O Arranca estacas

Prof. Luiz Ferraz Netto leobarretos@uol.com.br

Apresentação
Arrancar um toco, uma estaca de cerca ou simplesmente uma grande carga é problema da Estática do ponto material. O arranca estacas é uma máquina simples e, como tal, multiplica a intensidade da força aplicada pelo operador (P), transmitindo-a para a carga (Q), a estaca, por exemplo. Esta montagem didática, muito simples, é recomendada para as aulas de Física, onde o professor a apresenta aos alunos, para exposições e exibições em Feiras de Ciências.

Material
Estrutura de madeira, cordoné, pequenas argolas, pitões, linha de nylon, porta-pesos e massores (chumbadas esféricas, de 50 g, para pesca).

Montagem

A figura acima ilustra a montagem. O operador aplica na corda ligada no anel A a força P (simulada pelo peso do bloquinho P) e o sistema aplica na carga a força -Q (muito maior que P).

O segredo todo da multiplicação de forças está nos ângulos (a) e (b) da montagem, os quais devem ser bem pequenos. Quanto menores os valores desses ângulos, menor será o valor de P para sustentar a carga Q.

Explicando
Nos anéis A e B as forças aplicadas são as ilustradas na figura a seguir. Cada anel simula um ponto material em equilíbrio. Em cada um, a resultante das forças aplicadas deve ser nula.

A resolução gráfica desta máquina, ou seja, determinação de P em função de (a), (b) e Q, exige 14 passos, ilustrados a seguir. Tratam-se de construções geométricas simples, em escala.

De início, traçamos as direções dos fios (verde), assim como as verticais e horizontais (azul) que passam por A e B. 

A seguir descrevemos as operações na ordem devida:

01. Construímos (a partir de B) o segmento orientado que representa Q numa dada e conveniente escala;

02. Construímos a equilibrante de Q (-Q) (use compasso!);

03. Reta horizontal pela extremidade de -Q determina, na direção do fio inclinado, a tração que ele suporta;

04. Reta vertical pela extremidade da tração determina na horizontal sua componente horizontal;

05. Construímos a componente horizontal da tração no fio inclinado de b;

06. Construímos a equilibrante (7) desta componente horizontal que será a tração no fio horizontal;

07. Transfere-se o oposto desta tração para o ponto A (8);

08. Construímos a equilibrante (9) desta tração horizontal;

09. Reta vertical (10) pela extremidade desta tração determina a tração no fio inclinado de a;

10. Reta horizontal determina a componente vertical desta tração;

11. Esta componente vertical é a equilibrante de P;

12. Construímos o oposto da componente vertical que é o segmento, na mesma escala, que fornece P.

Uma resolução analítica é a seguinte:

Equilíbrio de B:       Q + T₁ + T = 0 (*)

[T₁ é a tração no fio inclinado de (b); T é a tração no fio horizontal].

Projeção da equação vetorial (*) no eixo x (horizontal) fornece: T₁.sen(b) = T  ...(1)

Projeção da equação vetorial (*) no eixo y (vertical) fornece:     T₁.cos(b) =Q   ...(2)

Equilíbrio de A:       P + T + T₂ = 0 (**)   

[T₂ é a tração no fio inclinado de (a)].

Projeção da equação vetorial (**) no eixo x (horizontal) fornece: T₂.cos(a) = T ...(3)

Projeção da equação vetorial (**) no eixo y (vertical) fornece:     T₂.sen(a) = P ...(4)

A (2) fornece, diretamente, o valor de T₁ ===> T₁ =Q/cos(b);

Levando-se esse valor de T₁ na (1), obtemos T ===> T = Q.sen(b)/cos(b) =Q.tg(b)

Levando-se o valor de T na (3), obtemos T₂ ===> T₂.cos(a) = Q.tg(b) ===> T₂ =Q.tg(b)/cos(a)

Finalmente, tendo-se T₂ obtém-se P ===>P =Q.tg(a).tg(b).   

Outro encaminhamento para a solução:

Dividindo-se m.a.m (1)/(2) e (4)/(3) vem: ===> T/Q = tg(b)    e     P/T = tg(a)

Multiplicando-se m.a.m essas duas últimas: T/Q x P/T = tg(a) x tg(b)    ou    P =Q.tg(a).tg(b).
 

Nota: Não pense que aplicando a força P no anel A, o toco amarrado em B, vai 'sair 1/2 metro do chão'! Não se esqueça da Lei Áurea da Mecânica ... o que se ganha em força, perde-se em distância.

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