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Estabilidade de equilíbrio 1
(Estável, indiferente e instável)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Objetivo
Evidenciar, com material simples, as condições da estabilidade de equilíbrio de um corpo extenso.

A estabilidade de equilíbrio de um corpo extenso relaciona-se com sua energia potencial, em relação ao ponto ou plano de apoio. A estabilidade é máxima, em termos elementares, quando a energia potencial é mínima. Como veremos abaixo, poderá ser definida a partir do ângulo crítico.
Desse modo, o segredo todo é manter o CG bem abaixo do ponto de suspensão, para se obter equilíbrios estáveis. Professores e alunos podem apresentar equipamento bem simples para ilustrarem as situações de equilíbrio estável, instável e indiferente. 

As ilustrações a seguir mostram equipamentos e situações dessas modalidades de equilíbrio.

Experiência 1
Dois pedaços de telhas onduladas podem ser fixados em bases de madeira, de modo que um fique com a concavidade para baixo e outro com a concavidade para cima. Um pedaço de madeira plano, um disco de madeira com eixo central, uma vareta e esferas de vidro (bolinhas de gude) completam o equipamento.

Estabilidade de um Sistema
Existe ainda uma outra propriedade ligada ao equilíbrio de um corpo apoiado por baixo que pode ser derivada a partir destas condições de equilíbrio estável e instável. Esta propriedade também pode ser verificada experimentalmente.
Para isto usamos um paralelepípedo retângulo de lados a, b e c. Ele pode ser um tijolo, um bloco homogêneo de madeira, uma caixa de sapatos, de fósforos ou a própria armação do modelo didático da Torre de Pisa. Trabalharemos sempre com o plano bc na vertical.
Tanto pela simetria do corpo quanto experimentalmente é fácil verificar que o centro de gravidade estará ao centro do paralelepípedo. Colocamos agora um fio de prumo no centro da face bc. Se o corpo for um bloco homogêneo de madeira, o mais simples é pregar um prego no centro desta face, amarrando nele uma linha com uma chumbada na ponta. No caso da caixa de sapato pode-se utilizar um palito de churrasco atravessando o centro das duas faces paralelas de lados b e c. Amarra-se então no palito uma linha com um pequeno peso na ponta (chumbada de pesca em forma de pirâmide). No caso da caixa de fósforos pode-se atravessar um alfinete pelo centro das duas faces bc, pendurando nele uma linha de costura com um pequeno peso. Para evitar que o paralelepípedo tombe para frente na direção do fio de prumo, é importante que o peso do fio de prumo seja pequeno comparado ao peso do paralelepípedo. A experiência também não funciona se o paralelepípedo for muito fino, ou seja, com lado a sendo muito menor do que b e c, aproximando-se a uma linha (como ocorre com um retângulo de papel cartão, ou com uma carta de baralho, onde a espessura do papel cartão ou do baralho é muito menor do que os lados do retângulo).
Nestes casos fica difícil equilibrar o corpo com a face bc na vertical.
Com tudo preparado, partimos para as experiências.

Experiência 2
Começamos com o paralelepípedo parado sobre uma mesa horizontal, com o lado c na vertical e o lado b na horizontal. A face ab está na horizontal, juntamente com seus quatro vértices V1, V2, V3 e V4, conforme ilustramos abaixo, em (Fig.2a).

Vamos escolher o sentido de rotação antihorário no plano vertical como indicando um ângulo positivo. Ver Fig.2(b), acima.

Se girarmos o paralelepípedo ao redor do eixo V1V2 de um ângulo q e o soltarmos do repouso, seu movimento inicial será no sentido de abaixar seu CG, como sabemos das condições de equilíbrio estável e instável. É fácil ver que existirá um ângulo crítico qc no qual a reta passando pelo eixo V1V2 e pelo centro de gravidade estará vertical, coincidindo com a direção do fio de prumo. Nesta situação o CG estará na posição mais alta possível.
Caso o paralelepípedo parta do repouso em um ângulo inicial menor do que o ângulo crítico, tenderá a
voltar a posição inicial com o lado c na vertical e o lado b na horizontal, já que neste sentido de movimento o CG estará baixando. Caso o ângulo inicial seja maior do que o ângulo crítico, o corpo tenderá a se afastar da posição inicial, caindo para o lado tal que o lado c se aproxime da horizontal enquanto que
o lado b tenda à vertical. A posição do ângulo crítico é de equilíbrio instável. Fig.2(c), acima.

Da Fig.3(a), abaixo, podemos ver que a tangente do ângulo a entre a base V1V4 e a reta ligando o vértice V1 ao CG é dada por c/b: tg a = c/b.

Das Figuras 2 e 3 vemos que o ângulo crítico qc é dado por 90º - a. Isto significa que tg a = tg(90º - qc) = c/b.

Da Fig.3(b) vemos que, em geral, o valor da altura hCG do CG é dado por hCG = r.sen (a + q), onde r = (1/2)(c2 + b2)1/2. Quando q = 0° temos hCG = c/2, quando q = 90° temos hCG = b/2. O valor mais alto atingido pelo CG em relação a superfície horizontal da Terra ocorre quando a + q = 90°, quando então hCG = r.

Situações de destaque
a) Quando c = b temos
a = qc = 45°. Neste caso os valores mais baixos da altura do CG são dados por hCG = b/2 = c/2 = 0,50c. Nesta situação, o valor mais alto é dado por hCG = 21/2.c/2 ≈ 0,70c.
b) Se c = 4b temos
a = 71,6º e qc = 18,4°. Neste caso tem-se: hCG = c/2 = 0,50c quando q = 0º; hCG = 101/2.c/6 ≈ 0,53c quando q = qc e hCG = c/6 ≈ 0,17c quando q = 90º.
c) No caso em que c = b/3 temos
a = 18,4º, qc = 71,6º e as alturas:  hCG = 0,50c quando q = 0º; hCG = 101/2.c/2 ≈ 1,6c quando q = qc e hCG = 3c/2 = 1,5c quando q = 90º.

Destas condições vemos então que, quanto mais baixo esta o CG de um corpo apoiado por baixo em uma situação de equilíbrio estável, maior será a estabilidade desta situação. Ou seja, quanto mais baixo estiver seu CG maior será o ângulo crítico do corpo.

Pode ser feita uma experiência mais controlada do que a anterior ao lidarmos sempre com um corpo de mesmo peso e de mesma forma externa, mas tal que podemos controlar a posição de seu CG. A ideia aqui é usar uma caixa oca homogênea de lados a, b e c, cujo CG esteja no centro da caixa. Vamos supor que o lado bc fique sempre na vertical. Coloca-se então um outro peso (lastro) dentro da caixa, ocupando uma faixa estreita situada a uma altura h da base. Fig.4(a) e (b).

O importante é que esta altura possa ser controlada por nós. No caso de uma caixa de fósforos, por exemplo, pode-se prender (colar) uma chumbada esférica de pesca na parte inferior (Fig.4b) ou superior da caixa. Pode-se verificar que o CG do sistema caixa-chumbo estará localizado em algum ponto entre o centro da caixa e o centro da chumbada. Vamos supor que ele esteja a uma altura hCG da base da caixa colocada em uma superfície horizontal, situado ao longo do eixo de simetria da base inferior b da caixa, como na Fig.4.

Experiência 3
Coloca-se um lastro de chumbo internamente a uma caixa de fósforos, apenas sobre o lado inferior. Apóia-se a caixa de fósforos sobre uma superfície horizontal com a chumbada na parte inferior da caixa. Gira-se então o sistema ao redor de um dos eixos da base, soltando-o do repouso. Observa-se que para alguns ângulos o sistema volta à posição inicial ao ser solto do repouso, enquanto que para ângulos maiores que um certo valor crítico a caixa tomba para o outro lado. Isto permite que se determine o ângulo crítico para esta situação, qci (lastro colado na parte inferior), o qual separa os dois comportamentos. Inverte-se agora a posição dos chumbos tal que fiquem na parte superior da caixa. Repete-se o procedimento anterior e obtém-se um novo ângulo crítico, qcs (lastro colado na parte superior) Observa-se que este novo ângulo crítico é bem menor do que o ângulo crítico anterior, qcs < qci.

Pela definição de equilíbrio estável temos que, tanto com o peso embaixo, quanto com o peso em cima, a caixa de  fósforos fica em equilíbrio estável. Isto ocorre devido ao fato de que qualquer pequena perturbação desta posição, seja rotação no sentido horário ou antihorário faz com que ela volte à posição original ao ser
solta do repouso. Apesar disto, pode-se dizer que a caixa com o peso embaixo possui uma estabilidade maior do que a caixa com o peso em cima. O motivo para isto é que o ângulo crítico no primeiro caso é bem maior do que o ângulo crítico no segundo caso. Isto sugere então a definição de estabilidade de um sistema.

Definição: A medida ou o valor deste ângulo crítico pode então ser considerado como o grau de estabilidade do sistema. Isto é para dois sistemas em equilíbrio estável, define-se que tem maior estabilidade aquele sistema que possui maior ângulo crítico.

A pergunta agora é saber qual será o ângulo crítico qc deste sistema. Quando a caixa gira ao redor do eixo V1V2 de um ângulo q, como na experiência anterior, ela vai voltar para a posição inicial, ao ser solta do repouso, se q < qc. Caso q > qc, a caixa não voltara à posição inicial ao ser solta do repouso, mas tombará para o lado oposto. Seja a o ângulo entre a base horizontal b e a rela ligando o eixo V1V2 ao CG.
Temos então o resultado expresso pela relação abaixo; ver a Fig.5.

tg a = hCG/(b/2) = 2hCG/b

No ângulo crítico temos a + qc = 90º. Logo, qc = 90º - a = 90º - arctg 2hCG/b .

Se a altura do centro de gravidade hCG for muito baixa, o ângulo crítico será muito alto, perto de 90º, o que indica uma alta estabilidade para o corpo. Caso hCG seja muito maior do que b, o ângulo crítico será muito baixo, perto de 0°. Qualquer perturbação no sistema fará com que ele caia sem voltar à posição inicial.
Desta última fórmula concluímos que para aumentar a estabilidade do sistema é necessário diminuir a razão hCG/b. Há duas possibilidades básicas para isto:

(A) diminuindo a altura do centro de gravidade (como vimos no caso da caixa de fósforos com os pesos    na parte inferior), e
(B) aumentando a base ao redor da qual o sistema está girando.

Existe ainda um outro critério para definir a estabilidade de um sistema que não foi considerado nesta explanação. Consideremos uma lata de refrigerante vazia e outra de mesmo tamanho mas totalmente cheia. O centro de gravidade destes dois sistemas possui a mesma altura em relação ao solo. Como elas possuem a mesma forma e tamanho, isto indica que o ângulo crítico é o mesmo para estas duas latas. Pela definição anterior viria que elas possuem a mesma estabilidade.
Por outro lado, é necessário uma energia maior para fazer a lata cheia tombar do que para fazer uma lata vazia tombar, já que esta última é bem mais leve. Perturbações externas (como o chão passar a tremer) tombam mais facilmente uma lata vazia do que uma lata cheia de mesmo formato e tamanho. Neste
sentido uma lata completamente cheia é mais estável a perturbações externas do que uma lata vazia. Estes aspectos dinâmicos não foram considerados aqui.

 



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