16
em 1 ... o M.H.S.
(Movimento harmônico
simples)
Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br
Introdução
O movimento harmônico simples pode
ser examinado sob vários pontos de vista e, sem dúvida, muitos textos já
os exploraram, culminando com exemplos físicos para esse tipo de
movimento. Entretanto, como tenho observado, os professores do ensino médio
assim como os do curso fundamental universitário, restringem-se quase que
exclusivamente ao sistema massa-mola ou então ao pêndulo simples
executando oscilações de pequenas amplitudes.
Isso parece-me um tanto injusto com a natureza das coisas, uma vez que, tal
lei de movimento aparece em muitos outros campos da física, pelo menos
dentro de uma boa aproximação. O propósito desse texto é chamar a atenção
para esse fato e, talvez, tornar-se útil para aulas introdutórias tanto a
nível médio como fundamental universitário. [voltar]
Descrição
Colecionei aqui 16 fenômenos distintos lastrados na lei fundamental
do MHS (aceleração proporcional à elongação, com sinal
trocado). Alguns deles são bem conhecidos, outros menos. Nem todos os fenômenos
são independentes um do outro; todos os sistemas elásticos, por exemplo,
executam vibrações que, no fundo, são devidas à lei de Hooke. Do ponto
de vista prático, entretanto, eles podem ser considerados como distintos e
assim, foi listado como tal.
No fechamento do texto, apresento um sistema famoso, cujas vibrações não
são harmônicas simples, embora à primeira vista possam parecer como tal.
Isso foi posto para despertar no leitor que, embora o MHS seja muito comum,
nem todas as vibrações que observamos, mesmo no dia-a-dia, sejam desse
tipo. As vibrações consistem, de fato, num assunto muito interessante e
rico em detalhes. [voltar]
Condições
de contorno
Em todos os casos foi assumido que o sistema apresenta apenas um grau de
liberdade, isto é, apresenta uma única coordenada executando o MHS.
Portanto, fenômenos que envolvam vibrações como as que vemos num diapasão
ou na superfícies dos líquidos quando perturbadas, embora próximos do
movimento harmônico simples, não foram incluídos na coleção porque
eles envolvem sistemas contínuos, ou seja, apresentam um número infinito
de graus de liberdade. Esses serão úteis, outrossim, para o estudo das
ondas.
Também foi pressuposto que não ocorre qualquer dissipação de energia no
sistema abordado; isso, em alguns exemplos citados, é até bem plausível,
em outros, como o de um corpo imerso em um líquido, essa suposição não
se justifica no todo, uma vez que as vibrações serão rapidamente
amortecidas.
Outro pressuposto refere-se à amplitude das oscilações, as quais
tomaremos como suficientemente pequenas, de modo que o sistema apresente
comportamento linear. [voltar]
Ilustrações
Em cada caso a figura dá os parâmetros físicos relevantes do problema,
assim como qual é a coordenada que executa o movimento medida a partir da
posição de equilíbrio. A propriedade de destaque do sistema, nomeada de
'constante de força', na equação
fundamental do MHS (aceleração = - 'constante de
força' x coordenada em MHS), que traduz o 'quadrado da pulsação'
(em radianos/segundo) ou o 'quadrado da freqüência angular' é, também,
apresentada nessa ilustração, em termos das constantes físicas do
sistema. [voltar]
Técnica
das demonstrações
O aluno do ensino médio poderá estranhar 'um pouco' a técnica para a
obtenção da propriedade de destaque do sistema oscilante; o do ensino
superior reconhecerá imediatamente ser um 'caminho natural'.
Isso advém do fato de que o aluno do ensino médio 'aprende' o movimento
por vias cinemáticas e, para ele, é 'natural' a seqüência: lei
horária (definindo o movimento), lei da velocidade e lei de aceleração,
passando da anterior para a posterior por derivações sucessivas: v
= ds/dt e a = dv/dt = d2s/dt2.
O aluno do ensino superior assume como 'natural' o caminho inverso
(tratamento dinâmico), que é o aqui adotado. A técnica, portanto,
resume-se em:
(a)
reconhecer as forças que agem no corpúsculo em sua posição de equilíbrio;
(b) afastar, ligeiramente, o corpúsculo dessa posição de equilíbrio
(afastamento linear ou angular);
(c) caracterizar a resultante das forças que agem no corpúsculo como
sendo de restituição, do tipo elástica;
(d) aplicar o princípio fundamental da dinâmica (2a lei de
Newton - para translação ou rotação);
(e) obter a aceleração (linear ou angular) em função do deslocamento
dado ao corpúsculo.
A
(e) deve resultar em "aceleração é
diretamente proporcional ao deslocamento, com sinal oposto". A
'constante de proporcionalidade' nessa expressão é a nossa
"constante de força do sistema" ou o "quadrado da pulsação
do movimento".
Nessa técnica, por simplicidade de notação usaremos, quando necessário,
por exemplo,
Uma
vez obtido o "quadrado da pulsação"
(w2),
que caracteriza o movimento em função das constantes do sistema
oscilante, poderemos equacionar o período de movimento (T), mediante: T =
2p/w.
Os exemplos 'menos famosos' serão analisados com alguns detalhes. [voltar]
Propósito
e agradecimento
Obviamente, esta coleção pode
ser ampliada (e, para tanto aguardo participações) para incluir muitas
variações dos casos apresentados, como por exemplo, o do cilindro que
rola sobre uma curva côncava, em lugar de uma superfície plana. O propósito
da coleção não é tanto investigar o comportamento físico de cada
sistema (para isso há os compêndios apropriados, e não estranharia
encontrá-los na www --- os quais incluirei aqui assim que descobri-los!) e
sim enfatizar a analogia matemática entre eles.
Agradeço a todos que vierem a colaborar com a ampliação desse texto,
enviando críticas e sugestões.
Espero que encontrem utilidade para o trabalho. [voltar]
Elasticidade
Importante:
Observe atentamente que g (aceleração da gravidade) não interfere
nas oscilações próprias do sistema. Há alunos que concordam de
imediato, tratar-se de um MHS, quando o bloco oscila na horizontal, sobre a
mesa lisa, mas relutam em aceitá-lo quando oscila na vertical, "por
causa do peso". Para excluir, por definitivo, essa relutância,
recomendo a leitura do texto posto na Sala de Leituras/Teorias
Recomendadas (Sala 19), com o título: Período
de oscilação.
T
é a tração na corda, constante durante as oscilações de pequenas
amplitudes, isto é, nas situações onde podemos aceitar as substituições:
senq =q e cosq
= 1. Para tais situações, perceba que a força
de restituição sobre a partícula de massa m, deslocada de x de sua posição
de equilíbrio é T(x/b + x/a) de modo que:
T(x/b
+ x/a) = -m.g = - m.(d2x/dt2)
logo:
d2x/dt2 = - (T/m)(1/a + 1/b).x ==> k = w2
= (T/m)(1/a + 1/b) , como se indica na ilustração
acima.
Especificamente,
I é o momento de inércia polar da secção reta da barra, que é
constante.
O
disco circular apresenta momento de inércia I em relação ao eixo de rotação;
J é o momento de inércia polar da secção circular transversal do eixo
de diâmetro d. Importante não confundir 'momento de inércia polar J da
área (cuja dimensão é -- comprimento2 --) com o 'momento de
inércia I da massa (cuja dimensão é -- força x tempo2 x
comprimento --).
Os
fenômenos elásticos aplicados aos gases estarão sob o título 'Acústicos'.
[voltar]
Gravitacionais
g = aceleração local da gravidade
(6)-
Pêndulo matemático (ou simples): Embora este exemplo de
movimento seja bem conhecido, provavelmente o mais conhecido de todos, vale
a pena analisa-lo uma vez que serve de 'âncora' para ilustrar o fato de
que o comportamento harmônico simples de todos os sistemas é só uma
aproximação; uma boa aproximação, baseada na suposição de 'oscilações
de pequenas amplitudes'.
Assumindo-se
como a coordenada em questão como sendo q
= q(t), sendo
q
o ângulo de deflexão com a
vertical (algumas vezes essa coordenada é tomada como sendo a projeção
horizontal x = x(t)), e tomando os momentos das forças assim como
os momentos de inércia em relação ao pivô podemos, aplicando a segunda
lei de Newton para as rotações [resultante dos momentos das forças
= momento de inércia vezes aceleração angular], escrever:
... eq.(6.1) ...
Agora
podemos expressar senq
como uma série de potências que
converge para todos os valores de q,
isto é:
... eq.(6.2) ...
Se q
é suficientemente pequeno (mais
precisamente, se todas as potências mais altas de q
são desprezíveis em comparação
com q)
então, para uma aproximação, podemos substituir senq
por q
e a eq.(6.1) torna-se:
... eq.(6.3) ...
Que
é a exata equação diferencial do M.H.S., o que implica numa freqüência
angular w
= (g/l)1/2 e período T =
2p(l/g)1/2
, ambos independentes das condições iniciais e, em
particular, da amplitude do movimento.
Porém, se q
não é pequeno, deveremos levar em
conta cada vez mais termos na eq.(6.2) o que levará a uma equação de
movimento, eq.(6.3), não-linear.
A eq.(6.1), como sabemos, não possui uma solução que possa ser posta em
termos de funções 'elementares', requerendo o uso de funções elípticas
(que é meramente outro modo de se dizer que não podemos 'explicitar' a
solução). Como resultado final, fica patente entretanto, que o movimento,
embora periódico, não é harmônico simples e, uma conseqüência disso
é que a freqüência (e portanto o período) dependerá da amplitude ---
um contraste marcante com o caso linear expresso pela eq.(6.3).
Isso
nos leva a ver que, as observações de Galileu sobre o isocronismo das
oscilações do lustre na catedral de Pisa (que tanto o impressionou!), não
eram tão certas assim, afinal de contas!
Teoria padrão,
comum nos livros de Física. Repare a aplicação do teorema de Steiner: IP=I0+md2.
(9)-
Cilindro não-homogêneo oscilando sobre superfície
horizontal lisa: tomando-se os momentos em relação ao ponto A, eixo
instantâneo de rotações, teremos, pela segunda lei de Newton para as
rotações:
mas,
pelo teorema dos eixos paralelos, IA = IO + mz2
fica:
Agora,
para pequenos ângulos de rotações, para os quais valem cosq
~ = 1 e senq
~ = 0, fica:
(10)-
Partícula caindo através do túnel que passa pelo centro da
Terra: é bastante conhecido que uma partícula que cai livremente dentro
de uma massa com simetria esférica, só é atraída, efetivamente, pela
porção de massa que a separa do centro dessa esfera. Isso pode parecer
estranho a alguns alunos, por 'acharem' que
ficarão mais pesados quanto mais se aproximarem do centro da Terra; mas,
é fácil dissipar o derivado do senso comum.
Quando se está 'fora' da Terra o peso de seu
corpo pode ser pensado como uma só força, agindo num único sentido, e
proveniente de toda a massa da Terra concentrada em seu centro. Quando se
está 'dentro' da Terra, a força de atração
das massas não se exerce num único sentido e sim em todos os sentidos.
Seu corpo será 'puxado' para baixo pelas massas que se encontram sob ele
e, simultaneamente, atraído para o alto pelas massas que se encontram
sobre ele. Na verdade, só a massa que se encontra entre o corpo e o centro
da Terra terá importância para a avaliação do 'atual' peso do corpo. Ao
chegar ao centro da Terra o peso do corpo será zero uma vez que será atraído,
em todos os sentidos, por forças que se equivalem.
Desse
modo, se a distância da partícula (m) até o centro da Terra é r,
a força gravitacional efetiva que age sobre ela será dada por:
FG = G.M'.m/r2
onde
M' é a massa da esfera de raio r. Agora, assumindo que a Terra
apresente uma distribuição uniforme de massas, podemos por:
de
modo que a equação diferencial de movimento (com coordenada r)
assumirá a forma:
Mas,
por definição, a aceleração da gravidade nos pontos da superfície da
Terra é g = GM/R2 e, então, substituindo-se, temos:
w2
= g/R
Assumindo-se
os valores g = 9,81 m/s2 e R = 6,37x106 m, o período
de oscilação da partícula dentro desse túnel será:
T = 2p/w
= 5 070 s = 84,5 minutos
Curiosamente,
isso vale para qualquer túnel que atravesse horizontalmente a Terra
segundo uma corda. Obviamente desprezando-se a resistência do ar ao
movimento e considerando-se as condições de contorno da demonstração.
[voltar]
Acústicos
(11)-
Pistão oscilando no cilindro cheio de gás: O módulo de
compressão volumétrica do gás é dado por:
... eq.11.1 ...
onde
V é o volume de equilíbrio, DP
é a variação de pressão ao redor da pressão de equilíbrio e DV
é a correspondente variação de volume. No caso proposto, DP
= P - Po é a pressão acústica, isto é, o excesso da pressão
instantânea P sobre a pressão de equilíbrio Po(normalmente a
pressão atmosférica Patm.).
Se
A é a área da seção reta do pistão e x = x(t) é o deslocamento medido
a partir da posição de equilíbrio teremos, para a equação de movimento
do pistão:
... eq.11.2 ...
Da
eq.11.1 tiramos: DP
= - B.DV/V,
que levada na eq.11.2 fornece:
 ...
eq.11.3 ...
A
variação de volume (DV)
pode ser posta sob a forma: DV
= A.x, e teremos:
 ...
eq.11.4 ...
Observamos
novamente, pela eq.11.4, a lei de movimento do MHS e, da qual tiramos:
 ...
eq.11.5 ...
Na
prática, podemos distinguir dois casos: um para o processo isotérmico
e outro para o adiabático. Esse último é normalmente o caso que
se aplica aos fenômenos acústicos onde as variações de pressão são
muito rápidas, de modo que toda troca de calor é negligenciável.
No
caso do processo ser isotérmico teremos:
 ...
eq.11.6 ...
Donde,
 ...
eq.11.7 ...
Dessa
última e da eq.11.5 tiramos:
 ...eq.11.8
... "quadrado da pulsação no processo isotérmico".
No
caso do processo ser adiabático teremos:
 ...
eq.11.9 ...
onde g
é a razão entre os coeficientes dos
calores específicos à pressão constante e a volume constante (g
= cp/cv).
Então:
 ...
eq.11.10 ...
Dessa
última e da eq.11.5 tiramos:
 ...eq.11.11...
"quadrado da pulsação no processo adiabático".
(12)
O ressoador de Helmholtz : Nesse exemplo, o pistão
indicado na (11) será substituído por um 'pescoço' de comprimento
l
e área da seção reta A.
Se assumirmos que toda a massa de ar contida nesse pescoço mova-se como um
todo (para fazer as vezes de pistão), e assim o sistema apresentará
apenas um grau de liberdade, poderemos substituir essa massa do
'pistão' por m = r.l.A
, de modo que, pela eq.11.5 vem:
[voltar]
Hidrostáticos
(13)
Líquido oscilando em tubo em U : Para um deslocamento genérico x
da superfície do líquido, contado a partir da posição de repouso (equilíbrio),
a resultante das forças que age sobre a massa total oscilante é: - 2.r.A.g.x
, onde r é
a massa específica do líquido e A a área da seção reta do tubo,
suposta constante. Essa resultante acelera toda a massa líquida que vale :
2.r.A(h+d).
A equação diferencial de movimento será:
(14)
Cilindro flutuando em líquido : Na situação de equilíbrio,
indiquemos por: rL
e rs
as massas específicas, respectivamente, do líquido e do cilindro (sólido);
V e V' os volumes total e da parte imersa do sólido. Pelo princípio de
Arquimedes pomos:
... eq.14.1 ...
expressão
que traduz o equilíbrio entre o peso do corpo sólido e o empuxo
despertado sobre ele.
A seguir, damos um pequeno deslocamento vertical (x - medido na vertical
para cima) ao cilindro, retirando-o da situação de equilíbrio estático.
Nessa situação, a resultante das forças sobre ele, na vertical, assume o
valor:
... eq.14.2 ...
mas,
pela eq.14.1, o primeiro e o terceiro termo cancelam-se, e a equação
diferencial de movimento do corpo será:
Esse
resultado pode ser expresso de outro modo, lembrando que, sendo a massa do
corpo igual a 'rs.A.h',
sendo h a altura do cilindro, podemos por:
... eq.14.5 ...
[voltar]
Elétricos
(15)-
Circuito Indutância-capacitância : Este circuito elétrico foi
acrescentado à lista com o propósito de destacar a questão das
'analogias' existentes entre os sistemas mecânicos e os circuitos elétricos.
Entenda-se por sistemas 'análogos' aqueles cujas equações diferenciais
do movimento são matematicamente as mesmas. Quando isso acontece, os
termos correspondentes nas equações diferenciais do movimento são análogas.
O
encaminhamento básico para estudar os circuitos elétricos equivalentes
aos sistemas mecânicos são as leis de Kirchhoff:
1a
lei (das tensões): A soma algébrica de todas as tensões em qualquer
percurso elétrico fechado (malha) é igual a zero;
2a lei (das correntes): A soma algébrica de todas as correntes
que passam por um nó é igual a zero, em qualquer circuito.
Há
duas analogias elétricas para os sistemas mecânicos:
(a)
a analogia 'tensão-força' (ou indutância-massa) e
(b) a analogia 'corrente-força' (ou capacitância-massa).
Para
a maioria dos sistemas usa-se da (a). O quadro, a seguir, mostra ambas as
analogias:
| Sistema Mecânico |
Sistema Elétrico |
Sistema Elétrico |
| Analogia |
Tensão-força |
Corrente-força |
| Princípio D'Alembert |
1a lei
Kirchhoff |
2a lei
Kirchhoff |
| Grau de liberdade |
Malha |
Nó |
| Força aplicada - F |
Tensão - U |
Corrente - i |
| Massa - m |
Indutância - L |
Capacitância - C |
| Deslocamento - x |
Carga - q |
f =
(integral)U.dt |
| Velocidade - dx/dt |
Corrente - i |
Tensão -nó- U |
| Amortecimento - c |
Resistência - R |
Condutância -
1/R |
| Mola - k |
1/capacitância - 1/C |
1/indutância - 1/L |
Regra
para circuitos elétricos equivalentes aos sistemas mecânicos:
"Se
as forças atuarem em série no sistema mecânico, os elementos que
representam essas forças são associados em paralelo; forças em paralelo
são representadas por elementos em série, em circuitos elétricos."
Nota:
A fim de que a analogia elétrica seja completamente equivalente ao sistema
mecânico em questão, é usada a análise
dimensional para obter a escala correta de fatores, para que os dois
sistemas fiquem idênticos. Os 'números', a seguir, podem ser obtidos da
análise dimensional:
Posto
isso, vamos mostrar as analogias entre os sistemas (1- massa-mola) e (15-
indutância -capacitância). Usaremos do texto e das ilustrações, a
seguir:
"Um
circuito elétrico contém um capacitor C, um indutor L e uma chave
interruptora ch, em série.
O
capacitor tem, inicialmente, uma carga qo e a chave ch é
mantida aberta para t < 0. Se a chave é fechada em t = 0, achar a carga
subseqüente no capacitor."
Usando
a 1a lei de Kirchhoff para a malha em questão temos:
Compare
esse circuito elétrico (a) com o sistema massa-mola (b), com um grau de
liberdade.
A equação desse movimento, como vimos é:
onde
xo é o deslocamento inicial (amplitude) da massa m a contar da
posição de equilíbrio estático.
[voltar]
Extras
(16)
Prancha sobre cilindros : Uma prancha horizontal repousa em A e B
sobre dois roletes (cilindros), os quais giram com mesma velocidade angular
w,
porém em sentidos opostos (A horário, B anti-horário). De início
a prancha homogênea está centrada entre os dois roletes, ou seja, o CG da
prancha coincide com o ponto médio entre os dois apoios. A distância
entre os eixos dos roletes é 2a. A prancha encontra-se em repouso (equilíbrio),
e a distância do CG a qualquer dos apoios é a.
Nessa situação, tomando-se B como pólo para os momentos das forças, as
equações de equilíbrio são:
FA + FB
= P (1a condição) e FA.2a - P.a =
0 (2a condição)
donde
resulta:
FA = FB = P/2
A
seguir, vamos dar um pequeno deslocamento horizontal x para a prancha,
retirando-a de sua condição de equilíbrio. Como o CG desloca-se de uma
distância x para a direita (vide ilustração), a força de atrito em B
será maior do que em A, tendendo a restituir a prancha à sua posição
inicial (a resultante das forças sobre a prancha é de restituição). A
seguir, mostraremos que essa resultante é também do tipo elástica, ou
seja, seu módulo é proporcional ao deslocamento. Vejamos:
O
equilíbrio na vertical e os momentos tomados em relação a B nos
fornecem:
onde
P = m.g é o peso da prancha e FA e FB são
as forças verticais para cima exercidas pelos roletes contra a prancha.
Da eq.16.1 e da eq.16.2 tiramos:
As
forças de atrito despertadas em A e B serão, como sabemos, proporcionais
às forças FA e FB, ou sejam: fat.A = m.FA
e fat.B = m.FB
, tendo mesma direção (horizontal) e sentidos opostos (ambas dirigidas
para o CG). Assim, a resultante das forças que agem sobre a prancha será:
Obtida
a resultante, função de x (e observe que seu módulo é proporcional ao
deslocamento), a equação diferencial de movimento da prancha será:
... eq.16.5 ...
o
que implica num MHS, com freqüência angular dada por:
... eq.16.6 ...
Se
os roletes girassem em sentidos opostos ao indicado nas ilustrações, a
situação seria bastante diferente. A nova resultante será:
... eq.16.7 ...
e
a equação diferencial de movimento torna-se:
... eq.16.8 ...
que
apresenta solução hiperbólica do tipo:
... eq.16.9 ...
onde
A, B, C e D são constantes e
... eq.16.10 ...
A
natureza do movimento, nessa última situação, depende essencialmente das
condições iniciais, isto é, dos valores de x e de dx/dt no instante t =
0, uma vez que esses valores determinarão as constantes A e B (ou C e D).
Observe a possibilidade que, para x = 0, o equilíbrio é instável.
[voltar]
17- Oscilador
não-harmônico simples: Considere a
roda de raio a girando com velocidade angular constante w.
A um ponto de sua periferia está
pivotado um extremo do eixo de manivela de comprimento l
,que pode girar livremente. O outro
extremo dessa manivela é vinculado e obrigado a percorrer o eixo x, que
passa pelo centro da roda.
Em vários compêndios o movimento desse extremo do eixo de manivela,
vinculado ao eixo x, é assumido como MHS. Entretanto, esse extremo, apesar
de realizar um movimento periódico de freqüência angular (ou pulsação)
w,
não é harmônico simples.
Já fizemos alguns comentários sobre isso no projeto "Figuras
de Lissajous em 3D" da Sala
10.
Mostraremos mais, sobre isso, a seguir:
(17)
Movimento do extremo da manivela : Tomemos como eixo dos x a linha
ao longo da qual desloca-se o extremo direito da manivela, com origem no
centro da roda ou biela. As coordenadas desse ponto extremo será (x,0).
Com isso teremos:
... eq.17.1 ...
Resolvendo
essa equação para x = x(t) obtemos:
... eq.17.2 ...
Uma
vez que
 ,
haverá valores reais para x desde que a condição
seja satisfeita. A eq.17.2 mostra que o movimento é periódico com período
T = 2p/w,
mas não é harmônico simples, exceto em dois casos extremos:
(a)
Quando l =
a, teremos as soluções x = 0 ou x = 2a.cosw
t, MHS de amplitude 2a.
(b) Se l >>
a (muito maior que a), de modo que tenhamos l
/ a >> 1, teremos a partir da
eq.17.2 os seguintes resultados aproximados:
x = a cosw
t + l
e
x = a cosw
t - l
O
que indica um MHS com amplitude a, mas com posição de equilíbrio
deslocada em relação ao centro da roda.
[voltar]
|
