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Paradoxo
mecânico - duplo cone
- duplo-tratamento -
(O duplo-cone que sobe
a rampa)
Prof.
Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br
Objetivo
Este projeto ilustra curiosos paradoxos: um disco
colocado sobre um plano inclinado, sobe ao
longo do plano, em lugar de descer! Um
duplo-cone
rola rampa acima, em lugar de descer!
Para
o caso do duplo-cone faremos um tratamento elementar (nível médio)
e um tratamento mais aprimorado para alunos do nível
superior. É de interesse do professor de Física.
O
segredo é simples, e, na verdade, o centro de gravidade está
descendo ,
em ambas as situações!
O disco de madeira com raio de cerca de 10 cm e com uns 3 cm de
espessura, tem em sua borda um orifício de diâmetro 2 cm e
profundidade 3 cm praticado ao longo de um raio. Esse buraco é
preenchido com chumbo (ali teremos um cilindrinho de chumbo),
deixando-se cerca de 0,5 cm livre para ser preenchido com a mesma
madeira do disco, disfarçando o buraco.
O C.G. do sistema fica bem próximo ao cilindro de chumbo, ou seja,
próximo da borda. Colocando-se o disco no início de um plano
inclinado, com o disfarce para cima, o disco rola plano acima, com o
intuito de baixar o centro da gravidade.
Uma
variante interessante desse paradoxo do disco, dessa vez produzido
com material homogêneo, é o paradoxo do
duplo-cone de madeira.
Tratamento
elementar
Dois cones (de madeira bem densa) são colados base a base; em seus vértices
colam-se bolinhas de madeira ou simplesmente deixam-se sobressair de
cada 'vértice' um eixo cilíndrico, como se ilustra abaixo. O duplo
cone é colocado sobre trilhos (feito de folha de flandres, cortada e
dobrada) ou sobre guias que formam dois planos inclinados feitos de
madeira . O sistema sobe o plano inclinado para poder baixar seu
centro de gravidade. A foto mostra um modelo comercial dessa
montagem.
Montagem
Esse
é um experimento clássico do duplo-cone e do plano inclinado. Você
pode reproduzi-lo usando duas réguas de madeira de 50 cm (para fazer
o plano inclinado em forma de V) e dois copos plásticos cônicos
para sorvete (colados boca a boca e com seu interior preenchido com
areia).
Quando
você coloca o cone duplo sobre o plano inclinado ele rola e
“sobe”, indo para o topo, em lugar de “descer”.
O
segredo está nos ângulos de inclinação do cone (grande) e do
plano inclinado (pequeno). Isso permite que o CG do duplo cone
realmente desça, ao subir a rampa.
Veja
o protótipo do autor na Feira
de Ciências Virtual (clique!).
Tratamento
nível 3
Como
vimos, é um aparelho no qual, abandonado em repouso sobre um aclive,
o sólido de revolução rola rampa acima. O duplo cone apóia-se na
aresta superior das barras AB e AC. As bordas superiores destas
determinam um plano inclinado cuja linha de maior declive é AE. O
eixo de revolução do duplo-cone mantém-se paralelo a BC.
Ilustremos isso:
Na
posição (1), ilustrada abaixo, ele se apóia em D1 e D'1;
seu baricentro é G1. Na posição (2) ele se apóia em D2
e D'2; seu baricentro é G2. A conicidade e a
rampa são tais que o nível de G2 fique sensivelmente
abaixo do nível de G1.
O
duplo-cone é abandonado em repouso na posição (1). Sob ação de
seu peso ele rola para a posição (2), no sentido ascendente da
rampa AE. É um paradoxo aparente pois, embora os pontos de apoio do
cone se elevem de (D1, D'1) para (D2,
D'2), o baricentro do sólido de revolução realmente
baixa no movimento de G1 para G2.
O
ângulo entre a borda AC e o plano horizontal xAy é q
= CpÂC; ele pertence ao plano vertical que contém AC. O
triângulo ABC pertence a um plano inclinado cuja reta de maior
declive é AE; este plano forma com o plano horizontal o ângulo q'
= EpÂE. Tem-se tgq'
= tgq
.secb.
A
cota do baricentro G1 é z1(G1)
= D1pG1 ou, z1(G1) = D1pD1
+ D1G1 = z1(D1) + D1G1
...(eq.5).
A
rampa AC é tangente à superfície do cone, mas
não ao contorno circular de uma secção reta do mesmo, e sim
a uma secção oblíqua, neste caso uma elipse e.
Esta é a intersecção do plano vertical ACCp com a
superfície do cone, e este plano forma com o eixo do cone o ângulo
(90o - b)
pertencente a um plano horizontal. Portanto, é horizontal também o
eixo maior dessa elipse.
Em primeira aproximação, pode-se admitir D1G1
@
r1 (como se fosse secção reta do cone), e daí:
Abaixo, fotos de meu equipamento:
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