Máquinas Simples (Parte 4 - Planos Inclinados)

Planos Inclinados 
São superfícies planas, rígidas, inclinadas em relação à horizontal, que servem para multiplicar forças, constituindo, portanto, máquinas simples.
Tábuas que se apóiam no solo por uma de suas extremidades e num caminhão pela outra, sobre a qual operários empurram 'cargas', são exemplos de planos inclinados. Rampas de acesso a morros ou construções elevadas são também, planos inclinados. Eles comparecem, como veremos adiante, em facas, cunhas, talhadeiras, machados, parafusos, porcas, roscas-sem-fim, prensas, escadas rolantes etc.

Conservação do trabalho
Consideremos o plano inclinado abaixo, que forma ângulo a com o plano horizontal.

O operador deve aplicar sobre a carga (Q = resistência) uma força de intensidade F_a = P (potência) paralela à inclinação do plano, de modo a transportá-la do plano horizontal inferior ao plano horizontal superior, isto é, elevar a carga de uma altura H.
Sendo Q o peso da carga, para elevá-la diretamente, na vertical e, lentamente, o operador deveria aplicar uma força vertical de intensidade igual a Q, ou seja, deveríamos ter P (potência) = Q (resistência) para uma elevação vertical direta no deslocamento H. Se, contudo, a carga for empurrada ao longo do plano inclinado de a, a intensidade da força a ser aplicada (P), paralela ao plano inclinado, será menor do que Q.
Isto significa que, para cumprir a mesma tarefa de levantar lentamente uma carga a uma altura H, o plano inclinado permite uma 'economia de força' (P < Q), o que acarreta, entretanto, um 'acréscimo de distância' (L > H). A 'velha' lei áurea da mecânica: ganha-se em força, mas perde-se em distância.

Lembrando que, desprezando-se as forças dissipativas, em toda máquina simples há conservação de trabalho (em regime operacional --- no caso, 'carga' subindo o plano inclinado em movimento uniforme), podemos escrever:

P.L = Q.H    ou   P = Q.(H/L)

Observe que P.L é o trabalho da força aplicada pelo operador e Q.H é o trabalho necessário para elevar, lentamente, uma carga de peso Q a uma altura H.
Por outro lado, observe, na figura, que H/L é justamente o sena, de modo que podemos por:

 P = Q.sena

que é a 'equação do plano inclinado'.

Vantagem mecânica
A vantagem mecânica (VM) de uma máquina simples traduz a 'economia' de força proporcionada pela máquina, isto é, o número pela qual a força aplicada pelo operador está sendo multiplicada.
Sendo P a intensidade da força aplicada pelo operador e Q o peso da carga a ser levantada (lembrar que P < Q), temos:

VM = Q/P (definição)

Da conservação do trabalho, posto acima, P.L = Q.H tem-se: Q/P = L/H, donde: 

VM = Q/P = L/H = 1/sena 

Observe que quanto menor for a inclinação (a), menor será sena (menor será o declive) e maior será a vantagem mecânica;menor será o esforço para arrastar a carga plano acima ... todavia, maior será o deslocamento que a carga irá efetuar!

Nota: O declive de uma rampa, estrada, rua, etc., é definido pela tangente trigonométrica do ângulo de inclinação, ou seja, d = tga = H/B, onde B é a base da rampa (base do plano inclinado). Assim, somente nos casos em que a é muito pequeno (o seno fica pouco diferente da tangente), é que vale P = Q.tga .

Experiência 1 
Equilíbrio no plano inclinado, com 'potência' paralela ao plano:

Na ausência de atrito, no corpo sobre o plano inclinado agem três forças: seu peso Q, a reação (normal) de apoio por parte do plano (N) e a força potente (P). A carga vertical Q pode ser decomposta em N' (perpendicular ao plano inclinado) e P' (paralela ao plano inclinado). Em função de Q e a tais componentes valem: P' = Q.sena e N' = Q.cosa.

No equilíbrio devemos ter:  

N = N'   e   P = P'   ou   N = Q.cosa   e   P = Q.sena

Experiência 2 
Equilíbrio no plano inclinado, com 'potência' horizontal:

 Desta vez vamos decompor Q segundo a horizontal (P') e na direção perpendicular ao plano inclinado (N'); teremos: P' = Q.tga e N' = Q/cosa. Logo, no equilíbrio, P = Q.tga e N = Q/cosa.

Experiência 3 
Equilíbrio no plano inclinado, com 'potência' oblíqua:

No corpo sobre o plano inclinado, novamente, agem apenas três forças: P, N e Q. A carga Q pode ser substituída pelos componentes P' = Q.sena e N' = Q.cosa. Por sua vez a potência P pode ser substituída pelos componentes P' = P.cosb e P" = P.senb.
No equilíbrio: 

Q.sena = P.cosb   (na direção do plano)
Q.cosa = P.senb + N  (perpendicular ao plano)

A primeira equação desse sistema fornece: P = Q. (sena/cosb);
A segunda fornece: N = Q.cosa - P.senb, e nessa, substituindo-se P pelo seu valor obtido acima, temos:
                         N = Q.cosa - Q. (sena/cosb).senb = Q[cosa - (sena.senb)/cosb] 
                                                                 N = Q.cos(a + b)/cosb.

Cunha
A cunha --- constituída por uma peça prismática de madeira ou de ferro, com base triangular isósceles ---  pode ser considerada como formada de dois planos inclinados unidos pelas suas bases. A potência P atua na face oposta à aresta do vértice (a) do triângulo isósceles. As resistências atuam normalmente às outras duas faces retangulares.

Os instrumentos cortantes ou agudos, facas, navalhas, tesouras, formões, talhadeiras, cinzéis, prego, machado, etc. são variações da cunha.
A potência P, aplicada à cabeça da cunha, decompõe-se nos componentes de valor P' perpendiculares aos lados da cunha e que equilibram resistências iguais (Q = P') e opostas. Da ilustração acima, indicando-se por M o ponto médio da cabeça AB tem-se: MB = BC.sen(a/2). E, da semelhança dos triângulos ABC e OPP' obtemos: P/P' = AB/BC = 2.MB/BC = 2.sen(a/2), donde, finalmente, a 'equação da cunha':

P = 2.P'.sen(a/2) = 2.Q.sen(a/2)

Para que a potência seja menor que a resistência deve-se ter P < 2Q e a menor que 60^o.
Nota: Via de regra não há interesse em se escrever a expressão algébrica "teórica" da relação entre P e Q porque na cunha o atrito é sempre muito grande e tem que ser levado em conta.

Parafuso
O parafuso reduz-se a um plano inclinado, disposto em hélice, na superfície de um cilindro. A visualização disso pode ser feita, com facilidade, enrolando-se um triângulo retângulo de cartolina, ao redor de um lápis:

O passo do parafuso é a 'altura' (h) do plano inclinado; a circunferência 2.p.r é a 'base' (b) (ilustração acima, à direita). A saliência do parafuso chama-se 'filete'; pode ser quadrangular ou triangular. Quando se usa o parafuso para transmitir esforços, é preferível ter um filete retangular (como o do parafuso da ilustração abaixo, à direita), que é mais robusto que o triangular (como o usado nos parafusos micrométricos, que não são feitos para transmitirem grandes esforços). Ao filete corresponde, na porca, um sulco de mesmo passo. Parafuso e porca 'sempre' trabalham juntos; no parafuso para madeira, a porca é a madeira.

No trabalho parafuso/porca podemos diferenciar os casos:

a) porca fixa; a rotação do parafuso determina a translação do mesmo em relação à porca. É o que se observa na prensa, onde a cada volta do parafuso (através do trabalho da força aplicada na alavanca) ele avança (ou retrocede) de um passo.

Na prensa ilustrada acima, a alavanca tem braço R e o parafuso tem passo p. A resistência Q aplica-se verticalmente, na ponta do parafuso. Quando a resistência cede de uma distância p, o trabalho será dado por Q.p. A potência P é o esforço que se faz tangencialmente à circunferência de raio R da alavanca; o trabalho dessa potência, numa volta completa, será: P.2.p.R (com essa volta completa o parafuso desloca-se de p).

Tem-se, pois:                                       P.2.p.R = Q.p  ou  P = Q.p/(2pR).

Cada prensa apresenta sua característica (n) que é: (2pR)/p = n , de modo que, a 'equação da prensa' é:

P = Q/n

b) porca móvel; a rotação do parafuso (sem qualquer translação efetiva da peça) determina a rotação da porca. Este é o caso do trabalho de um parafuso-sem-fim (ilustração abaixo) que se engrena na roda dentada. O conjunto forma um sarilho de parafuso-sem-fim.

No parafuso-sem-fim, que se engrena com uma roda dentada de n dentes, uma volta na manivela desloca (gira) a roda de 'um' dente. Sendo r o raio do cilindro que suspende a carga Q, tem-se: P.2pR.n = Q.2pr; logo, a 'equação da montagem' será: P = Q.r/(R.n).

As aplicações do parafuso são numerosas; empregam-se parafusos para fixar objetos de madeira ou de metal; nas prensas de copiar, de cunhar, etc.; o parafuso micrométrico é parte essencial de vários instrumentos de precisão (palmer, micrômetro, esferômetro etc.); as hélices dos navios e aeroplanos são parafusos a deslocar na água ou no ar, que lhe servem de porcas; as prensas servem para espremer sucos das sementes oleaginosas, etc. O parafuso-sem-fim tem grande analogia com o sarilho de engrenagem e tem os mesmos usos.

Segue:

  Rodas e Eixos