Equilíbrio haste + disco versão 2
(Exercício prático)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Objetivo
Estudar o equilíbrio do sistema haste + disco sobre o plano horizontal liso. Essa é uma variante do exercício prático anterior onde faremos P = Q (peso da haste = peso do disco) e resolveremos a questão de dois modos para melhor despertá-lo nas técnicas da Estática. Na questão, são dados os pesos da haste e do disco, o comprimento da haste (L) e o raio do disco (R). Pedem-se as forças de apoio em A e B.

A ilustração pode ser a mesma do exercício anterior:

Solução 1
A força P aplicada em D (ponto médio da haste homogênea AO) pode ser decomposta em dois componentes iguais a P/2 aplicados em A e O, respectivamente.

Desse modo, em O teremos a força total de valor 3P/2 que, por sua vez, pode ser decomposta em dois componentes T (direção da haste) e S (direção do disco, que é ortogonal á haste).

Transportemos a força T para o ponto A (e isso pode ser feito, pois a haste é um corpo rígido) e a força S para o ponto B as quais, decompostas segundo a vertical darão as componentes M e N.

A componente vertical total em A será:               N' = M + P/2

A componente vertical total em B será a própria N.

Da figura obtemos:             M = T.sena e T =(3P/2)sena donde M = (3P/2).sen²a

e                                                 N = S.cosa = (3P/2).cosa.cosa = (3P/2).cos²a 

Então,                                      N' = (P/2) + (3P/2).sen²a      e      N = (3P/2).cos²a

Resposta: Apoio em A ==>                         N' = (P/2)(1+3.sen²a)
                Apoio em B ==>                          N  = (3P/2).cos²a

Ou, em função de L e R (dados da questão), lembrando que tga = R/L teremos:

N' = (P/2)[1 + 3R²/(R² + L²)]
N = (3P/2).L²/(R² + L²)

Notas
a) A soma das duas reações normais  N + N' deve evidentemente ser igual ao peso total do sistema, ou seja, 2P. Isso pode ser facilmente verificado fazendo:

N + N' = (3P/2).cos²a + (P/2)(1+3.sen²a) = 2P

b) As forças T' e S' (ou T e S), são oblíquas em relação ao plano horizontal e, como tal, fazem aparecer as componentes horizontais que tenderiam a fazer o sistema deslizar para a direita ou esquerda mas, é fácil ver que essas componentes são iguais e de sinais opostos e, por conseguinte, se anulam.

Solução 2

Essa é a solução 'normal' que já utilizamos no primeiro exercício, impondo as 2 condições de equilíbrio para o corpo extenso, a saber:

a) equilíbrio dos componentes segundo X (eixo horizontal) ........ 0 = 0   (não há componentes nessa direção);

b) equilíbrio dos componentes segundo Y (eixo vertical) ............. N' + N = 2P;

c) momento nulo em relação ao ponto A .................. P.AO' + P.AD' - N.AB = 0    ou

                                                             PLcosa + P(L/2)cosa = N(Lcosa + Rsena )

Donde,

N = 3P/2 . Lcosa /(Lcosa + Rsena )

O fator Lcosa /(Lcosa + Rsena ) pode se transformar ainda (lembrando que R/L =tga ) em:

Lcosa /(Lcosa + Rsena ) = 1/[1+(Rsena /Lcosa )] = 1/[1+tga (sena /cosa )] = 1/(1+tg²a ) = 1/sec²a =cos²a

então,  N = (3P/2).cos²a

que é o resultado obtido anteriormente.

Da (b) tiramos:                    N' = 2P - N = 2P - (3P/2).cos²a = (P/2)(1 + 3sen²a )

Nota: A (b) nos fornece de imediato que N + N' + 2P .