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O Arranca-estacas
Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br
Apresentação
Arrancar um toco, uma estaca de cerca ou simplesmente uma grande carga é
problema da Estática do ponto material. O
arranca-estacas é uma máquina simples e, como tal,
multiplica a intensidade da força aplicada pelo operador (P),
transmitindo-a para a carga (Q), a estaca, por exemplo. Esta montagem
didática, muito simples, é recomendada para as aulas de Física, onde o professor
a apresenta aos alunos, para exposições e exibições em Feiras de Ciências.
Material
Estrutura de madeira, cordoné, pequenas argolas, pitões, linha de nylon,
porta-pesos e massores (chumbadas esféricas, de 50 g, para pesca).
Montagem
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A figura acima ilustra a montagem. O operador aplica na corda ligada no anel A a força P (simulada pelo peso do bloquinho P) e o sistema aplica na carga a força -Q (muito maior que P).
O segredo todo da multiplicação de forças está nos ângulos (a) e (b) da montagem, os quais devem ser bem pequenos.Quanto menores os valores desses ângulos, menor será o valor de P para sustentar a carga Q.
Explicando
Nos anéis A e B as forças aplicadas são as ilustradas na figura a seguir. Cada
anel simula um ponto material em equilíbrio. Em cada um, a resultante das forças
aplicadas deve ser nula.
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A resolução gráfica desta máquina, ou seja, determinação de P em função de (a), (b) e Q, exige 12 passos, ilustrados a seguir. Tratam-se de construções geométricas simples, em escala.
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De início, traçamos as direções dos fios, assim como as verticais e horizontais que passam por A e B.
A seguir descrevemos as operações na ordem devida:
01. Construímos o segmento orientado que representa Q numa dada e conveniente escala;
02. Construímos a equilibrante de Q (-Q) (use compasso!);
03. Reta horizontal pela extremidade de -Q determina, na direção do fio inclinado, a tração que ele suporta;
04. Reta vertical pela extremidade da tração determina na horizontal sua componente horizontal;
05. Construímos a componente horizontal da tração no fio inclinado de b;
06. Construímos a equilibrante desta componente horizontal que será a tração no fio horizontal;
07. Transfere-se o oposto desta tração para o ponto A;
08. Construímos a equilibrante desta tração horizontal;
09. Reta vertical pela extremidade desta tração determina a tração no fio inclinado de a;
10. Reta horizontal determina a componente vertical desta tração;
11. Esta componente vertical é a equilibrante de P;
12. Construímos o oposto da componente vertical que é o segmento, na mesma escala, que fornece P.
Uma resolução analítica é a seguinte:
Equilíbrio de B: Q + T1 + T = 0 (*)
[T1 é a tração no fio inclinado de (b); T é a tração no fio horizontal].
Projeção da equação vetorial (*) no eixo x (horizontal) fornece: T1.sen(b) = T ...(1)
Projeção da equação vetorial (*) no eixo y (vertical) fornece: T1.cos(b) =Q ...(2)
Equilíbrio de A: P + T + T2 = 0 (**)
[T2 é a tração no fio inclinado de (a)].
Projeção da equação vetorial (**) no eixo x (horizontal) fornece: T2.cos(a) = T ...(3)
Projeção da equação vetorial (**) no eixo y (vertical) fornece: T2.sen(a) = P ...(4)
A (2) fornece, diretamente, o valor de T1 ===> T1 =Q/cos(b);
Levando-se esse valor de T1 na (1), obtemos T ===> T = Q.sen(b)/cos(b) =Q.tg(b)
Levando-se o valor de T na (3), obtemos T2 ===> T2.cos(a) = Q.tg(b) ===> T2 =Q.tg(b)/cos(a)
Finalmente, tendo-se T2 obtém-se P ===>P =Q.tg(a).tg(b).
Outro encaminhamento para a solução:
Dividindo-se m.a.m (1)/(2) e (4)/(3) vem: ===> T/Q = tg(b) e P/T = tg(a)
Multiplicando-se m.a.m essas duas últimas: T/Q x P/T
= tg(a) x tg(b)
ou P =Q.tg(a).tg(b).
Nota: Não pense que aplicando a força P no anel A o toco vai 'sair 1/2 metro do chão'! Não se esqueça da Lei Áurea da Mecânica ... o que se ganha em força, perde-se em distância.
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