Paradoxo mecânico - duplo cone
- duplo-tratamento -
(O duplo-cone que sobe a rampa)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Objetivo
Este projeto ilustra um curioso paradoxo: um disco colocado sobre um plano inclinado, sobe ao longo do plano, em lugar de descer! Um duplo-cone rola rampa acima, em lugar de descer!

Para o caso do duplo-cone faremos um tratamento elementar (nível médio) e um tratamento mais aprimorado para alunos do nível superior. É de interesse do professor de Física.

O segredo é simples, e, na verdade, o centro de gravidade está descendo, em ambas as situações! 
O disco de madeira com raio de cerca de 10 cm e com uns 3 cm de espessura, tem em sua borda um orifício de diâmetro 2 cm e profundidade 3 cm praticado ao longo de um raio. Esse buraco é preenchido com chumbo (ali teremos um cilindrinho de chumbo), deixando-se cerca de 0,5 cm livre para ser preenchido com a mesma madeira do disco, disfarçando o buraco. 
O C.G. do sistema fica bem próximo ao cilindro de chumbo, ou seja, próximo da borda. Colocando-se o disco no início de um plano inclinado, com o disfarce para cima, o disco rola plano acima, com o intuito de baixar o centro da gravidade.

Tratamento elementar
Dois cones (de madeira bem densa) são colados base a base; em seus vértices colam-se bolinhas de madeira ou simplesmente deixam-se sobressair de cada 'vértice' um eixo cilíndrico, como se ilustra abaixo. O duplo cone é colocado sobre trilhos (feito de folha de flandres, cortada e dobrada) ou sobre guias que formam dois planos inclinados feitos de madeira . O sistema sobe o plano inclinado para poder baixar seu centro de gravidade. A foto mostra um modelo comercial dessa montagem.

Esse é um experimento clássico do duplo-cone e do plano inclinado. Você pode reproduzi-lo usando duas réguas de madeira de 50 cm (para fazer o plano inclinado em forma de V) e dois copos plásticos cônicos para sorvete (colados boca a boca e com seu interior preenchido com areia).
Quando você coloca o cone duplo sobre o plano inclinado ele rola e “sobe”, indo para o topo, em lugar de “descer”.

O segredo está nos ângulos de inclinação do cone (grande) e do plano inclinado (pequeno). Isso permite que o CG do duplo cone realmente desça, ao subir a rampa.

Veja o protótipo do autor na Feira de Ciências Virtual (clique!).

Tratamento nível 3
Como vimos, é um aparelho no qual, abandonado em repouso sobre um aclive, o sólido de revolução rola rampa acima. O duplo cone apóia-se na aresta superior das barras AB e AC. As bordas superiores destas determinam um plano inclinado cuja linha de maior declive é AE. O eixo de revolução do duplo-cone mantém-se paralelo a BC. Ilustremos isso:

Na posição (1), ilustrada abaixo, ele se apóia em D₁ e D'₁; seu baricentro é G₁. Na posição (2) ele se apóia em D₂ e D'₂; seu baricentro é G₂. A conicidade e a rampa são tais que o nível de G₂ fique sensivelmente abaixo do nível de G₁.

O duplo-cone é abandonado em repouso na posição (1). Sob ação de seu peso ele rola para a posição (2), no sentido ascendente da rampa AE. É um paradoxo aparente pois, embora os pontos de apoio do cone se elevem de (D₁, D'₁) para (D₂, D'₂), o baricentro do sólido de revolução realmente baixa no movimento de G₁ para G₂.

O ângulo entre a borda AC e o plano horizontal xAy é q = C_pÂC; ele pertence ao plano vertical que contém AC. O triângulo ABC pertence a um plano inclinado cuja reta de maior declive é AE; este plano forma com o plano horizontal o ângulo q' = E_pÂE. Tem-se tgq' = tgq .secb.

A cota do baricentro G₁ é   z₁(G₁) = D_1pG₁ ou, z₁(G₁) = D_1pD₁ + D₁G₁ = z₁(D₁) + D₁G₁  ...(eq.5).

A rampa AC é tangente à superfície do cone, mas não ao contorno circular de uma secção reta do mesmo, e sim a uma secção oblíqua, neste caso uma elipse e. Esta é a intersecção do plano vertical ACC_p com a superfície do cone, e este plano forma com o eixo do cone o ângulo (90^o - b) pertencente a um plano horizontal. Portanto, é horizontal também o eixo maior dessa elipse.
Em primeira aproximação, pode-se admitir D₁G₁ @ r₁ (como se fosse secção reta do cone), e daí: