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O
Arranca-estacas
Prof.
Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br
Apresentação
Arrancar um toco, uma estaca ou simplesmente levantar uma grande
carga é problema da Estática
do ponto material. O arranca-estacas
é uma máquina simples e, como tal, multiplica a intensidade da força
aplicada pelo operador (P), transmitindo-a para a carga (Q), a
estaca. Essa montagem didática é recomendada para aulas de Física,
exposições e apresentações em Feiras de Ciências.
Material
Estrutura de madeira, cordoné, pequenas argolas, pitões,
porta-pesos e massores.
Montagem
A
figura acima ilustra a montagem. O
operador aplica na corda ligada no anel A a força P
(simulada pelo peso do bloquinho P) e o sistema aplica na carga a força
- Q
(muito maior que P).
O
segredo todo da multiplicação de forças
está nos ângulos (a)
e (b)
da montagem, os quais devem ser bem pequenos. Quanto menores os
valores desses ângulos, menor será o valor de P para sustentar a carga Q.
Explicando
Nos anéis A e B as forças aplicadas são
as ilustradas na figura a seguir. Cada anel simula um ponto material
em equilíbrio. Em cada um, a resultante
das forças aplicadas deve
ser nula.
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Forças
nos anéis A e B |
A
resolução gráfica desta
máquina, ou seja, determinação de P em função de (a),
(b)
e Q exige
12 passos, ilustrados a seguir. Tratam-se de construções geométricas
simples, em escala.
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Resolução
gráfica do arranca-estacas |
De
início, traçamos as direções dos fios, assim como as verticais e
horizontais que passam por A e B.
A seguir descrevemos as operações na ordem devida:
01.
Construímos o segmento orientado que representa Q numa dada e
conveniente escala;
02. Construímos a equilibrante de Q (-Q) (use compasso!);
03. Reta horizontal pela extremidade de -Q determina, na direção
do fio inclinado, a tração que ele suporta;
04. Reta vertical pela extremidade da tração determina na
horizontal sua componente horizontal;
05. Construímos a componente horizontal da tração no fio
inclinado de b;
06. Construímos a equilibrante desta componente horizontal que será
a tração no fio horizontal;
07. Transfere-se o oposto desta tração para o ponto A;
08. Construímos a equilibrante desta tração horizontal;
09. Reta vertical pela extremidade desta tração determina a tração
no fio inclinado de ;
10. Reta horizontal determina a componente vertical desta tração;
11. Esta componente vertical é a equilibrante de P;
12. Construímos o oposto da componente vertical que é o segmento,
na mesma escala, que fornece P.
Uma
resolução analítica é a seguinte:
Equilíbrio
de B:
Q + T1 + T = 0 (*)
[T1 é a tração no fio inclinado de (b);
T é a tração no fio horizontal].
Projeção
da equação vetorial (*) no eixo x (horizontal):
T1.sen(b)
= T (1)
Projeção da equação vetorial (*) no eixo y (vertical)
:
T1.cos(b)
= Q (2)
Equilíbrio
de A:
P + T + T2 = 0 (**)
[T2 é a tração no fio inclinado de (a)].
Projeção
da equação vetorial (**) no eixo x (horizontal):
T2.cos(a)
= T (3)
Projeção da equação vetorial (**) no eixo y (vertical)
:
T2.sen(a)
= P (4)
A
(2) fornece, diretamente, o valor de T1
===> T1 = Q/cos(b);
Levando-se esse valor de T1 na (1), obtemos T
===> T = Q.sen(b)/cos(b)
= Q.tg(b)
Levando-se o valor de T na (3), obtemos T2 ===> T2.cos(a)
= Q.tg(b)
===> T2 = Q.tg(b)/cos(a)
Finalmente, tendo-se T2 obtém-se P ===> P
= Q.tg(a).tg(b).
Outro
encaminhamento para a solução:
Dividindo-se m.a.m (1)/(2) e (4)/(3) vem: ===> T/Q = tg(b)
e P/T = tg(a)
Multiplicando-se m.a.m essas duas últimas: T/Q x P/T = tg(a)
x tg(b)
ou P
= Q.tg(a).tg(b).
Nota:
Não pense que aplicando a força P no anel A o toco
vai 'sair 1/2 metro do chão'! Não se esqueça da Lei Áurea da Mecânica
... o que se ganha em força, perde-se em distância.
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