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A mecânica de Newton nos referenciais acelerados
( VPC =Vertical Para Cima )

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Introdução
É bastante comum o uso das palavras para cima e para baixo. Existe pouca ambigüidade quanto ao uso de ambas, em situações corriqueiras de experimentos locais, referenciados a sistemas coordenados, em repouso (ou em movimento retilíneo e uniforme) em relação à superfície da Terra. Essa ambigüidade já será marcante se tomarmos as impressões de observadores distintos sobre a superfície da Terra.

Na fig.0, quem tem razão ao afirmar :¾ Essa é a vertical para cima! ?

Essa simples indagação deixa claro, em vários níveis de interpretação, a ambigüidade no uso de tais palavras, mesmo assumindo referencial inercial ligado à Terra.

Em referenciais acelerados, tais como, carro ou elevador acelerados, carrossel ou satélite em órbita etc., as percepções de observadores a respeito de vpc (vertical para cima) ou vpb (vertical para baixo) serão completamente diferentes daquelas de outros observadores em referenciais inerciais.

Nesse artigo, orientado para alunos do nível médio e candidatos aos vestibulares --- área de Ciências Exatas --- recordamos alguns itens da mecânica newtoniana e examinaremos alguns aspectos dessas sensações em referenciais acelerados, à nível de 2° grau.

O VPCímetro
Antes de discutirmos que rumo toma o para cima ou o para baixo, vamos inventar um vpcímetro, ou seja, um aparelho que nos informe, sem sombra de dúvidas, qual é a direção vertical e, nessa direção, quais os sentidos para cima e para baixo.

Nosso vpcímetro nada mais é que o fio de prumo, ou um pêndulo simples, sempre em repouso em relação ao observador.

Assim, se o observador vê o pêndulo simples como na ilustração da fig.1, ele dirá: Vertical é a direção do fio, o sentido para baixo é aquele do ponto de suspensão para a bolinha do pêndulo e o sentido para cima é aquele da bolinha do pêndulo para o ponto de suspensão.

Para sofisticar nosso vpcímetro, vamos intercalar no fio do pêndulo um dinamômetro ideal (sua massa é negligenciável com respeito à massa da bolinha do pêndulo). Tal dinamômetro mostrará ao observador o peso da bolinha.

Experimentos corriqueiros realizados por observadores em repouso na superfície da Terra, tendo ao lado seu vpcímetro, mostram que:

a) Em geral as árvores e muitas plantas, crescem vpc;
b) as pessoas permanecem vpc;
c) o ar quente segue vpc em sua convecção;
d) um corpo em queda livre segue vpb;
e) a superfície livre de um líquido em um copo é perpendicular à vertical do vpcímetro;
f) as bolhas provenientes de um líquido em ebulição caminham vpc;
g) as raízes principais das plantam crescem vpb etc.

Referenciais acelerados corriqueiros
Examinaremos, a seguir, o comportamento de experimentos similares aos sugeridos acima, porém ocorrendo em situações simples de referenciais acelerados. Em cada caso, além dos equacionamentos necessários, daremos ênfase às respostas das seguintes perguntas:

I   ) Que rumo toma a vpc?
II  ) Qual o
peso de um corpo de massa m?
III) Qual a
aceleração de queda livre?

Vejamos, para efeito de comparações, algumas respostas dadas por um observador com aceleração nula em relação à superfície da Terra.

NOTA 1: Para esse observador, iniciante em Ciência, será perfeitamente permitido negligenciar as acelerações orbitais e a rotação própria da Terra.

A aceleração (g) de um corpo em queda livre tem direção vertical (dada pelo seu vpcímetro), sentido para baixo e intensidade igual à da aceleração imposta exclusivamente pela gravidade (gg), de 9,8 m/s2, bem de acordo com a Lei da Atração Gravitacional, do inverso do quadrado da distância, de Newton.

NOTA 2: Se o observador iniciante não desconsiderasse a rotação da Terra, sabe-se perfeitamente que no equador, a aceleração de queda livre (g) é menor que a aceleração devida à gravidade (gg) em coisa de 0,3%. É sempre bom lembrar que o valor de (gg) é sensivelmente o mesmo para todos os pontos da superfície da Terra; quem varia, em função da latitude do ponto considerado é o valor de g (aceleração de queda livre, ou aceleração local ou aceleração aparente). Para não deixar dúvidas é que adotamos as notações:

(gg)- aceleração devida exclusivamente à gravidade (campo de gravidade da Terra à nível de sua superfície) e

(g)- aceleração de uma queda livre, no local da superfície da Terra e no referencial adotado para determiná-la.

Esse g não tem características dadas somente pela atração gravitacional da Terra, mas também pelas acelerações associadas à rotação da Terra. Infelizmente, muitos livros tabelam g com o título de valores da aceleração da gravidade em diversos locais.

VPCímetro no elevador
Coloquemos um vpcímetro preso ao teto de um elevador com aceleração nula, conforme ilustra a fig.2 (A).

Na massa (m) do pêndulo, cuja aceleração é nula, pela Segunda Lei de Newton, deve-se ter:

S F = m.a = 0

As duas forças que atuam nessa massa são: a força gravitacional ( m.gg ), vpb e a força de tração devida ao fio (T), vpc.

Então, na direção do fio:

F = T + m.gg = O

\ T = - m.gg

Respostas às três perguntas:

I) vpc é a direção e sentido da força T.

II) O peso da esfera é o oposto de T, assim:

P = - T = m.gg Û | P | = | T | onde | T | é o valor lido no dinamômetro.

III) A aceleração g numa queda livre da bolinha do pêndulo, nesse elevador, será dada por seu peso divido pela sua massa:

g = P/m = m.gg /m = gg

Nesse elevador, o piso será horizontal se for perpendicular à direção de T (ou P). Uma superfície horizontal, na condição imposta, será denominada nível. Ela poderá ser constatada pelo nível de bolha, instrumento indispensável, por exemplo, aos pedreiros.

Nesse exemplo visto, vpc (e observador) dentro do elevador, coincide integralmente com as noções de vpc do observador em repouso na superfície da Terra. Na verdade, as três respostas dadas são válidas para os dois observadores.

Comentando ...
Não espere que isso aconteça também com relação aos referenciais acelerados. Vpc para o observador nesses referenciais, confirmado pelo vpcímetro, não coincidirá com o vpc do observador no referencial inercial. O rumo da vertical, em geral, será diferente. As próprias superfícies de nível poderão ou não serem planas. Se uma superfície de nível for plana no referencial acelerado, ela poderá ou não, ser a horizontal do observador inercial.

Os pesos dos objetos no referencial acelerado, denominados por alguns autores como pesos aparentes, assim como suas acelerações de queda livre , denominadas pelos mesmos autores como acelerações aparentes, serão diferentes daqueles observados no referencial inercial. O peso P e a aceleração g , na queda livre, dependerão de gg e da aceleração a do sistema de referência, mas essas grandezas estarão sempre relacionadas entre si através da expressão :

P = m.g

Embora focalizemos nossa atenção nas expressões vetoriais que permitam a obtenção de g no referencial acelerado, nada impede sua determinação experimental;

(a) quer mediante régua e cronômetro usando: s = gt2/2 ,se g for constante,

(b) quer mediante a medida do período das pequenas oscilações do pêndulo simples de comprimento L : T = 2p (L/g)1/2.

Elevador com aceleração ascendente
A fig.2 (B) ilustra a situação, mostrando o elevador e o vpcímetro preso ao seu teto, ambos com aceleração ascendente a.

Convencionemos aqui o sentido ascendente como positivo e o sentido descendente como negativo, como referências algébricas para as intensidades das forças e acelerações.

A resultante das forças sobre a massa da bolinha é ( T + m.gg ), que deve ser igual a m.a, ou:

T + m.gg = m.a (P.F.D.)
donde
T = m( a - gg )
Œ

onde gg = - 9,8 m/s2 (valor algébrico).

Respostas às três questões:

I) A direção e o sentido da força T fornecem a vpc no interior do elevador.

II) O peso da bolinha de massa m é o oposto da força T, cuja intensidade é a indicada pelo dinamômetro. Indiquemos isso:

P = - T = - m( a - gg ) ou P = m( gg - a ) 

III) A aceleração g ,na queda livre da bolinha será:

g = P/m = - m( a - gg)/m = gg - a ou g = gg - a Ž

NOTA 3:
Cuidado com o resultado
Ž , trata-se de uma subtração vetorial (ou geométrica) e não algébrica. A subtração do vetor a do vetor gg é um vetor que se obtém adicionando-se vetorialmente ao vetor gg um vetor oposto a a.
No caso, o vetor gg - a é vpb.

Atende para o fato de que o valor de g nesse referencial acelerado é maior que o valor de gg .

Estar num elevador, como o do exemplo, seria equivalente a estar num elevador em repouso ( ou m.r.u. ) na superfície de um planeta (veja figura 2 C ao lado), cuja aceleração, devida exclusivamente à gravidade tivesse, em sua superfície, o valor

| gg - a |

Elevador com aceleração descendente
A fig.3 (A) ilustra um elevador com aceleração descendente (a é negativo), com

| a | < | gg | .

As expressões vetoriais Œ ,  e Ž , vistas acima, ainda são válidas. A força T que o fio exerce na bolinha de massa m, é positiva, portanto, um observador no elevador e um observador estacionário darão a mesma informação: vpc.

Entretanto, a intensidade da tração na corda (dada pelo dinamômetro do vpcímetro) é menor do que |m.gg|.

Estar nesse elevador seria equivalente a estar num planeta com aceleração gravitacional menor que a da Terra. A medição da aceleração de uma queda livre, nesse elevador, daria como resultado, um valor menor que 9,8 m/s2.

Se os cabos que sustentam o elevador fossem cortados, teríamos a situação da fig.3 (B), onde o elevador e seu conteúdo estão em queda livre (a = gg ). Para tal situação, tendo-se em vista a expressão Œ , a força T é nula, portanto não existe direção identificável que possa ser chamada de vertical. O fio toma a forma de uma linha sinuosa qualquer.

Dessa forma, o peso (P = - T) da massa m e a medida da aceleração de queda livre (g), são ambos nulos. Essa é a condição de perda de peso.

Mais comentários sobre essa imponderabilidade serão vistos na situação dos satélites artificiais. De qualquer modo, fique atento ¾ quem se anula é o peso da bolinha em relação ao referencial do elevador; a força gravitacional ( Fg = m.gg ) continua existindo.

Vamos discutir agora a situação ilustrada na fig.3 (C), com o elevador acelerado em sentido ao centro da Terra, com aceleração a, onde |a| > | gg |. Você pode imaginar o elevador da fig.3 (A) visto de ponta cabeça, onde agora o cabo é utilizado para acelerá-lo no rumo que o observador estacionário chamaria de vpb. Nessa situação, nosso observador no interior do elevador também será visto pelo observador estacionário, de ponta cabeça.

A força T que o fio do vpcímetro exerce na massa da bolinha continua a ser dada pela expressão Œ , só que agora, o observador interno a identifica como vpc e o estacionário como vpb. Para ambos, vpc e vpb coincidem com a orientação da aceleração a.

Para o observador no interior do elevador as respostas às nossas três perguntas são:

I) Vpc é a direção do fio BC e o sentido é de B para C (o observador estacionário dirá ser vpb).

II) O peso P da massa m está expresso corretamente pela equação vetorial  , com orientação vpc. Continua a ser |P| = |T|, indicado pelo dinamômetro do vpcímetro.

III) A medida da aceleração de queda livre vem expressa corretamente pela equação Ž . Nesse caso, a aceleração de queda livre, medida pelo observador do elevador, é positiva e vpc.

Desafios - Experimentos dentro do elevador acelerado
Constitui excelente exercício mental fazer-se perguntas sobre experimentos científicos realizados dentro de elevadores acelerados. Eis algumas propostas:

1) Pêndulo simples suspenso ao teto do elevador, oscilando com pequenas amplitudes.

Como o seu período é afetado pela aceleração do elevador, nas três situações da fig.3 ?

2) Um aquário posto no piso do elevador contém um peixe, uma bolha de ar que se desprende do fundo e uma bola de pingue-pongue. O elevador é acelerado verticalmente, nas três situações citadas. Existe alguma modificação na flutuação do peixe, na força ascensional na bolha ou na quantidade de líquido deslocado pelo bola?

A fim de solucionar essas questões, o melhor caminho mental é lembrar que, o efeito de uma aceleração é o mesmo que o aumento ou diminuição da força gravitacional. Tenha sempre presente que a (nova) aceleração g no interior do elevador é expressa vetorialmente por :

g = gg - a

Em algumas situações o efeito da aceleração é mais sutil e, um deslize na conceituação pode levar a soluções errôneas. Veja esse exemplo.

No piso do elevador tem-se um bloco de massa M, em repouso, ao qual vamos aplicar uma força horizontal F, no intuito de arrastá-lo sobre o piso. A intensidade da força de atrito despertada entre o bloco e o piso é dada, aproximadamente, por:

Fat = m .Fn 

onde Fntraduz a força normal de compressão, do bloco sobre o piso.

Via de regra, o aluno identifica | Fn | = | m.gg | , e a partir daí discute, confrontando | Fat | com | F |, as diversas possibilidades do escorregamento, repouso ou aceleração horizontal de M. Entretanto, com o elevador acelerado, por exemplo com a ascendente, a força normal Fn terá intensidade dada por :

| Fn | = | m.gg | + | m.a | 

Como uma conseqüência desse substancial aumento na força normal ocorrerá um aumento correspondente na força de atrito, podendo invalidar totalmente as possibilidades analisadas pelo aluno.

Recomendamos cuidados especiais para exercícios onde participam os empuxos exercidos por líquidos, sobre os corpos neles imersos, em referenciais acelerados.

Aceleração horizontal constante
Nosso vpcímetro será suspenso ao teto de um automóvel que está experimentando uma aceleração horizontal constante a, para a direita, como se ilustra na fig.4.

O fio do vpcímetro BC, no carro, fará um ângulo q com a vertical CD (a vertical do observador estacionário na estrada). Para o observador no interior do carro, a vertical será a direção do fio BC.

Calculemos o ângulo q , tendo-se em vista o diagrama de forças ilustrado na fig.4 (B).

As forças que agem na bolinha, vistas pelo observador estacionário são, a tração imposta pelo fio T (força de contato) e a força gravitacional Fg= m.gg (força de campo).

| T | pode ser facilmente obtido, pela simples leitura no dinamômetro do vpcímetro e a intensidade da força gravitacional pelo cálculo: massa m (conhecida) vezes a intensidade da aceleração devida à gravidade | gg | (conhecida). A direção de T relativa à vertical do observador estacionário (expressa pelo ângulo q ) é a incógnita.

A resultante dessas duas forças que agem sobre m é R e, de acordo com a Segunda Lei de Newton devemos por:

T + Fg= R = m.a Q

Projetando-se essa equação Q no eixo y, vpc, tem-se:

T.cosq + m.gg = m. ay

Como, por hipótese, a aceleração do carro é horizontal, sua componente sobre o eixo y vertical é nula , donde:

T.cosq = - m. gg          ou

cosq = |-mgg| / |T|     (a)

Projetando essa equação Q sobre o eixo x ,horizontal para a direita, tem-se:

T.senq + 0 = m.ax 

E, como a é horizontal, sua projeção sobre x, ax coincide com a, logo:

senq = |m.a| / T        (b)

De (a) e (b) obtém-se :

tgq = |a| / |gg|       ‘

Agora podemos responder às três perguntas:

I) Vpc é a direção do fio do vpcímetro e o sentido é de B para C, que são as características vetoriais da força T. Um passageiro sentado no banco desse carro sentirá uma reação de apoio tanto por parte do assento como por parte do encosto. A resultante dessas duas forças será a reação normal de apoio desse passageiro. Essa força normal, para o passageiro, será vista sob ângulo q pelo observador estacionário, em relação à sua vertical.

II) O peso da bolinha (aparente, para alguns autores) terá intensidade igual à tração no fio, dada pelo dinamômetro. Essa intensidade também pode ser obtida do diagrama de forças, observando que:

| P | = | T | = [ (m.gg)2 + (m.a)2]1/2           ’

III) A aceleração de uma queda livre ,no interior desse carro, terá intensidade dada por:

| g | = | P | / m = ( gg2 + a2 )1/2     “

Se o observador no carro não sabe a direção correta da vertical , ele não saberá dizer que parcela de P é devida à atração gravitacional da Terra e que parcela é devida à aceleração do carro. De qualquer modo ele poderá sempre imaginar que a aceleração da gravidade teve seu valor | gg | aumentado para o novo valor: (gg2 + a2 )1/2 .

Se o fio de linha do vpcímetro quebrar, a bolinha cairá em queda livre ao longo da direção CB, de C para B, com intensidade dada pela “ . Se o fio que sustenta a bolinha, em lugar de quebrar, for ligeiramente deslocado de sua posição de equilíbrio (dada pelo ângulo q ), a bolinha oscilará como um pêndulo, em torno de B, com período dado por:

Tcarro = 2p (L/g)½

onde g é o valor expresso pela “ e L é o comprimento BC do fio.

Importante:

Você que está na superfície da Terra e observa uma queda livre, não saberá dizer qual é realmente a vertical do lugar e, conseqüentemente, não poderá dizer com que parcela a atração gravitacional da Terra contribuiu para aquela aceleração de queda livre. Não esqueça que você está num referencial acelerado ¾ Terra girando em torno de seu eixo e eixo transladando em relação ao Sol. O rumo da queda livre que você observa, ou a direção do fio de prumo no local (exceto se estiver em um dos pólos!) é apenas a vertical local e não a direção do raio da Terra que passa nesse local, que é a vertical verdadeira.

Um pêndulo simples nesse local, através da medição do período e do comprimento do fio, não fornecerá a aceleração da gravidade e sim a aceleração local.

Aceleração centrípeta horizontal
Suponha um carro dotado de velocidade escalar constante V = w .r, numa trajetória circular de raio r, sobre superfície plana e horizontal da Terra. Nosso vpcímetro estará suspenso no ponto C do teto, como ilustra a fig.5 (A).

Essa situação tem muitas similaridades com aquela ilustrada na fig.4.

A força de tração T que o fio aplica na bolinha, do mesmo modo que naquela situação, admite uma componente vertical Fv, que equilibra a força gravitacional Fg = m.gg exercida pela Terra sobre a massa da bolinha. A componente horizontal de T traduz a resultante das forças sobre a bolinha, determinando sua aceleração a , que é radial com sentido para o centro da curva, ou seja, é centrípeta.

Do diagrama de forças posto na fig.5 (B), facilmente tiramos:

R = T + Fg = m.a = (m.V2/r)n = (m.w 2.r)n       ”

onde n é o versor da normal à curva na posição esquematizada.

A inclinação do fio, dada pelo ângulo q , continua a ser expressa por:

tgq = | a | / | gg |, ou tgq = (m.V2/r) / (m.gg )

logo,                   tgq = w 2.r / gg                           •

Vejamos as respostas às três perguntas e alguns comentários:

I) Vpc, no ponto B, é a direção do fio e para cima, é de B para C. Essa vertical, para o observador no carro, faz ângulo q , com a vertical do observador estacionário.

II) A intensidade do peso da bolinha é igual ao valor da tração no fio, dada (sempre) pelo dinamômetro do vpcímetro, ou pela expressão:

| P | = | T | = [(m.gg)2+(m.w 2.r )2 ]½ = m.| g |                (11)

III) A aceleração na queda livre vale :

g = [(gg)2 + (w 2.r )2 ]½                           (12)

O observador, no interior do carro, dirá que parte de seu peso é devido à atração gravitacional e que parte é devido à aceleração do carro. Existe uma diferença importante entre o carro com uma aceleração horizontal uniforme e o carro com um movimento circular uniforme em pista horizontal. O vpcímetro preso ao teto do carro, na primeira situação, fará sempre o mesmo ângulo q com a vertical, qualquer que seja o local do ponto de suspensão C, isso não acontecerá na segunda situação.

Observe na fig.5 (A), dois pêndulos, um preso em C e outro em C’. A bolinha de massa m’, em B’, apresentará raio r’ maior que r (da bolinha B) e, as relações (10) e (12) mostram que q e g, respectivamente, aumentam quando r aumenta.

Para estimular sua imaginação, suponha que, em lugar da bolinha B’, tenha-se uma semente de feijão envolvida em algodão úmido. Alguém plantou uma semente em B’. Como crescerá essa plantinha, mantendo-se o movimento circular do carro sempre uniforme por dias e dias?

A fig.5a ilustra esse experimento que, facilmente pode ser realizado pelo aluno, plantando sementes de feijão numa forma de bolo redonda, contendo areia úmida e posta a girar à 78rpm, sobre o prato de um velho toca-discos.

Tanto o caule como a raiz iniciam seu crescimento seguindo a direção B’C’, uma vpc e outra vpb. Com o crescimento, as partes do caule, irão para pontos de raios cada vez menores e com isso o ângulo q com a vertical diminuirá. O caule tende assintoticamente à vertical do observador estacionário, enquanto que a raiz, por apresentar pontos cada vez mais afastados do centro de rotação, tenderão para a horizontal. Esse é o fenômeno do geotropismo num referencial acelerado.

Movimento circular uniforme horizontal (curvas inclinadas)
Para manter o movimento circular uniforme de um veículo e seu conteúdo, com massa total M, em pista horizontal, um agente externo deverá exercer nele uma resultante centrípeta (direção radial, sentido para o centro da curva) de intensidade Fcp = m.w 2.r.

O agente externo é o pavimento, e a força de atrito, via de regra, é o mecanismo através do qual a força é aplicada no veículo. Num modelo mais simples, para tal força tem-se, Fmáx.= m .Fn, onde Fmáx.. é a intensidade da força máxima de atrito que pode ser despertada entre pneus e pavimento, m é o coeficiente de atrito (grandeza adimensional) característico do par de materiais em contato ( suposto constante) e Fn a intensidade da força normal de compressão.

Sendo a força de atrito, a resultante centrípeta destinada a produzir a aceleração centrípeta adequada ao movimento, sua intensidade não poderá exceder a força máxima de atrito disponível, assim :

M.w 2.r £ m .M.gg               (13)

Para que o veículo descreva essa curva no plano horizontal, a (13) deve ser obedecida. Para tanto, com um dado valor de r, a velocidade escalar do veículo não poderá superar um certo valor limite. Acontece que o valor do coeficiente de atrito que, até então foi suposto constante, pode ser reduzido pela presença, no pavimento, de areia, óleo, água, resíduos de outros pneus etc. e, com isso o segundo membro da (13) também será diminuído. O veículo começa a derrapar. A boa solução é inclinar o pavimento da curva. Há duas razões científicas para se construir curvas inclinadas numa estrada:

A primeira é para criar uma situação na qual vpc seja perpendicular à superfície da rodovia. O sistema de equilíbrio das pessoas (labirinto) está acostumado com movimentos não acelerados em superfícies horizontais e disso deriva o bem estar nas situações em que vpc é perpendicular à superfície sobre a qual nos apoiamos. Nas ocasiões onde o autor teve oportunidades de andar de avião, um fato foi observado, tanto nos pousos como nas decolagens; ao olhar através da janela podia- se observar que o avião estava mudando de direção e que suas asas estavam inclinadas coisa de 45° em relação à horizontal, entretanto, não existia a sensação de que o avião estava fazendo curva ou inclinando-se, porque a vpc tinha permanecido perpendicular ao assoalho e ao assento da poltrona.

A segunda razão é para permitir que o veículo faça a curva com uma dependência mínima (idealmente zero) do coeficiente de atrito entre os pneus e o pavimento.

A fig.6 ilustra alguns diagramas de forças envolvidos no ato de um veículo realizar uma curva com pista inclinada.

A inclinação das curvas de estradas de ferro mostram um problema de design interessante. Os trilhos dos trens de brinquedo possuem segmentos de linha retos ou em arcos circulares de raios fixos. Os segmentos curvos deveriam possuir os trilhos exteriores à curva mais elevados que os trilhos interiores e essas diferenças de níveis dependeriam dos raios das curvas e do planejamento da velocidade do trem. Ora, para unir um segmento de trilhos retos com esses trilhos inclinados das curvas, será necessário uma descontinuidade no ângulo de inclinação.

Esse é o motivo pelo qual as curvas de rodovias e das estradas de ferro apresentam curvas de transição que, tornam-se assintóticas aos trechos retilíneos em cada extremidade. O raio de curvatura e o ângulo de inclinação variam suavemente nos trechos de interligação reta-curva. E muitos casos, os trilhos são assentados com inclinação e curvaturas adequadas para uma única velocidade do trem e, trens que viajam com velocidades maiores ou menores que essa velocidade adequada terão que depender do flange da roda para manter os vagões deslizando sobre os trilhos.

Superfícies líquidas em rotação
Um recipiente contendo um líquido é posto a girar centrado com um disco fixo ao eixo de um motor. A superfície livre toma uma forma abaulada, com o líquido subindo pelas bordas do recipiente e baixando na região central do mesmo. A inclinação do líquido num dado ponto à distância r do eixo de rotação será dada pela expressão • .

A fig.7 ilustra essa situação e, o equacionamento a seguir define analiticamente a forma dessa curva.

tg q = w 2.r / gg = dy/dr (14)

Então : dy = ( w 2/ gg ). rdr

e, integrando, com y = 0 para r = 0, vem

y = (w 2/ 2.gg).r2 (15)

que é a equação de uma parábola.

Portanto, a superfície livre do líquido para o observador estacionário é um parabolóide de revolução.

Observe que a equação dessa superfície é independente da densidade absoluta do líquido. Os espelhos parabólicos de mercúrio são obtidos por rotação uniforme em equipamentos bastantes sofisticados.

Outra observação interessante é que, nos líquidos incompressíveis, em equilíbrio sobre ação da gravidade, as superfícies eqüipotenciais gravitacionais são planos horizontais e as linhas de força do campo gravitacional são retas e verticais. Aqui, nesse referencial acelerado, as superfícies eqüipotenciais são parabolóides e as vpc mudam de rumo a cada ponto da superfície. O remador ilustrado na fig.7 não sente a curvatura da superfície, ele rema, como nós o fazemos, num lago de água tranqüilas, sem qualquer esforço extra. Nós vemos a superfície do grande lago curvada para baixo, acompanhando a superfície da Terra, ela vê a superfície de seu lago curvada para cima, acompanhando a curvatura de sua Terra. Para ele o mundo é baulado para dentro.

Pêndulo cônico
O pêndulo cônico é um exemplo simples de partícula em movimento circular e uniforme. É composto por uma pequena massa fixa à extremidade livre de um cordel, girando, num plano horizontal, com movimento circular e uniforme, ao redor de um eixo vertical que passa pelo ponto de suspensão da outra extremidade do cordel. O ângulo que o cordel faz com a vertical é q . Seu valor é dado pela expressão • e, o peso da bolinha, nesse referencial acelerado, é dado pela expressão (11). A aceleração de queda livre de um corpo, medida no interior da bolinha (imagine que no lugar da bolinha tenha-se uma gaiola de parque de diversão), será peso do corpo dividido pela sua massa, como indica a expressão (12).

Movimento descendente em plano inclinado isento de atrito
Como você se sentiria dentro de um carro que desce, sem atrito, ao longo de uma rampa inclinada de 45° em relação à horizontal?

Estamos admitindo um deslizamento hipotético, desconsiderando, inclusive, a energia cinética de rotação das rodas do veículo.

Como é a vpc no interior desse carro? Que ângulo q o fio do vpcímetro faz com a vertical do local?

Tendo-se em vista a fig.8 (A), é fácil mostrar que q = F e que a força T que o cordel aplica na bolinha de massa m, não apresenta componente paralela à linha de maior declive do plano (ou, algebricamente, que essa componente é nula). Se o carro de massa M e a bolinha de massa m estivessem deslizando, independentemente, nesse plano inclinado sem atrito, cada um teria a aceleração gg.senq . Se eles fossem unidos por uma corda, a tensão na corda seria nula, isto é, não se requer, para nenhum dos dois, que existam forças paralelas ao declive sem atrito, para lhes garantirem a aceleração gg.senq .

Quando m encontra-se suspensa no interior de M, o sistema das duas massas possui a aceleração gg.senq , descendente e direção da linha de maior declive, idêntica à que teriam, caso estivessem deslizando, independentemente, lado a lado. Isso justifica porque a força que o cordel exerce na massa m não apresenta componente paralela à linha de declive e porque q = f .

Um argumento mais quantitativo é o fornecido na fig.8 (B).

Um passageiro no interior desse carro responderá nossas três perguntas assim:

I) vpc é a força T, perpendicular ao declive e sentido de B para C.

II) O peso da bolinha de massa m é igual à intensidade da força T, lida no dinamômetro do vpcímetro ou, analiticamente obtida do diagrama de forças da fig.8 (C), que é m.gg.cosq .

III) A aceleração de uma queda livre será:

g = P/m = m.gg.cosq / m = gg.cosq

Esse passageiro, permanecerá vpc no carro acelerado rampa abaixo com o seu corpo paralelo a BC e, se soltar uma pedrinha, a partir do repouso (em relação a ele) para observar sua queda livre, ele a veria cair seguindo a direção BC, de C para B.

Um observador estacionário, fora do carro, observando a queda da pedrinha, descreveria sua trajetória como um arco de parábola que encontra a linha BC em todos os pontos de sua queda, que se dá com aceleração constante gg.

Essas observações são verdadeiras para qualquer ângulo de talude, quer o carro esteja subindo ou descendo a ladeira, deslizando sem atrito.

Comentário
Essas rampas de descidas ou subidas nem sempre são retas. É comum o estudo de movimentos sobre arcos de circunferência num plano vertical, como é o caso dos loops, montanhas russas etc.

Uma montanha russa é composta por subidas e descidas, em arcos de circunferências, com seus trilhos no plano vertical e, para um dado carrinho (sem atrito ou momento de inércia nas rodas), se ele for inteiriço (monobloco), vpc estará sempre naquele plano vertical e perpendicular à tangente local do trilho. Isso não ocorre com dois ou mais carrinhos acoplados pois, ainda que mantenham as mesmas velocidades e acelerações escalares, alguns estão subindo uma ladeira curva, enquanto que outros estão descendo; a vpc muda de um carrinho para outro.

Comentário interessante teríamos por parte de um observador que "penetrasse" no interior da bolinha de um pêndulo simples (nosso vpcímetro ). Ele diria que vpc é a direção do fio que sustenta a bolinha do pêndulo, sentido, dele para o ponto de suspensão e seu peso seria indicado pelo dinamômetro do vpcímetro. Essa pessoa, permanecendo vpc numa inclinação, tem seu corpo sempre paralelo à direção do fio, em toda a extensão do seu percurso ao oscilar. Quando a inclinação do pêndulo simples se avizinhasse dos 90° , o corpo da pessoa permanece vpc nessa inclinação que está próxima da horizontal ( que é paralela à linha de maior declive do plano inclinado local ).

Entretanto, a magnitude do peso de uma pessoa numa inclinação não é simplesmente m.g = m.gg.cosq , como no caso do escorregamento sem atrito num plano inclinado. Para manter o movimento numa trajetória circular, uma força centrípeta é requerida, que deve ser adicionada à m.gg.cosq . Desse modo, a tensão no cordel do pêndulo que sustenta a massa m será:

T = m.gg.cosq + m.v2/r              (16)

onde a velocidade v e o ângulo q que o cordel faz com a vertical, estão constantemente se modificando. Quando a quantidade T é positiva, o cordel encontra-se sob tração e, se for negativa, o cordel não estará sendo solicitado na manutenção do movimento.

Se o pêndulo (ou inclinação) estão prestes a completar um loop ( q = p ), a tensão no cordel deve ser positiva ou nula. Para o caso de T = 0, no topo do loop vertical, cosq = -1, e essa expressão (16) nos leva a um resultado familiar, ou seja:

v2/r = gg                (17)

A expressão (17) é apropriada para o pêndulo, quando o mesmo encontra-se na extremidade superior de um loop vertical; a aceleração gravitacional gg é suficiente para garantir a aceleração centrípeta necessária para sustentar o movimento circular e, assim, o loop não requer qualquer tensão no cordel. O pêndulo, nesse ponto da trajetória, aparentará estar mais leve. O dinamômetro do vpcímetro não registra peso algum!

Numa situação similar, imagine você dirigindo um carro ao longo de uma pequena colina numa estrada, onde o topo é um arco de círculo vertical de raio r. Suponha que você mantenha a velocidade

v = (gg.r)½

isso fará com que os passageiros do carro tenham, momentaneamente, uma sensação de falta de peso. Essas pessoas aparentarão estarem flutuando livremente no carro. Tal fato real faz surgir um problema interessante:

Quando dirige-se um carro sobre uma trajetória curva de pequeno raio, no topo de uma colina, as pessoas no interior do carro podem bater suas cabeças no teto do carro. Como isso pode acontecer, se tanto as pessoas quanto o carro não podem ter acelerações descendentes maiores que gg ?

Satélite em órbita ou nave espacial flutuando
Quando uma nave espacial não está utilizando seu motor, ela estará caindo sob a ação de qualquer campo gravitacional, de modo que a nave e todo seu conteúdo estarão acelerando na mesma proporção. A velocidade e a aceleração (proporcionada pela gravidade) da nave e de seu conteúdo serão iguais em cada instante; os ocupantes da nave estarão sem peso com relação à nave ¾ para eles, o interior da nave é uma zona de imponderabilidade.

Numa órbita ao redor da Terra (r » 6 400 km ), a aceleração será de 9,8 m/s2, e com r » 640 000 km, a aceleração será de 9,8 x 10-2 m/s2. Em cada caso, se a nave não estiver utilizando seu próprio motor, a nave e seu conteúdo estarão numa queda livre, as pessoas no interior da nave terão peso nulo em relação à nave (peso aparente nulo) e não terão sensações que as possibilite estimar se sua aceleração é de 9,8 m/s2 ou é de 9,8 x 10-2 m/s2.

Para criar uma gravidade artificial para a nave, de forma que seus ocupantes possam ter peso, e conseqüentemente identificarem algum rumo como sendo sua vpc, tem-se proposto construir naves ou estações espaciais com o formato de uma rosca, que giraria com velocidade angular constante com relação a um eixo de simetria circular. Dessa forma, a força necessária para manter a aceleração centrípeta de cada objeto numa aeronave giratória, serviria como uma pseudogravidade.

Nesse caso, teríamos que fazer : 9,8 m/s2 = r.w 2, onde r é o raio do assoalho da nave, w sua velocidade angular, como se ilustra na figura 9.

Em particular, para nossa posição de observação, repare que o assoalho é uma faixa circular presa à "parede lateral" da estação.

Na falta dessa gravidade artificial criada pela rotação da nave em torno do eixo de simetria, os objetos internos continuam a exibir a propriedade da inércia, mas sem pesos aparentes ¾ esta é a situação incomum que as pessoas na superfície da Terra não têm e, dai decorre a conceituação errônea entre massa e peso.

Num ambiente desse, por vezes designado região de imponderabilidade, coisas estranhas ao que é corriqueiro à Física Terrestre acontece:

  • as bolhas não surgiriam numa cerveja,

  • o pêndulo não trabalharia,

  • você não poderia fazer o bebê arrotar,

  • a água não permaneceria no fundo do copo,

  • uma bola de pingue-pongue não flutuaria em água,

  • num tubo fechado contendo água e óleo, o óleo não estaria na parte de cima,

  • o barômetro de Torricelli seria um fracasso,

  • uma vela não poderia queimar etc.

A chama da vela, por exemplo, obtém o oxigênio necessário à combustão através da convecção dos gases aquecidos. A convecção depende dos diferentes pesos específicos que possuem os gases quentes e frios, portanto, a convecção não pode existir num ambiente de imponderabilidade, como é o caso de uma nave flutuando.

Essa falta de peso momentâneo é experimentado por qualquer pessoa, por exemplo, ao saltar do trampolim de uma piscina.

Vpc ... que rumo toma ?
É sempre interessante desenvolver uma construção simples de vetores que permita determinar o rumo da vpc ou da vpb, em qualquer referencial acelerado. De modo geral, podemos dizer que a vpb é dada pela soma de dois vetores e que a vpc é a direção dessa adição, com sentido contrário.

O primeiro vetor é gg, cuja magnitude é a aceleração imposta exclusivamente pela gravidade, no local, sua direção é a da vertical verdadeira local (radial) e sentido descendente.

O segundo vetor é –a, que é oposto do vetor da aceleração do sistema. A soma (vetorial) desses dois vetores é o vetor g, que seria medido por um observador no sistema acelerado. Para esse observador, o rumo de g é vpb e o rumo de –g é vpc.

Isso é ilustrado na figura 10, para as acelerações verticais das figuras 2 e 3 e na figura 11, para as acelerações horizontais das figuras 4 e 5.

A figura 12(A) mostra isso para o carro que movimenta-se, sem atrito, descendo o declive.
A figura 12(B) mostra a situação para o carro descendo o declive com a > gg.sen
q .
A figura 12(C) mostra a situação para o carro que desliza com atrito ( a < gg.sen
q ).

Dessa forma, em todos os casos, tem-se:

g = gg - a                  (18)

Essa expressão vetorial pode ser utilizada para o caso da Terra, com o intuito de observar-se a relação entre g , gg e a aceleração centrípeta a = r.w 2, onde w é a velocidade angular de rotação da Terra. Salientamos que assumimos para a Terra a forma esférica, distribuição uniforme e que r , na expressão (18) não é o raio R da esfera terrestre, mas sim r = R.cosl , onde l é a latitude.

A figura 13 ilustra, sem as devidas escalas, essas somas vetoriais para um ponto no equador, para um ponto no paralelo médio e para um ponto no pólo.

Nessas representações simplificadas, pode-se observar que |g | < | gg| e, que ambas só são iguais, nos dois pólos. Entretanto, a diferença entre as duas acelerações não supera os 0,3%.

Comentários, sugestões e correções são os verdadeiros referenciais para o autor; por um lado eu aprendo e por outro eu faço a correção ... e todos sairemos beneficiados!

 


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