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Máquinas Simples

(Parte 4 - Planos Inclinados)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

(Revisado em 29/09/2011)

Planos Inclinados 
São superfícies planas, rígidas, inclinadas em relação à horizontal, que servem para multiplicar forças, constituindo, portanto, máquinas simples.
Tábuas que se apóiam no solo por uma de suas extremidades e num caminhão pela outra, sobre a qual operários empurram 'cargas', são exemplos de planos inclinados. Rampas de acesso a morros ou construções elevadas são também, planos inclinados. Eles comparecem, como veremos adiante, em facas, cunhas, talhadeiras, machados, parafusos, porcas, roscas-sem-fim, prensas, escadas rolantes etc.

Conservação do trabalho
Consideremos o plano inclinado abaixo, que forma ângulo
a com o plano horizontal.

O operador deve aplicar sobre a carga (Q = resistência) uma força de intensidade Fa = P (potência) paralela à inclinação do plano, de modo a transportá-la do plano horizontal inferior ao plano horizontal superior, isto é, elevar a carga de uma altura H.
Sendo Q o peso da carga, para elevá-la diretamente, na vertical e, lentamente, o operador deveria aplicar uma força vertical de intensidade igual a Q, ou seja, deveríamos ter P (potência) = Q (resistência) para uma elevação vertical direta no deslocamento H. Se, contudo, a carga for empurrada ao longo do plano inclinado de
a, a intensidade da força a ser aplicada (P), paralela ao plano inclinado, será menor do que Q.
Isto significa que, para cumprir a mesma tarefa de levantar lentamente uma carga a uma altura H, o plano inclinado permite uma 'economia de força' (P < Q), o que acarreta, entretanto, um 'acréscimo de distância' (L > H). A 'velha' lei áurea da mecânica: ganha-se em força, mas perde-se em distância.

Lembrando que, desprezando-se as forças dissipativas, em toda máquina simples há conservação de trabalho (em regime operacional --- no caso, 'carga' subindo o plano inclinado em movimento uniforme), podemos escrever:

P.L = Q.H    ou   P = Q.(H/L)

Observe que P.L é o trabalho da força aplicada pelo operador e Q.H é o trabalho necessário para elevar, lentamente, uma carga de peso Q a uma altura H.
Por outro lado, observe, na figura, que H/L é justamente o sen
a, de modo que podemos por:

 P = Q.sena

que é a 'equação do plano inclinado'.

Vantagem mecânica
A vantagem mecânica (VM) de uma máquina simples traduz a 'economia' de força proporcionada pela máquina, isto é, o número pela qual a força aplicada pelo operador está sendo multiplicada.
Sendo P a intensidade da força aplicada pelo operador e Q o peso da carga a ser levantada (lembrar que P < Q), temos:

VM = Q/P (definição)

Da conservação do trabalho, posto acima, P.L = Q.H tem-se: Q/P = L/H, donde: 

VM = Q/P = L/H = 1/sena 

Observe que quanto menor for a inclinação (a), menor será sena (menor será o declive) e maior será a vantagem mecânica;menor será o esforço para arrastar a carga plano acima ... todavia, maior será o deslocamento que a carga irá efetuar!

Nota: O declive de uma rampa, estrada, rua, etc., é definido pela tangente trigonométrica do ângulo de inclinação, ou seja, d = tga = H/B, onde B é a base da rampa (base do plano inclinado). Assim, somente nos casos em que a é muito pequeno (o seno fica pouco diferente da tangente), é que vale P = Q.tga .

Experiência 1 
Equilíbrio no plano inclinado, com 'potência' paralela ao plano:

Na ausência de atrito, no corpo sobre o plano inclinado agem três forças: seu peso Q, a reação (normal) de apoio por parte do plano (N) e a força potente (P). A carga vertical Q pode ser decomposta em N' (perpendicular ao plano inclinado) e P' (paralela ao plano inclinado). Em função de Q e a tais componentes valem: P' = Q.sena e N' = Q.cosa.

No equilíbrio devemos ter:  

N = N'   e   P = P'   ou   N = Q.cosa   e   P = Q.sena

Experiência 2 
Equilíbrio no plano inclinado, com 'potência' horizontal:

 Desta vez vamos decompor Q segundo a horizontal (P') e na direção perpendicular ao plano inclinado (N'); teremos: P' = Q.tga e N' = Q/cosa. Logo, no equilíbrio, P = Q.tga e N = Q/cosa.

Experiência 3 
Equilíbrio no plano inclinado, com 'potência' oblíqua:

No corpo sobre o plano inclinado, novamente, agem apenas três forças: P, N e Q. A carga Q pode ser substituída pelos componentes P' = Q.sena e N' = Q.cosa. Por sua vez a potência P pode ser substituída pelos componentes P' = P.cosb e P" = P.senb.
No equilíbrio: 

Q.sena = P.cosb   (na direção do plano)
Q.cos
a = P.senb + N  (perpendicular ao plano)

A primeira equação desse sistema fornece: P = Q. (sena/cosb);
A segunda fornece: N = Q.cos
a - P.senb, e nessa, substituindo-se P pelo seu valor obtido acima, temos:
                         N = Q.cos
a - Q. (sena/cosb).senb = Q[cosa - (sena.senb)/cosb
                                                                 N = Q.cos(
a + b)/cosb.

Cunha
A cunha --- constituída por uma peça prismática de madeira ou de ferro, com base triangular isósceles ---  pode ser considerada como formada de dois planos inclinados unidos pelas suas bases. A potência P atua na face oposta à aresta do vértice (
a) do triângulo isósceles. As resistências atuam normalmente às outras duas faces retangulares.

Os instrumentos cortantes ou agudos, facas, navalhas, tesouras, formões, talhadeiras, cinzéis, prego, machado, etc. são variações da cunha.
A potência P, aplicada à cabeça da cunha, decompõe-se nos componentes de valor P' perpendiculares aos lados da cunha e que equilibram resistências iguais (Q = P') e opostas. Da ilustração acima, indicando-se por M o ponto médio da cabeça AB tem-se: MB = BC.sen(
a/2). E, da semelhança dos triângulos ABC e OPP' obtemos: P/P' = AB/BC = 2.MB/BC = 2.sen(a/2), donde, finalmente, a 'equação da cunha':

P = 2.P'.sen(a/2) = 2.Q.sen(a/2)

Para que a potência seja menor que a resistência deve-se ter P < 2Q e a menor que 60o.
Nota: Via de regra não há interesse em se escrever a expressão algébrica "teórica" da relação entre P e Q porque na cunha o atrito é sempre muito grande e tem que ser levado em conta.

Parafuso
O parafuso reduz-se a um plano inclinado, disposto em hélice, na superfície de um cilindro. A visualização disso pode ser feita, com facilidade, enrolando-se um triângulo retângulo de cartolina, ao redor de um lápis:

O passo do parafuso é a 'altura' (h) do plano inclinado; a circunferência 2.p.r é a 'base' (b) (ilustração acima, à direita). A saliência do parafuso chama-se 'filete'; pode ser quadrangular ou triangular. Quando se usa o parafuso para transmitir esforços, é preferível ter um filete retangular (como o do parafuso da ilustração abaixo, à direita), que é mais robusto que o triangular (como o usado nos parafusos micrométricos, que não são feitos para transmitirem grandes esforços). Ao filete corresponde, na porca, um sulco de mesmo passo. Parafuso e porca 'sempre' trabalham juntos; no parafuso para madeira, a porca é a madeira.

No trabalho parafuso/porca podemos diferenciar os casos:

a) porca fixa; a rotação do parafuso determina a translação do mesmo em relação à porca. É o que se observa na prensa, onde a cada volta do parafuso (através do trabalho da força aplicada na alavanca) ele avança (ou retrocede) de um passo.

Na prensa ilustrada acima, a alavanca tem braço R e o parafuso tem passo p. A resistência Q aplica-se verticalmente, na ponta do parafuso. Quando a resistência cede de uma distância p, o trabalho será dado por Q.p. A potência P é o esforço que se faz tangencialmente à circunferência de raio R da alavanca; o trabalho dessa potência, numa volta completa, será: P.2.p.R (com essa volta completa o parafuso desloca-se de p).

Tem-se, pois:                                       P.2.p.R = Q.p  ou  P = Q.p/(2pR).

Cada prensa apresenta sua característica (n) que é: (2
pR)/p = n , de modo que, a 'equação da prensa' é:

P = Q/n

b) porca móvel; a rotação do parafuso (sem qualquer translação efetiva da peça) determina a rotação da porca. Este é o caso do trabalho de um parafuso-sem-fim (ilustração abaixo) que se engrena na roda dentada. O conjunto forma um sarilho de parafuso-sem-fim.

No parafuso-sem-fim, que se engrena com uma roda dentada de n dentes, uma volta na manivela desloca (gira) a roda de 'um' dente. Sendo r o raio do cilindro que suspende a carga Q, tem-se: P.2pR.n = Q.2pr; logo, a 'equação da montagem' será: P = Q.r/(R.n).

As aplicações do parafuso são numerosas; empregam-se parafusos para fixar objetos de madeira ou de metal; nas prensas de copiar, de cunhar, etc.; o parafuso micrométrico é parte essencial de vários instrumentos de precisão (palmer, micrômetro, esferômetro etc.); as hélices dos navios e aeroplanos são parafusos a deslocar na água ou no ar, que lhe servem de porcas; as prensas servem para espremer sucos das sementes oleaginosas, etc. O parafuso-sem-fim tem grande analogia com o sarilho de engrenagem e tem os mesmos usos.

Segue:

  Rodas e Eixos


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