para a equação de movimento do pistão:

... eq.11.2 ...

Da eq.11.1 tiramos: DP = - B.DV/V, que levada na eq.11.2 fornece:

... eq.11.3 ...

A variação de volume (DV) pode ser posta sob a forma: DV = A.x, e teremos:

... eq.11.4 ...

Observamos novamente, pela eq.11.4, a lei de movimento do MHS e, da qual tiramos:

... eq.11.5 ...

Na prática, podemos distinguir dois casos: um para o processo isotérmico e outro para o adiabático. Esse último é normalmente o caso que se aplica aos fenômenos acústicos onde as variações de pressão são muito rápidas, de modo que toda troca de calor é negligenciável.

No caso do processo ser isotérmico teremos:

... eq.11.6 ...

Donde,

... eq.11.7 ...

Dessa última e da eq.11.5 tiramos:

...eq.11.8 ... "quadrado da pulsação no processo isotérmico".

No caso do processo ser adiabático teremos:

... eq.11.9 ...

onde g é a razão entre os coeficientes dos calores específicos à pressão constante e a volume constante (g = cp/cv).
Então:

... eq.11.10 ...

Dessa última e da eq.11.5 tiramos:

...eq.11.11... "quadrado da pulsação no processo adiabático".

 

(12) O ressoador de Helmholtz :  Nesse exemplo, o pistão indicado na (11) será substituído por um 'pescoço' de comprimento l e área da seção reta A.
Se assumirmos que toda a massa de ar contida nesse pescoço mova-se como um todo (para fazer as vezes de pistão), e assim o sistema apresentará apenas um grau de liberdade, poderemos substituir essa massa do 'pistão' por  m =
r.l.A , de modo que, pela eq.11.5 vem:

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Hidrostáticos

(13) Líquido oscilando em tubo em U : Para um deslocamento genérico x da superfície do líquido, contado a partir da posição de repouso (equilíbrio), a resultante das forças que age sobre a massa total oscilante é: - 2.r.A.g.x , onde r é a massa específica do líquido e A a área da seção reta do tubo, suposta constante. Essa resultante acelera toda a massa líquida que vale : 2.r.A(h+d). A equação diferencial de movimento será:

    

(14) Cilindro flutuando em líquidoNa situação de equilíbrio, indiquemos por: rL e rs as massas específicas, respectivamente, do líquido e do cilindro (sólido); V e V' os volumes total e da parte imersa do sólido. Pelo princípio de Arquimedes pomos:

   ... eq.14.1 ...

expressão que traduz o equilíbrio entre o peso do corpo sólido e o empuxo despertado sobre ele. 
A seguir, damos um pequeno deslocamento vertical (x - medido na vertical para cima) ao cilindro, retirando-o da situação de equilíbrio estático. Nessa situação, a resultante das forças sobre ele, na vertical, assume o valor:

... eq.14.2 ...

mas, pela eq.14.1, o primeiro e o terceiro termo cancelam-se, e a equação diferencial de movimento do corpo será:

Esse resultado pode ser expresso de outro modo, lembrando que, sendo a massa do corpo igual a 'rs.A.h', sendo h a altura do cilindro, podemos por:

  ... eq.14.5 ...

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Elétricos

(15)- Circuito Indutância-capacitância : Este circuito elétrico foi acrescentado à lista com o propósito de destacar a questão das 'analogias' existentes entre os sistemas mecânicos e os circuitos elétricos. Entenda-se por sistemas 'análogos' aqueles cujas equações diferenciais do movimento são matematicamente as mesmas. Quando isso acontece, os termos correspondentes nas equações diferenciais do movimento são análogas.

O encaminhamento básico para estudar os circuitos elétricos equivalentes aos sistemas mecânicos são as leis de Kirchhoff:

1a lei (das tensões): A soma algébrica de todas as tensões em qualquer percurso elétrico fechado (malha) é igual a zero;
2a lei (das correntes): A soma algébrica de todas as correntes que passam por um nó é igual a zero, em qualquer circuito.

Há duas analogias elétricas para os sistemas mecânicos: 

(a) a analogia 'tensão-força' (ou indutância-massa) e 
(b) a analogia 'corrente-força' (ou capacitância-massa).

Para a maioria dos sistemas usa-se da (a). O quadro, a seguir, mostra ambas as analogias:

Sistema Mecânico Sistema Elétrico Sistema Elétrico
Analogia

Tensão-força

Corrente-força

Princípio D'Alembert 1a lei Kirchhoff 2a lei Kirchhoff
Grau de liberdade Malha
Força aplicada - F Tensão - U Corrente - i
Massa - m Indutância - L Capacitância - C
Deslocamento - x Carga - q f = (integral)U.dt
Velocidade - dx/dt Corrente - i Tensão -nó- U
Amortecimento - c Resistência - R  Condutância - 1/R
Mola - k 1/capacitância - 1/C 1/indutância - 1/L

Regra para circuitos elétricos equivalentes aos sistemas mecânicos:

"Se as forças atuarem em série no sistema mecânico, os elementos que representam essas forças são associados em paralelo; forças em paralelo são representadas por elementos em série, em circuitos elétricos."

Nota: A fim de que a analogia elétrica seja completamente equivalente ao sistema mecânico em questão, é usada a análise dimensional para obter a escala correta de fatores, para que os dois sistemas fiquem idênticos. Os 'números', a seguir, podem ser obtidos da análise dimensional:

Posto isso, vamos mostrar as analogias entre os sistemas (1- massa-mola) e (15- indutância -capacitância). Usaremos do texto e das ilustrações, a seguir:

"Um circuito elétrico contém um capacitor C, um indutor L e uma chave interruptora ch, em série.

O capacitor tem, inicialmente, uma carga qo e a chave ch é mantida aberta para t < 0. Se a chave é fechada em t = 0, achar a carga subseqüente no capacitor."

Usando a 1a lei de Kirchhoff para a malha em questão temos:

Compare esse circuito elétrico (a) com o sistema massa-mola (b), com um grau de liberdade.
A equação desse movimento, como vimos é:

onde xo é o deslocamento inicial (amplitude) da massa m a contar da posição de equilíbrio estático.

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Extras

(16) Prancha sobre cilindros : Uma prancha horizontal repousa em A e B sobre dois roletes (cilindros), os quais giram com mesma velocidade angular w, porém em sentidos opostos (A   horário, B anti-horário). De início a prancha homogênea está centrada entre os dois roletes, ou seja, o CG da prancha coincide com o ponto médio entre os dois apoios. A distância entre os eixos dos roletes é 2a. A prancha encontra-se em repouso (equilíbrio), e a distância do CG a qualquer dos apoios é a.
Nessa situação, tomando-se B como pólo para os momentos das forças, as equações de equilíbrio são:

FA + FB = P (1a condição)   e  FA.2a - P.a = 0  (2a condição)

donde resulta:                                              FA = FB = P/2

A seguir, vamos dar um pequeno deslocamento horizontal x para a prancha, retirando-a de sua condição de equilíbrio. Como o CG desloca-se de uma distância x para a direita (vide ilustração), a força de atrito em B será maior do que em A, tendendo a restituir a prancha à sua posição inicial (a resultante das forças sobre a prancha é de restituição). A seguir, mostraremos que essa resultante é também do tipo elástica, ou seja, seu módulo é proporcional ao deslocamento. Vejamos:

O equilíbrio na vertical e os momentos tomados em relação a B nos fornecem:

onde P = m.g é o peso da prancha e FA  e  FB são as forças verticais para cima exercidas pelos roletes contra a prancha.
Da eq.16.1 e da eq.16.2 tiramos:

As forças de atrito despertadas em A e B serão, como sabemos, proporcionais às forças FA e FB, ou sejam: fat.A = m.FA  e fat.B = m.FB , tendo mesma direção (horizontal) e sentidos opostos (ambas dirigidas para o CG). Assim, a resultante das forças que agem sobre a prancha será:

Obtida a resultante, função de x (e observe que seu módulo é proporcional ao deslocamento), a equação diferencial de movimento da prancha será:

... eq.16.5 ...

o que implica num MHS, com freqüência angular dada por:

  ... eq.16.6 ...

Se os roletes girassem em sentidos opostos ao indicado nas ilustrações, a situação seria bastante diferente. A nova resultante será:

  ... eq.16.7 ...

e a equação diferencial de movimento torna-se:

  ... eq.16.8 ...

que apresenta solução hiperbólica do tipo:

  ... eq.16.9 ...

onde A, B, C e D são constantes e

... eq.16.10 ...

A natureza do movimento, nessa última situação, depende essencialmente das condições iniciais, isto é, dos valores de x e de dx/dt no instante t = 0, uma vez que esses valores determinarão as constantes A e B (ou C e D). Observe a possibilidade que, para x = 0, o equilíbrio é instável.

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17- Oscilador não-harmônico simples:
Considere a roda de raio a girando com velocidade angular constante w. A um ponto de sua periferia está pivotado um extremo do eixo de manivela de comprimento l ,que pode girar livremente. O outro extremo dessa manivela é vinculado e obrigado a percorrer o eixo x, que passa pelo centro da roda.
Em vários compêndios o movimento desse extremo do eixo de manivela, vinculado ao eixo x, é assumido como MHS. Entretanto, esse extremo, apesar de realizar um movimento periódico de freqüência angular (ou pulsação) 
w, não é harmônico simples. 
Já fizemos alguns comentários sobre isso no projeto
"Figuras de Lissajous em 3D" da Sala 10.  
Mostraremos mais, sobre isso, a seguir: 

(17) Movimento do extremo da manivela : Tomemos como eixo dos x a linha ao longo da qual desloca-se o extremo direito da manivela, com origem no centro da roda ou biela. As coordenadas desse ponto extremo será (x,0). Com isso teremos:

... eq.17.1 ...

Resolvendo essa equação para x = x(t) obtemos:

... eq.17.2 ...

Uma vez que  , haverá valores reais para x desde que a condição seja satisfeita. A eq.17.2 mostra que o movimento é periódico com período T = 2p/w, mas não é harmônico simples, exceto em dois casos extremos:

(a) Quando l = a, teremos as soluções x = 0  ou  x = 2a.cosw t, MHS de amplitude 2a.
(b) Se
l >> a (muito maior que a), de modo que tenhamos l / a >> 1, teremos a partir da eq.17.2 os seguintes resultados aproximados:

x = a cosw t + l          e         x = a cosw t - l

O que indica um MHS com amplitude a, mas com posição de equilíbrio deslocada em relação ao centro da roda.

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